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第第 1717 章章分式分式1 1分式分式形如形如A（A A、B B 是整式，且是整式，且 B B 中含有字母，中含有字母，B 0）的式子，叫做分式。其中）的式子，叫做分式。其中 A A 叫做叫做B分式的分子，分式的分子，B B 叫做分式的分母。叫做分式的分母。【注】分式中【注】分式中.分母不能为零，否则分式无意义。分母不能为零，否则分式无意义。2 2有理式有理式整式和分式统称为有理式。整式和分式统称为有理式。例题:（1）下列各有理式中，哪些是分式?那些值整式？1 1x2x4x 9y,x y,x 23 m x x 313（2)当 x 取何值时，下列分式有意义?1x 2x 24x,2xx 24x 13x 5练习：（1）一件工作,甲独做 a 小时完成，乙独做 b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要(）小时。1111abD.B。C.ababa ba ba 1（2）当 a时,分式有意义。2a 3A。作业：把下列有理式中是分式的代号填在横线上5x21m212213m 223x；x y 7xy；x；.x1y 30.538y3 3分式的基本性质分式的基本性质分式的分子与分母都乘以分式的分子与分母都乘以(或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。4 4最简分式最简分式分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。5 5最简公分母最简公分母各分母所有因式的最高次幂的积各分母所有因式的最高次幂的积例题：（1）约分2x2 4 2a(a b)2ax2ya x32xy 2y3b(a b)3axyxax(2)通分151,2212xy3xx x12x x练习：5y2（1）不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是(）2x y32x A.2x 15y4x 5y6x 15y12x 15yB。C。D。4x y4x 2y4x 6y2x 3y4aa 2a b1，,中,最简分式有（)22212a bx 2a 3a b（2)分式：A。1 个B。2 个C。3 个D.4 个6 6分式的运算分式的运算（1 1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。简分式，应该通过约分进行化简。（2 2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。(3)(3)分式的乘方等于分子分母分别乘方分式的乘方等于分子分母分别乘方.（4)4)分式的符号法则：分式的符号法则：aaa aa aa bbbbbbb（1 1）；（2 2）;（3 3）例题:（1）计算a2xya2yzax2ay2222222b zb xbyb xy 2a 2xc（2）水果店有两种苹果,甲种苹果每箱净重 m 千克。售a 元，乙种苹果每箱净重n 千克，售b 元,请问,甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍?练习:23x24（1）若分式2的值为零,则 x 的值是（)x x2A。2 或-2 B。2 C.-2 D。412x14y228x y（2）计算37y3x（4 4）同分母分式相加减，分母不变）同分母分式相加减，分母不变,把分子相加减。把分子相加减。异分母分式相加减异分母分式相加减,先通分先通分,变为同分母的分式，然后再加减变为同分母的分式，然后再加减.例题：（1）计算2b2332422aaabx 4x 16a(2)琳琳家距离学校 a 千米，骑自行车需要 b 分钟。若有一天她从家出发迟到了 c 分钟，则她每分钟应多骑多少千米，才能使到达时间和往常一样？练习：（1）化简ab等于（)ababa2b2(ab)2a2b2(ab)2A。2 B.2 C.2 D。2a b2a b2a b2a b2(2）计算 111 32 x3xxx（3）某农场原计划用 m 天完成 a 公顷的播种任务，如果要提前 b 天结束,那么平均每天比原计划要多播种_公顷。作业:计算xy2x4yx2x2y2(x+y)2x y x yx4 y4x2 y2x y2y x7 7分式方程分式方程（1 1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程）分母中含有未知数的方程叫做分式方程.（2 2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母,把分式方程转化为整把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。(3(3）增根是指不适合原分式方程的解（或根）增根是指不适合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程必须进行检验。，因此，解分式方程必须进行检验。（4 4）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了方便起见分母为零。有时为了方便起见,可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则为增根为增根.例题：（1）解方程1003012122xx 1x33 xx 9（2)列方程解应用题2640 名学生的成绩由两位程序操作员各向计算机输入,已知甲的输入速度是乙的2 倍，结果甲比乙少用 2 个小时输完.问这两个操作员呢每分钟各输入多少名学生的成绩？练习：（1）当 m=_时,方程xm 2会产生增根。x3x3（2)若关于 x 的方程 ax=3x5 有负数解,则 a 的取值范围是（）A。a3 C。a3 D.a3(3)解分式方程2362，分以下四步,其中,错误的一步是（）x1x1x 1A.方程两边分式的最简公分母是(x-1）（x+1）B.方程两边都乘以（x1）(x+1),得整式方程 2(x-1）+3（x+1)=6C.解这个整式方程，得 x=1D。原方程的解为 x=1作业：3x的值为负数.2x（2)甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1 天,再由两队合作 2 天就完成全部工程，已知甲队与乙队的工作效率之比是3：2,求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？8 8零指数幂与负整指数幂零指数幂与负整指数幂(1(1）任何不等于零的数的零次幂都等于）任何不等于零的数的零次幂都等于 1 1。【注】【注】0 0 的零次幂没有意义的零次幂没有意义.（2 2）任何不等于零的数的）任何不等于零的数的n n（n n 为正整数）次幂为正整数）次幂,等于这个数的等于这个数的 n n 次幂的倒数。次幂的倒数。（1）当 x时，分式an例题：（1）计算1是正整数）是正整数）(a 0,nan123 1013（2）计算下列各式,并把结果化成只含有正整指数幂的形式a30 ab2423x3yz22（3)用小数表示下列各数102.110练习：51（1）计算(1)5(2004)0的结果是_。221（2）若 x=2-1,则 x+x=_。-1作业:计算15252m2n341042mn322n9 9 利用利用 1010 的负整指数幂的负整指数幂,用科学记数法表示一些绝对值较小的数，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成即将它们表示成a10的形式，其中的形式，其中 n n 是正整数，是正整数，1 a 10。例题：（1)用科学记数法表示0。000030。0000064201000000(2）一个纳米粒子的直径是35 纳米，它等于多少米？练习:(1）用 10 的负整指数幂填空1 毫克=千克1 平方厘米=平方米1 纳米=微米=毫米=厘米=分米=米（2）把下列各数用科学记数法表示10000000.0000001-112000000。00000112作业:自然界隐含着许多规律，一定质量的理想气体，当温度保持不变时，它的压强 p 与体积V 的乘积也保持不变。现在它的压强p11.0110帕时，体积V1=2 立方米，若这些气体加压到p2 3.0310帕时，求这些气体的体积V2。（已知p1,V1,p2,V2满足55p1p2）V2V1第第 1818 章章函数及其图像函数及其图像1 1变量与函数变量与函数（1)1)变量变量:在某一变化过程中在某一变化过程中,可以取不同数值的量，叫做变量。可以取不同数值的量，叫做变量。(2(2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如 x x 和和 y y，对于，对于 x x 的每一个值，的每一个值，y y 都有都有唯一的值与之对应，我们就说唯一的值与之对应，我们就说 x x 是自变量是自变量,y,y 是因变量。此时也称是因变量。此时也称 y y 是是 x x 函数函数.2、对函数概念的理解、对函数概念的理解,主要抓住三点：主要抓住三点：（1)1)有两个变量；有两个变量；（2)2)一个变量的数值随另一个变量的一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；数值的变化而变化；（3 3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应.3 3 表示函数关系的方法表示函数关系的方法1 1）解析法（关系式法）解析法（关系式法)：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式法。示，这种方法叫解析式法。2)2)列表法列表法3 3）图像法）图像法（4 4）在问题的研究过程中，还有一种量）在问题的研究过程中，还有一种量,它的取值始终保持不变，我们称之为常量。它的取值始终保持不变，我们称之为常量。例题:写出下列各问题中的函数关系式,并指出常量与变量。圆的周长 C 与半径 r 的函数关系式。火车以 60 时的速度行驶，它驶过的路程s 与所用时间的函数关系式。n 边形的内角和的度数S 与边数 n 的函数关系式。（5 5）求函数自变量的取值范围）求函数自变量的取值范围1 1实际问题中的自变量取值范围实际问题中的自变量取值范围按照实际问题是否有意义的要求来求。按照实际问题是否有意义的要求来求。2 2用数学式子表示的函数的自变量取值范围用数学式子表示的函数的自变量取值范围（1)1)解析式为整式的，解析式为整式的，x x 取全体实数；取全体实数；（2)2)解析式为分式的，分母必须不等于解析式为分式的，分母必须不等于 0 0 式子才有意式子才有意义；义；(3)(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)(4)解析式是三次方根解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数的，自变量的取值范围是全体实数.3 3函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值的求代数式的值.例题:（1)求下列函数自变量 x 的取值范围 y=3x+1y 2x 1y 21y x 2x 2（2）已知等腰三角形的面积是 20,设它的底边长是 x(米)，求底边上的高 y（米）关于 x的函数关系式，并写出自变量的取值范围。练习：（1）求下列函数自变量x 的取值范围y 2x 5xy 26xy 2x 1x 3(2）分别写出下列问题中的函数关系式，指出自变量和因变量，以及自变量的取值范围。寄一封重量为20克以内的市内平信,需邮资0.60元,求寄n封这样的信所需邮资（y 元）与 n 间的函数关系式。如果一个直角三角形中一个锐角是,那么求另一个锐角的度数与之间的函数关系式。2 2函数的图像函数的图像(1(1）直角坐标系）直角坐标系1 1）在平面上画两条原点重合、在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴互相垂直且具有相同单位长度的数轴,这就建立了平面直这就建立了平面直角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做 x x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做做 y y 轴或纵轴轴或纵轴,取向上为正方向；两数轴的交点取向上为正方向；两数轴的交点 O O 叫做坐标原点叫做坐标原点.2 2）在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示）在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示.例如点例如点 P P 分别向分别向 x x轴和轴和 y y 轴作垂线，垂足分别为轴作垂线，垂足分别为 MM 和和 N N。这时，点。这时，点 MM 在在 x x 轴上对应的数字是轴上对应的数字是 mm，称为点，称为点 P P的横坐标；的横坐标；点点 N N 在在 y y 轴上的坐标为轴上的坐标为 n,n,称为点称为点 P P 的纵坐标的纵坐标,得到一对有序实数得到一对有序实数（m,nm,n），称为点称为点P P 的坐标，可记为的坐标，可记为 P P（mm，n n）。3)3)在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成、四个区域在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成、四个区域,分别称为第分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。4)4)在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。yNPnMmxO1 1。平面直角坐标系。平面直角坐标系 坐标平面内的点与_一一对应根据点所在位置填图x轴上的点_坐标为 0，y轴上的点_坐标为 0.P（x,y)关于x轴对称的点坐标为_，关于y轴对称的点坐标为_，关于原点对称的点坐标为_.例题:在直角坐标系中描出点 A(2，3）,分别找出它与 x 轴、y 轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标，说出这些点分别在第几象限？练习：在如图所示的国际象棋棋盘中,双方四只马的位置分别是A（b，3）、B(d，5)、C(f,7）、D(h，2）,请在图中描出它们的位置.87654321abcdefgh(2)(2)函数的图像函数的图像1)1)一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标（x x，y)y)代表函数的一对对应值代表函数的一对对应值,它的横坐标它的横坐标 x x 表示自变量的某一个值表示自变量的某一个值,纵坐标纵坐标 y y 表示与它对应表示与它对应的函数值。的函数值。2 2）画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。）画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。例题：（1）画出 y=0.5x 的图像xy-3-2-10123（2）爷爷和小强去爬山，小强让爷爷先上,然后追赶爷爷,两人都爬上了上顶，图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米)与爬山所用的时间（分）的关系看图回答问题：小强让爷爷先上了多少米？山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶?x3 002 401 80爷爷小强1 206091 01 178534126y练习：（1)画出下列函数图像，并判断大括号里的点是否在该图像上。y=3x1，（0，1），（-2，-7）（1,-2），（2。5，6。5）y 22,x 0,0,2,2,3,1x 13（2）周末小李8 时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16 时回到家里，他离家的距离s(千米)与时间 t(时)的关系可以用图中的曲线表示，根据这个图像回答下列问题。小李到达离家最远的地方是什么时候？小李何时第一次休息？10 时到 13 时，小李骑了多少千米？s（千米）返回时，小李的平均车速是多少？30252010O8910 11 12 1314 15 163 3一次函数一次函数t(时）（1 1）函数的解析式都是用自变量的一次整式表示）函数的解析式都是用自变量的一次整式表示,我们称它们为一次函数。我们称它们为一次函数。一次函数通常可以表示为一次函数通常可以表示为 y=kx+by=kx+b 的形式，其中的形式，其中 k k、b b 是常数，是常数，k k0 0。特别的特别的,当当 b=0b=0 时，一次函数时，一次函数 y=kxy=kx（常数（常数 k k0 0），也叫做正比例函数。，也叫做正比例函数。（2 2）一次函数的图像）一次函数的图像一次函数一次函数 y=kx+by=kx+b（k k、b b 是常数，是常数，k k0 0）的图像是一条直线，的图像是一条直线，通常也称为直线通常也称为直线 y=kx+by=kx+b。特别的特别的,正比例函数正比例函数 y=kxy=kx（k k0 0）的图像是经过原点（）的图像是经过原点（0 0，0 0）。对于直线对于直线 y=kx+by=kx+b（k k、b b 是常数，是常数，k k0 0），k k 表示直线的倾斜程度。表示直线的倾斜程度。b b 是直线与是直线与 y y 轴交轴交点的纵坐标。点的纵坐标。(3)(3)一次函数的图象一次函数的图象：函数 y=kx+b（k、b 是常数，k0)的图象是一条直线。过点(0，b)且与直线且与直线 y=kx 平行例题：（1）在同一个坐标系内画出下列函数图像，并说出它们有什么关系？y=-2xy=2x4(2)将直线 y-2x3 向下平移 5 个单位，得到直线直线 y=5x+7 可以看作是由直线 y=5x1 向平移个单位得到的。（3）求函数y 3x 3与 x 轴、y 轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形2的面积.（4）写出一条与直线 y=2x3 平行的直线练习：（1)直线 y=x+2 与 x 轴的交点坐标是,与 y 轴的交点坐标是直线 y=2x 2与 x 轴的交点坐标是，与 y 轴的交点坐标是3（2）直线 y=2x-3 可以由直线 y=2x 经过单位而得到;直线 y=3x+2 可以由直线y=3x 经过而得到；直线 y=x+2 可以由直线 y=x-3 经过而得到(3）写出一条与直线 y=2x3 平行,且经过点（2，7）的直线作业：1（，0)、（0，）x 2过点3（2)一次函数 y3xb 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求 b。(1）直线 y4x3 过点（_，0)（、0，）；直线y （3 3）一次函数的性质）一次函数的性质设 y=kx+b（k0），则当 k0 时,y 随 x 的增大而增大；当 k0，y 随 x 的增大而减小。当 b0 时，直线交 y 轴于正半轴；当 b0 时，直线交 y 轴于负半轴;当 b=0 时,直线过原点正比例函数的图象正比例函数的图象:函数 y=kx（k 是常数，k0)的图象是过原点及点（1，k)的一条直线.当 k0 时,图象过原点及第一、第三象限；当k0 时，图象过原点及第二、第四象限。正比例函数的性质正比例函数的性质:设 y=kx(k0)，则当k0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，y随 x 的增大而减小。（2)2)、求一次函数、求一次函数y kx b与与 x x 轴、轴、y y 轴的交点坐标轴的交点坐标与 x 轴的交点坐标：令 y=0，求 x；与y轴的交点坐标：令 x=0,求 y当当 k0k0 时，时，y y 随随 x x 的增大而增大的增大而增大,这时函数的图像从左到右上升。这时函数的图像从左到右上升。当当 k0k0b0 时，函数经过、象限。时，函数经过、象限。当当 k k0 0，b b0 0 时，函数经过、象限时，函数经过、象限.当当 k k0 0，b0b0 时，函数经过、象限。时，函数经过、象限。当当 k k0 0，b0b0k0 时，函数的图像在第、象限，在每个象限内，曲线从左向右下降时，函数的图像在第、象限，在每个象限内，曲线从左向右下降,也就是在也就是在每个象限内每个象限内 y y 随随 x x 的增大而减小的增大而减小.2 2）当）当 k0k0 时，函数的图像在第、象限，在每个象限内，曲线从左向右上升时，函数的图像在第、象限，在每个象限内，曲线从左向右上升,也就是在也就是在每个象限内每个象限内 y y 随随 x x 的增大而增大。的增大而增大。5.反比例函数（1)反比例函数的图象：函数y k(k0)是双曲线双曲线。x当k0 时,图象在第一、第三第一、第三象限；当k0 时,图象在第二、第四第二、第四象限。反比例函数的性质：设y k(k0），则x当k0 时，在每个象限中在每个象限中，y随x的增大而减小；当k0 时，在每个象限中在每个象限中，y随x的增大而增大。反比例函数 y=k中 k 的意义：xk如图，过反比例函数y(k 0)图象上任一点P作x轴、xy轴 的 垂 线PM、PN，则 所 得 的 矩 形PMON的 面 积S PM PN y x xy=k例题：(1）如图：反比例函数 y=k的图象经过点，则 k 的值是(）x3（）2（B）1.5（C)-3 (D）-23k的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是 .x1（3)在同一直角坐标系中，函数y=3x 与 y=的图象大致是（）x(2）若反比例函数y(4）在函数y 511的图象上有三点（-1,y1）、（,y2）、（，y3），则函数值 y1、y2、y3x42的大小关系是(）.()y2y3y1 (B）y3y2y1（C)y1y32，再做一个角，使它等于12（3)如图,已知A，试作B=1A2A（4)如图，过点 P 作O 两边的垂线。PO(5）四等分已知线段 AB.6 6逆命题逆命题（1 1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。（2 2）原命题为真，它的逆命题不一定为真。）原命题为真，它的逆命题不一定为真。例题:(1）写出下列命题的逆命题,并判断这些命题的真假如果与是邻补角，那么+=180；如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等(2）举例说明下列命题的逆命题是假命题:如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被 5 整除；如果两个角都是直角,那么这两个角相等。7 7等腰三角形的判定等腰三角形的判定（1 1）利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。）利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。（2 2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边）等角对等边）。例题：如图，已知 P、Q 是ABC 的边 BC 上的两点，并且 BP=PQ=QC=AP=AQ，求BAC的大小。AACBPQBECD练习:（1）已知：如图,在五边形 ABCDE 中，B=E=90，BC=ED，ACD=ADC求证：AB=AE（2）已知等腰ABC 的底边 BC=8cm,且AC-BC|=2cm，则腰 AC 的长为（）A10cm 或 6cmB10cmC6cmD8cm 或 6cm作业：如图所示,已知ABC 中，AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB，求A 的度数ADECB8 8勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的和，那么这个三角形是直角三角形如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的和，那么这个三角形是直角三角形.例题：（1）判断由线段 a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形 a=7，b=24，c=25；a=1.5,b=2.5；a=练习:52，b=1，c=。43已知 a、b、c 是直角三角形的三条边，c 是斜边，且 a、b、c 都是正整数。当a=5 时，b、c 只能是 12，13；当 a=7 时，b，c 只能是 24,25；当 a=9 时，b，c 可以是 40，41,也可以是12，15。你能求出当 a=15 时，b，c 可能取的值吗？作业：在ABC 中，AC=2a，BC=a2+1，AB=a2-1，其中 a1，ABC 是不是直角三角形?如果是，那么哪一个角是直角？9 9角平分线角平分线到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。例题:如图：已知ABC 的外角CBD 和BCE 的平分线相交于点 F，求证：点F 在DAEE的平分线。CFABD练习：如图:在直线 l 上找出一点 P,使得点 P 到AOB 的两边 OA、OB 的距离相等.B作业：如下图，AM 是ABC 的角平分线，N 为 BM 的中点,NEAM,交 AB 于 D，交 CA 的O延长线于 E，下列结论正确的是（）ABM=MCBAE=BDCAM=DEDDN=BNAElADCBMN1010线段垂直平分线线段垂直平分线到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。例题：如图所示，在ABC 中，BC 的垂直平分线交 AC 于 E，垂足为 D，ABE 的周长是15cm，BD=6cm,求ABC 的周长。AECBD练习：在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于 D,交 AC 于 E,EBC=30，求A的度数.ADECB作业：如下图，RtABC 中，C=90，斜边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，AE 平分BAC，那么下列关系不成立的是（）AB=CAEBDEA=CEACB=BAEDAC=2ECADCBE第第 2020 章平行四边形的判定章平行四边形的判定1 1平行四边形的判定平行四边形的判定（1 1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.例题 1：（1)BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，点 E、F 在 BD 上，要使四边形 AECF 是平行四边形，还需要添加的一个条件是_练习 1：如图，在ABC 中,BD 平分ABC，DEBC 交 AB 于点 E,EFAC 交 BC 于点 F,那么BE=CF，请你说明理由.ADEBCF（2 2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.例题 2：如图，平行四边形 ABCD 中,AFCH，DEBG。求证:EG 和 HF 互相平分。练习 2：如图，已知:E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC上的两点，若AE=CF，求证:四边形 BFDE 是平行四边形。ADEFBC（3 3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。例题 3：如图：A、B、E 在一条直线上，AB=CD，C=CBE,试证明 AD=BC。DCEAB练习 3：在平行四边形 ABCD 中,E，F 分别是对边 BC 和 AD 上的两点,且 AF=CE，求证:四边形AECF 为平行四边形。FADBEC作业 3：如图，已知：E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC上的两点,若 BE/DF求证：四边形 BEDF 为平行四边形EFBC(4)(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。两组对角分别相等的四边形是平行四边形。例题 4:（1）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（)。A、一组对边相等，另一组对边平行；C、一组对角相等,一组邻角互补；B、一组对边平行，一组对角互补；D、一组对角互补，另一组对角相等。（2）如图，在平行四边形ABCD 中,已知 AE、CF 分别是DAB、BCD 的角平分线，证明四边形 AFCE 是四边形。FADADBEC（5 5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。）对角线互相平分的四边形是平行四边形。例题 5：(1）下面几组条件中,能判定一个四边形是平行四边形的是()A一组对边相等;B两条对角线互相平分 C一组对边平行；D两条对角线互相垂直(2）已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD相交于点 O，EF 经过点 O 并且分别和 AB、CD 相交于点 E、F，又知 G、H 分别为 OA、OC 的中点 求证：四边形 EHFG是平行四边形。ADGEOFHBC练习 5：如图，已知：E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC上的两点，若 BEAC 于 E，DFAC 于 F.求证:四边形 BEDF 为平行四边形ADEFBC作业 5:如图，在ABCD 中，已知两条对角线相交于点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形.ADEHOFGBC2 2矩形的判定矩形的判定(1)(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。例题：(1)平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（)A梯形B 矩形C 正方形D 不是平行四边形(2)已知：如图，BC 是等腰BED 底边 ED 上的高，四边形ABEC 是平行四边形求证：四边形 ABCD 是矩形。BA练习:下列说法错误的是（)A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形B矩形的四个角都是直角,并且对角线相等C对角线相等的平行四边形是矩形D有两个角是直角的四边形是矩形（2 2）对角线相等的平行四边形是矩形。）对角线相等的平行四边形是矩形。例题：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点是点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE=BF=CG=DH。求证：四边形 ABCD 是矩形。DAHEOGF练习:CB已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AOB 是等边三角形，AB=4cm平行四边形是矩形吗?说明你的理由，求这个平行四边形的面积。（3 3）有三个角是直角的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。例题：如图，BO 是 RtABC 斜边上的中线，延长BO 至点 D，使 BO=DO，连结 AD，CD，则四边形 ABCD 是矩形吗?请说明理由DAOBC练习：如图,在ABC 中，AB=AC，AD、AE 分别是A 与A 的外角的平分线，BEAE，求证:AB=DE。BDECA3 3菱形的判定菱形的判定（1 1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形）有一组邻边相等的平行四边形是菱形.例题：如图：AD 是ABC 的一条角平分线，DEAC 交 AB 与点 E,DFAB 交 AC 与点 F。求证四边形 AEDF 是菱形.AEFBCD练习：如图:ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，DEAC 于 E,DGAB 于 G，EKAB 于 K，GHAC 于 H,EK 和 GH 相交于点 F，求证：四边形 DEFG 是菱形.AKHFGE（2 2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。例题:BDC(1）如图，平行四边形ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O,AB=5,AO=1，OB=2,则 AC、BD 的位置关系是_，四边形 ABCD 是菱形的道理是_ADBOC（2）按图示的虚线折纸，然后连接ABCD 可得菱形，由此可以得到_的四边形是 菱形。ABDC练习：已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交与点 E、F，求证四边形 AFCE是菱形.EADBFC作业：如图，ABC 中,AB=AC，AD 是角平分线，E 为 AD 延长线上一点,CF/BE 交 AD 于 F，连接 BF、CE，求证：四边形 BECF 是菱形。AFCBDE(3(3）四条边都相等的四边形是菱形。）四条边都相等的四边形是菱形。例题:在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC，点 E 在 DA 的延长线上,AE=AD，点 F 在 AD 的延长线上,DF=AD，CE 交 AB 于点 G，BF 交 CD 于点 M，CE 与 BF 交于点 H，求证：四边形 GBCM 是菱形。FMCDHABGE（4)4)每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。例题：如图，在菱形 ABCD 中，BAD=2B，是说明ABC 等边三角形。ABDC练习：如图，DE 是ABCD 中ADC 的平分线,EF/AD 交 DC 于 F。求证：四边形 AEFD 是菱形。如果A=60，AD=5，求菱形 AEFD 的面积。FDCAEB4 4正方形的判定正方形的判定（1 1）有一组邻边相等的矩形是正方形）有一组邻边相等的矩形是正方形.例题：在ABC 中，ACB=90，CD 平分ACB，DEBC，DFAC，垂足分别为 E,F。求证：四边形 CFDE 是正方形。ADFBCE（2 2）有一个角是直角的菱形是正方形。）有一个角是直角的菱形是正方形。例题：已知，点 A,B、C、D分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA=BB=CC=DD.求证：四边形 ABCD是正方形。DADACCBB（3 3）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。例题：如图：在ABC 中，C90,A、B 的平分线交于点 D，DEBC 于点 E，DFAC于点 F,求证：四边形 CFDE 是正方形。CEFDBA5 5等腰梯形的判定等腰梯形的判定（1)1)两腰相等的梯形是等腰梯形。两腰相等的梯形是等腰梯形。例题:如图：矩形 ABCD 中，点 E、F 在边 AD 上，AE=FD，求证:四边形 EBCF 是等腰梯形.DEFABC练习：在梯形 ABCD 中，ADBC若再加上一个条件：_，则可得到梯形 ABCD是等腰梯形。（2 2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。例题：如图：在ABC 中,AB=AC，DEBC，求证：四边形DBCE 是等腰梯形。AEDBC练习：已知:在梯形 ABCD 中，ADBC，BDDC，且 BD 平分ABC，C=60,求证：梯形 ABCD 是等腰梯形.DA(3)(3)两条对角线相等的梯形是等腰梯形。两条对角线相等的梯形是等腰梯形。CB例题:如图：梯形 ABCD 中，ADBC,1=2。求证:四边形 ABCD 是等腰梯形。DA1B2C练习：如图：E、F 分别是矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 上的点,且 AE=DF，求证：四边形 BCFE是等腰梯形.DAFEOBC第第 2121 章章数据的整理与初步处理数据的整理与初步处理1 1算术平均数算术平均数若一组数据为若一组数据为x1,x2,x3.xn，它们的平均数为它们的平均数为x，则则x 1x1 x2 x3 xn。n平均数反映了这组数据中个数据的平均大小或者是集中趋势平均数反映了这组数据中个数据的平均大小或者是集中趋势.例题：甲乙两所学校号召学生们向希望小学捐赠图书，已知甲校800名学生平均每人捐4.5本，乙校学生比甲校少 80 人，如果要达到相同的捐书总量，那么乙校学生平均每人要捐书多少本？练习:中秋节到了,某班 40 名同学举行赏月联欢活动,有 8 位同学带来了月饼，数量如下，6,7，5，3,5，10,4,10如果在全班同学中平分这些月饼，那么每人可以分到多少？作业：某同学在这学期的前四次考试中得分依次为、,马上要进行第次数学测验，她希望前次成绩的算术平均数达到或超过分，那么，这次测验她至少要考多少分？2 2加权平均数加权平均数一般来说一般来说,由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，各由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，各指标乘以相应的权重后所得的平均数就是加权平均数。指标乘以相应的权重后所得的平均数就是加权平均数。x f1x1 f2x2 fnxn(f1 f2 fn n)f1 f2 fn例题:商店有两种苹果，一种单价为 3.5 元千克,另一种单价为 4 元千克,如果妈妈各买 2千克,那么妈妈所买苹果的平均价格是多少？练习:一架电梯的最大载重量是1000 千克,现在有 13 个人，已知其中 11 位先生的平均重量是80 千克，2 位女士的平均重量是70 千克,请问他们能否一起安全的搭乘这架电梯？他么的平均体重是多少千克？作业：某人在 A 商店买了 2 包饼干，单价是 2.2 元，走了没多远，看见 B 商店也有卖这种饼干的，每包 1.8 元，他又买了 3 包,请问 5 包饼干的平均价格是多少钱？3 3扇形统计图的制作扇形统计图的制作（1 1）先计算出各部分数量占总数