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全国初中数学竞赛初赛试题汇编全国初中数学竞赛初赛试题汇编（19981998-20182018）目录1998 年全国初中数学竞赛试卷.11999 年全国初中数学竞赛试卷.62000 年全国初中数学竞赛试题解答.92001 年 TI 杯全国初中数学竞赛试题 B 卷.142002 年全国初中数学竞赛试题.152003 年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题.172004 年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题.252005 年全国初中数学竞赛试卷.302006 年全国初中数学竞赛试题.322007 年全国初中数学竞赛试题.382008 年全国初中数学竞赛试题.462009 年全国初中数学竞赛试题.472010 年全国初中数学竞赛试题.522011 年全国初中数学竞赛试题.572012 年全国初中数学竞赛试题.602013 年全国初中数学竞赛试题.732014 年全国初中数学竞赛预赛.772015 年全国初中数学竞赛预赛.852016 年全国初中数学联合竞赛试题.942017 年全国初中数学联赛初赛试卷.1032018 年初中数学联赛试题.10519981998 年全国初中数学竞赛试卷年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：一、选择题：（每小题（每小题 6 6 分，共分，共 3030 分）分）1、已知 a、b、c 都是实数，并且a b c，那么下列式子中正确的是（）（）abbc（）ab bc（）ab bc（）2abcc2、如果方程x px1 0p 0的两根之差是 1，那么 p 的值为（）（）2（）4（）3（）53、在ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且BDCE，BD=4，CE=6，那么ABC 的面积等于（）（）12（）14（）16（）184、已知abc 0，并且abbcca p，那么直线y px p一定通过第（）象限cab（）一、二（）二、三（）三、四（）一、四5、如果不等式组（）（）17 个（）64 个（）72 个（）81 个9xa 0的整数解仅为 1，2，3，那么适合这个不等式组的整数 a、b 的有序数对（a、b）共有8xb 0二、填空题：二、填空题：（每小题（每小题 6 6 分，共分，共 3030 分）分）6、在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上任意一点，PEBD，PFAC，E、F 分别是垂足，那么PE+PF=_。7、已知直线y 2x3与抛物线y x相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB 的面积等于_。8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_cm。9、已知方程a x 3a 8a x2a 13a15 0（其中 a 是非负整数），至少有一个整数根，那么 a=_。10、B 船在 A 船的西偏北 450 处，两船相距10 2km，若 A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为 A 船速度的 2 倍，那么 A、B 两船的最近距离是_km。22222三、解答题：三、解答题：（每小题（每小题 2020 分，共分，共 6060 分）分）11、如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=1，A=900，点 E底边 BC 上，且 FEBE，求CEF 的面积。AE为腰 AC 中点，点 F 在512、设抛物线y x22a1x2a的图象与 x 轴4186a 的值；（2）求a323a的值。13、A 市、B 市和 C 市有某种机器 10 台、10 台、8 台，只有一个交点，（1）求BFC现在决定把这些机器支援给 D 市 18 台，E 市 10 台。已知：从A 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 200 元和 800 元；从B 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 300 元和 700 元；从 C 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 400 元和 500 元。（1）设从 A 市、B 市各调 x 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于 x（台）的函数关系式，并求 W 的最大值和最小值。（2）设从 A 市调 x 台到 D 市，B 市调 y 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，用x、y 表示总运费 W（元），并求 W 的最大值和最小值。解 答1根据不等式性质，选B 2由=p2-40 及 p2，设 x1，x2 为方程两根，那么有 x1+x2=-p，x1x2=1又由(x1-x2)2=(x1x2)2-4x1x2，3如图 3271，连 ED，则又因为 DE 是ABC 两边中点连线，所以故选 C4由条件得三式相加得 2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有 p=2 或 a+bc0当 p=2 时，y=2x2，则直线通过第一、二、三象限象限综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限故选B，y=-x-1，则直线通过第二、三、四+1，382，383，388，共 8 个，98=72(个)故选 C的可以区间，如图 32726如图 3273，过 A 作 AGBD 于 G因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PEPF=AG因为 AD=12，AB=5，所以 BD=13，所7如图3-274，直线y=-2x+3 与抛物线 y=x2 的交点坐标为 A(1，1)，B(-3，9)作AA1，BB1 分别垂直于 x 轴，垂足为 A1，B1，所以8如图 3275，当圆环为 3 个时，链长为当圆环为 50 个时，链长为9因为 a0，解得故 a 可取 1，3 或 510 如 图3 276，设 经 过t小 时 后，A船、B船 分 别 航 行 到A1，A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，所以11解法 1 如图 3277，过 C 作 CDCE 与 EF 的延长线交于 D因为ABEAEB=90，CEDAEB=90，所以ABE=CED于是 RtABERtCED，所以又ECF=DCF=45，所以 CF 是DCE 的平分线，点 F 到 CE 和 CD 的距离相等，所以所以解法 2 如图 3278，作 FHCE 于 H，设 FH=h因为ABEAEB90，FEH+AEB=90，所以ABE=FEH，于是 RtEHFRtBAE因为所以12(1)因为抛物线与 x 轴只有一个交点，所以一元二次方程有两个相等的实根，于是(2)由(1)知，a2=a1，反复利用此式可得a4=(a1)2=a22a+1=3a+2，a8=(3a2)2=9a212a4=21a13，a16=(21a+13)2=441a2546a169987a610，a18(987a610)(a1)987a21597a610=2584a1597又因为 a2-a-1=0，所以 64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1所以a18323a6=2584a1597323(-8a13)=579613(1)由题设知，A 市、B 市、C 市发往 D 市的机器台数分别为 x，x，18-2x，发往 E 市的机器台数分别为 10-x，10-x，2x-10于是W=200 x300 x+400(18-2x)800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800 x17200W=-800 x17200(5x9，x 是整数)由上式可知，W 是随着 x 的增加而减少的，所以当 x=9 时，W 取到最小值 10000 元；当 x=5 时，W 取到最大值13200 元(2)由题设知，A 市、B 市、C 市发往 D 市的机器台数分别为 x，y，18-x-y，发往 E 市的机器台数分别为 10-x，10-y，xy-10于是W=200 x+800(10-x)+300y700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)=-500 x-300y+17200W=-500 x-300y+17200，且W=-200 x-300(x+y)+17200-20010-3001817200=9800当 x=10，y=8 时，W=9800，所以 W 的最小值为 9800又W=-200 x-300(xy)17200-2000-30010+17200=14200，当 x=0，y=10 时，W=14200，所以 W 的最大值为 1420019991999 年全国初中数学竞赛试卷年全国初中数学竞赛试卷一、选择题（本题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分每小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个结论，其中只有一个是正确的请将正确答案的代号填在题后的括号里）1一个凸 n 边形的内角和小于 1999，那么 n 的最大值是（）A11 B12 C13 D142 某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过 60 立方米，按每立方米元收费；如果超过 60 立方米，超过部分按每立方米元收费已知某用户4 月份的煤气费平均每立方米元，那么4 月份该用户应交煤气费（）A60 元 B66 元 C75 元 D78 元3已知，那么代数式的值为（）A B C D4在三角形 ABC 中，D 是边 BC 上的一点，已知 AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形 ABC 的面积是（）A30 B36 C72 D1255 如果抛物线A1 B2 C3 D4与 x 轴的交点为 A，B，项点为 C，那么三角形 ABC 的面积的最小值是（）6在正五边形 ABCDE 所在的平面内能找并且ABP 为等腰三角形，这样的不同的点 PA2 B3 C4 D5二、填空题（本题共6 小题，每小题5 分，满到点 P，使得PCD 与BCD 的面积相等，的个数为（）分 30 分）7 已知，那么x2+y2 的值为8如图 1，正方形 ABCD 的边长为 10cm，点 E 在边 CB 的延长线上，且 EB=10cm，点 P 在边 DC 上运动，EP 与 AB的交点为 F设 DP=xcm，EFB 与四边形 AFPD 的面积和为 ycm2，那么，y 与 x 之间的函数关系式是（0 x10）9已知 ab0，a2+ab2b2=0，那么的值为10如图 2，已知边长为 1 的正方形 OABC 在直角坐标系中，A，B 两点在第象限内，OA 与 x 轴的夹角为 30，那么点 B 的坐标是11设有一个边长为 1 的正三角形，记作 A1（如图 3），将 A1 的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作 A2（如图 4）；将 A2 的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是12江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等如果用两台抽水机抽水，40 分钟可抽完；如果用 4 台抽水机抽水，16 分钟可抽完如果要在 10 分钟内抽完水，那么至少需要抽水机台三、解答题（本题共 3 小题，每小题 20 分，满分 60 分）13设实数 s，t 分别满足 19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0，并且 st1，求的值14如图 6，已知四边形 ABCD 内接于直径为 3 的圆 O，对角线 AC 是直径，对角线 AC 和 BD 的交点是 P，AB=BD，且 PC=，求四边形 ABCD 的周长15有人编了一个程序：从1 开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2 或加 3；每次乘法，将上次的运算结果乘2 或乘3例如，30 可以这样得到：（1）（10 分）证明：可以得到22；（2）（10 分）证明：可以得到2100+29721999 年全国初中数学竞赛答案一、1C 2B 3D 4B 5A 6D二、710 8y=5x+50 9 10 11126三、13解：s0，第一个等式可以变形为：又st1，t 是一元二次方程 x2+99x+19=0的两个不同的实根，于是，有即 st+1=99s，t=19s14解：设圆心为 O，连接 BO 并延长交 AD 于 HAB=BD，O 是圆心，BHAD又ADC=90，BHCD从而OPBCPDCD=1，于是 AD=又 OH=AB=BC=CD=，于是，所以，四边形 ABCD 的周长为15证明：（1）也可以倒过来考虑：（或者（2）或倒过来考虑：）注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分20002000 年全国初中数学竞赛试题解答年全国初中数学竞赛试题解答一、选择题（只有一个结论正确）1、设 a，b，c 的平均数为 M，a，b 的平均数为 N，N，c 的平均数为 P，若 abc，则 M 与 P 的大小关系是（）。（A）MP；（B）MP；（C）MP；（D）不确定。答：（B）。Ma b ca bN ca b 2ca b 2c，N，P，MP，322212abc，a b 2cc c 2c 0，即 MP0，即 MP。12122、某人骑车沿直线旅行，先前进了 a 千米，休息了一段时间，又原路返回 b 千米（ba），再前进 c 千米，则此人离起点的距离 S 与时间 t 的关系示意图是（）。答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。3、甲是乙现在的年龄时，乙10 岁；乙是甲现在的年龄时，甲25 岁，那么（）。（A）甲比乙大 5 岁；（B）甲比乙大 10 岁；（C）乙比甲大 10 岁；（D）乙比甲大 5 岁。答：（A）。由题意知 3（甲乙）2510，甲乙5。4、一个一次函数图象与直线 y=595，则在线x 平行，与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，并且过点（1，25）44段 AB 上（包括端点 A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。（A）4 个；（B）5 个；（C）6 个；（D）7 个。答：（B）。在直线 AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是 x14N，y255N，（N 是整数）在线段 AB 上这样的点应满足14N0，且255N0，1N5，即 N1，2，3，4，5。45、设 a，b，c 分别是ABC 的三边的长，且aa b，则它的内角A、B 的关系是（）。ba b c（A）B2A；（B）B2A；（C）B2A；（D）不确定。答：（B）。由aa bab得，延长 CB 至 D，使 BDAB，于是 CDa+c，在ABC 与DAC 中，C 为公ba b cba c共角，且 BC:ACAC:DC，ABCDAC，BACD，BADD，ABCDBAD2D2BAC。6、已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，面积为 S，A1B1C1的三边长分别为 a1，b1,C1 面积为 S1，且 aa1，bb1，cc1 则 S 与 S1 的大小关系一定是（）。（A）SS1；（B）SS1；（C）SS1；（D）不确定。答：（D）。分别构造ABC 与A1B1C1 如下：作ABCA1B1C1，显然，即 SS1；设，则，S10，则S1，则10010，即SS1；，S110，即 S设，则，S10，S1；因此，S 与 S1 的大小关系不确定。二、填空题7、已知：，那么_。答：1。，即。8、如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，AB8，BC6答：666，BCD45，BAD120，则梯形 ABCD 的面积等于_。，BCD45，得 AEBF86142，（平方单位）。作 AE、BF 垂直于 DC，垂足分别为 E、F，由 BC6FC6。由BAD120，得DAE30，因为 AE6 得 DE2，ABEF8，DC29、已知关于的方程。的根都是整数，那么符合条件的整数有_个。答：5。当整数，知时，；当，时，易知是方程的一个整数根，再由有 5 个。且是；由、得符合条件的整数10、如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15 米，分别自两杆上高出地面 4 米、6 米的 A、C 处，向两侧地面上的 E、D；B、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为_米。答：米。作 PQBD 于 Q，设 BQ米，QD米，PQ米，由 ABPQCD，得及，两式相加得，由此得与题目结论无关。）米。即点 P 离地面的高度为米。（注：由上述解法知，AB、CD 之间相距多远，11、如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（15，6），直线积相等的两部分，那么_。恰好将矩形 OABC 分成面答：。直线通过点 D（15，5），故 BD1。当两点，则它恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分。时，直线通过，12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了，使得利润率增加了 8 个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_。（注：100）答：17。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为100，原进价降低后，在销售时的利润率为100，依题意得：100817。三、解答题13、设数根（1）若是不小于。，求的值。的实数，使得关于100，解得，故这种商品原来的利润率为100的方程有两个不相等的实（2）求的最大值。解：因为方程有两个不相等的实数根，所以，。根据题设，有。（1）因为，即。由于，故。（2）。设上是递减的，所以当时，取最大值 10。故的最大值为 10。14、如上图：已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为 E，AEEC，AB2AE，且 BD23，求四边形 ABCD 的面积。解：由题设得 AB22AE2AEAC，AB:ACAE:AB，又EABBAC，ABEACB，ABEACB，从而ABAD。连结 AD，交 BD 于 H，则 BHHD3。OH1，AHOAOH211。，E 是 AC 的中点，。15、一幢33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32 人，而且只能在第2 层至第 33 层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1 分不满意，往上走一层楼梯感到3 分不满意。现在有32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32 个人不满意的总分达到最小最小值是多少（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解：易知，这 32 个人恰好是第 2 至第 33 层各住 1 人。对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第s 层的人乘电梯，而住第 t 层的人直接走楼梯上楼，别考虑如下：设电梯停在第层。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分当时，若住第s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。；当时，若住第 s 层的人乘电梯，而住第 t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为。交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为当时，若住第s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。；当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为，前者比后者多。交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为，前者比后者多。；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为今设电梯停在第层，在第一层有人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：当 x27，y6 时，s316。所以，当电梯停在第 27 层时，这 32 个人不满意的总分达到最小，最小值为316 分。20012001 年年 TITI 杯全国初中数学竞赛试题杯全国初中数学竞赛试题 B B 卷卷选择题（30 分）2n42(2n)1、化简，得（）2(2n3)（A）2n1177n1 (B)2 (C)(D)884a b b c c a（）,2222、如果a,b,c是三个任意整数，那么（A）都不是整数（B）至少有两个整数（C）至少有一个整数（D）都是整数3、如果a,b是质数，且a 13a m 0,b 13b m 0,那么22ba的值为（）ab（A）123125125123（B）（D）或2（C）或2222222224、如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、1 2下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（）（A）6（B）8（C）10（D）12 3 45、如图，若 PA=PB，APB=2ACB，AC 与 PB交于点 D,且 PB=4，PD=3，则 ADDC 等于（）P（A）6（B）7（C）12（D）16 D C A B6、若a,b是正数，且满足12345 (111 a)(111b)，则a和b之间的大小关系是（）（A）a b（B）a b（C）a b（D）不能确定填空题（30 分）7、已知：x 23 23 2,y 23 23 2。那么yxx2y28、若x xy y 14,y xy x 28,则x y的值为9、用长为 1，4，4，5 的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于10、销售某种商品，如果单价上涨m，则售出的数量就将减少值应该确定为11、在直角坐标系xOy中，x轴上的动点 M（x，0）到定点 P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为 MP 和 MQ，那么当 MP+MQ取最小值时，点 M 的横坐标x 12、已知实数a,b满足a ab b 1,且t ab a b，那么 t 的取值范围是解答题（60 分）13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击 10 次。在第 6、第 7、第 8、第 9 次射击中，分别得了环、环、环、环。他的前9 次射击所得的平均环数高于前5 次射击所得的平均环数。如果他要使10 次射击的平均环数超过环。那么他在第 10 次射击中至少要得多少环（每次射击所得环数都精确到环）14、如图，已知点 P 是O 外一点，PS、PT 是O 的两条切线，过点 P 作O 的割线 PAB，交O 于 A,B 两点，并交ST 于点 C。求证：2222m。为了使该商品的销售总金额最大，那么m的1501111().PPC2 PAPB S A C O T15、已知：关于 x 的方程有实根。求a取值范围；若原方程的两个实数根为x1,x2，且x1x32，求a的值。x11x2111,20022002 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1、设 ab0，a2b24ab，则a b的值为a bA、3 B、6 C、2 D、32、已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式 a2b2c2abbcca 的值为A、0 B、1 C、2 D、33、如图，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、CE 交于点 G，则S四边形AGCDS矩形ABCD等于DA、CGFB54 B、6532 D、43AEC、4、设 a、b、c 为实数，xa22b，yb22c，zc22a，则 x、y、z 中至少有一个值333A、大于 0 B、等于 0 C、不大于 0 D、小于 05、设关于 x 的方程 ax2(a2)x9a0，有两个不等的实数根 x1、x2，且 x11x2，那么 a 的取值范围是A、222a B、a55722 D、a0711C、a6、A1A2A3A9 是一个正九边形，A1A2a，A1A3b，则 A1A5 等于A、a b B、a abbC、22221a b D、ab2二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）7、设 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2axa2 的两个实数根，则(x12x2)(x22x1)的最大值为。8、已知 a、b 为抛物线 y(xc)(xcd)2 与 x 轴交点的横坐标，ab，则ac cb的值为。9、如图，在ABC 中，ABC600，点 P 是ABC 内的一点，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6，则 PB。10、如图，大圆O 的直径 ABacm，分别以 OA、OA 为直径作O1、O2，并在O 与O1 和O2 的空隙间作两个等圆O3 和O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4 的面积为 cm2。11、满足(n2n1)n21 的整数 n 有 _个。12、某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过 d%，则 d 可以用 p 表示为。三、解答题（每小题 20 分，共 60 分）13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，2元；由甲、丙两队承包，2个队的承包费用最少14、如图，圆内接六边形ABCDEF 满足 ABCDEF，且对角线 AD、BE、CF 交于一点 Q，设 AD 与 CE 的交点为 P。求证：23天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包，3天完成，需付150000546天完成，需付 160000 元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪7QDACEDECABQPEDCCPAC2F（2）求证：2PECE15、如果对一切 x 的整数值，x 的二次三项式 ax2bxc 的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c 都是整数；（2）a、b、c 都是整数，并且c 是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x 的整数值，x 的二次三项式 ax2bxc 的值都是平方数20032003 年“年“TRULYTRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题信利杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5 小题，每小题6 分，满分30 分.以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.请将正确结论的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填，得零分）5x2 2y2 z21若 4x3y6z=0，x+2y7z=0(xyz0)，则2的值等于().2x 3y210z2(A)119 (B)(C)15 (D)13222在本埠投寄平信，每封信质量不超过 20g 时付邮费元，超过 20g 而不超过 40g 时付邮费元，依次类推，每增加 20g需增加邮费元（信的质量在100g 以内）。如果所寄一封信的质量为，那么应付邮费().(A)元 (B)元 (C)3 元 (D)元3如下图所示，A+B+C+D+E+F+G=（）.(A)360(B)450 (C)540(D)7204四条线段的长分别为 9，5，x，1（其中 x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与 CD 是其中的两条线段（如上图），则 x 可取值的个数为（）.(A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)6 个5某校初三两个毕业班的学生和教师共100 人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有().(A)1 种 (B)2 种 (C)4 种 (D)0 种二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）6已知x 13，那么1112 .x 2x 4x 27若实数 x，y，z 满足x 1117 4，y 1，z，则 xyz 的值为 .yzx38观察下列图形：根据图、的规律，图中三角形的个数为 .9 如图所示，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面 BC 上，如果 CD 与地面成 45o，A=60o CD=4m，BC=4 6 2 2m，则电线杆 AB 的长为_m.10已知二次函数y ax bx c（其中 a 是正整数）的图象经 过点 A（1，4）与点 B（2，1），并且与 x 轴有两个不同的交点，则 b+c 的最大值为 .三、解答题（共 4 题，每小题 15 分，满分 60 分）（第 9 题图）11如图所示，已知AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，OC 平行于弦 AD，过点 D 作 DEAB 于点 E，连结 AC，与 DE交于点 P.问 EP 与 PD 是否相等证明你的结论.62解：14C13D1017(第 11 题图)12某人租用一辆汽车由 A 城前往 B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为 80 千米/小时，而汽车每行驶 1 千米需要的平均费用为元.试指出此人从 A 城出发到 B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元E12A1511O518F7B解：13B如图所示，在ABC 中，ACB=90.(第 12 题图)G9HCD2 BD2AD BD（1）当点 D 在斜边 AB 内部时，求证：.2BCAB（2）当点 D 与点 A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在请说明理由.（3）当点 D 在 BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式C(第 13 B 题图)是否存在请说明理由.BDA14B已知实数 a，b，c 满足：a+b+c=2，abc=4.（1）求 a，b，c 中的最大者的最小值；（2）求a b c的最小值.注：13B 和 14B 相对于下面的 13A 和 14A 是较容易的题.13B 和 14B 与前面的 12 个题组成考试卷.后面两页 13A 和14A 两题可留作考试后的研究题。13A如图所示，O 的直径的长是关于 x 的二次方程x 2(k 2)x k 0（k 是整数）的最大整数根.P 是O外一点，过点 P 作O 的切线 PA 和割线 PBC，其中 A 为切点，点 B，C 是直线 PBC 与O 的交点.若 PA，PB，PC 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求PA2 PB2 PC2的值.解：(第 13A 题图)214A沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的 4不等式(a d)(b c)0，那么就可以交换 b，c作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a，b，c，0 请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上a，b，c，d，都有(a d)(b c)0 请说明理由.解：（1）（2）A个数 a，b，c，d 满足的位置，这称为一次操O是否能 经过有限次 操d，都有(a d)(b c)CPB2003 个正整数 1，2，任意依次相连的 4 个数20032003 年“年“TRULYTRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题 6 分，满分 30 分）1D由4x 3y 6z 0,x 3z,解得代入即得.x 2y 7z 0,y 2z.2D因为 203204，所以根据题意，可知需付邮费4=（元）.3C如图所示，B+BMN+E+G=360，FNM+F+A+C=360，而BMN+FNM=D180，所以A+B+C+D+E+F+G=540.(第 3 题图)(第 4 题图)4D显然 AB 是四条线段中最长的，故AB=9 或 AB=x。222（1）若 AB=9，当 CD=x 时，9 x (15)，x 3 5；当 CD=5 时，9 5 (x 1)，x 2 14 1；222当 CD=1 时，9 1 (x 5)，x 4 5 5.222（2）若 AB=x，当 CD=9 时，x 9 (15)，x 3 13；222当 CD=5 时，x 5 (19)，x 5 5；222当 CD=1 时，x 1 (59)，x 197.222故 x 可取值的个数为 6 个.5B设最后一排有 k 个人，共有 n 排，那么从后往前各排的人数分别为 k，k+1，k+2，k+（n1），由题意可知knn(n 1)100，即n2k n1 200.2因为 k，n 都是正整数，且n3，所以n0，且 b+c=2-a，bc 4.a4 0的两实根，a于是 b，c 是一元二次方程x2(2 a)x (2 a)2 440，aa3 4a2 4a 160，(a2 4)(a 4)0.所以 a4.（8 分）又当 a=4，b=c=-1 时，满足题意.故 a，b，c 中最大者的最小值为4.（10 分）（2）因为 abc0，所以 a，b，c 为全大于 0 或一正二负.若 a，b，c 均大于 0，则由（1）知，a，b，c 中的最大者不小于 4，这与 a+b+c=2 矛盾.2）若 a，b，c 为或一正二负，设 a0，b0，c0，那么就可以交换 b，c 的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数 1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a，b，c，d，都有(a d)(b c)0 请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003 个正整数 1，2，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a，b，c，d，都有(a d)(b c)0 请说明理由.解：（1）答案是肯定的.具体操作如下：（5 分）（2）答案是肯定的.考虑这 2003 个数的相邻两数乘积之和为P.（7 分）开始时，P0=12+23+34+20022003+20031，经过 k（k0）次操作后，这 2003 个数的相邻两数乘积之和为Pk，此时若圆周上依次相连的4 个数 a，b，c，d 满足不等式(a d)(b c)0，即 ab+cdac+bd，交换 b，c 的位置后，这 2003 个数的相邻两数乘积之和为Pk1，有Pk1 Pk(ac cb bd)(ab bc cd)ac bd ab cd 0.所以Pk1 Pk 1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少 1，由于相邻两数乘积总大于 0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4 个数 a，b，c，d，一定有(a d)(b c)0.20042004 年“年“TRULYTRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分.以下每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）1.已知实数a b，且满足(a 1)33(a 1)，3(b 1)3(b 1).则b（A）23（B）23（C）2（D）13答：选（B）a、b 是关于 x 的方程的两个根，整理此方程，得22ba a的值为（）.abx25x 1 0，254 0，ab 5，ab 1.故 a、b 均为负数.因此babaa2b2b a ab ab ababab2a b2abab 23.ab2.若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）.（A）ab h2（B）答：选（C）a h 0，b h 0，ab h2，a2b2 h2 h2 2h2；因此，结论（A）、（D）显然不正确.设斜边为 c，则有ab c，111111（C）222（D）a2 b2 2h2abhabh111(a b)h ch ab，即有222111，abh因此，结论（B）也不正确.由11111a2b2h ab化简整理后，得222，22abh因此结论（C）是正确的.3一条抛物线y ax bx c的顶点为（4，11），且与 x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c 中为正数的（）.（A）只有a（B）只有b（C）只有c（D）只有a和b答：选（A）由顶点为（4，11），抛物线交 x 轴于两点，知 a0.设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标为x1，x2，即为方程的两个根.由题设x1x2 0，知2c 0，所以c 0.ab 0，知 b0 时，x3 x23x 0，方程x2 x 3 0无实根；（2）当 xAD)，D 90，ABE 45，若 AE=10，则 CE 的长为 .答：4 或 6解：延长 DA 至 M，使 BMBE.过 B 作 BGAM，G 为垂足.为正方形，所以 BC=BG.又CBE GBM，易知四边形 BCDGBC=CD=12,22222222（第9题图）RtBECRtBMG.BM=BE，ABE ABM 45，ABEABM，AM=AE=10.设 CE=x，则 AG=10 x，AD=12 (10 x)2 x，DE=12 x.在 RtADE 中，AE2 AD2 DE2，100 (x 2)(12 x)，即x210 x 24 0，解之，得x1 4，x2 6.故 CE 的长为 4 或 6.10实数 x、y、z 满足 x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则 z 的