历年初中数学竞赛试题精选含解答.pdf

初中数学竞赛专项训练初中数学竞赛专项训练(1)(1)1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。A.111B.1000C.1001D.1111解：依题意设六位数为abcabc，则abcabca105b104c103a102b10ca102（1031）b10（1031）c（1031）（a103b10c）（1031）1001（a103b10c），而 a103b10c 是整数，所以能被 1001 整除。故选 C方法二：代入法2、若S 1111198019812001，则 S 的整数部分是_解：因1981、19822001 均大于 1980，所以S 122119801980 90，又1980、2219812000 均小于 2001，所以S 12212001200121 90，从而知 S 的整数2222部分为 90。3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店1/36把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A.m(1+a%)(1-b%)元B.ma%(1-b%)元C.m(1+a%)b%元D.m(1+a%b%)元解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的 b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1a%）b%元。应选 C5、如果 a、b、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么abcabc的所有可能的|a|b|c|abc|值为（）A.0B.1 或-1C.2 或-2解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。当 a，b，c 为两正一负时：D.0 或-2abcabcabcabc1，1所以 0；|a|b|c|abc|a|b|c|abc|当 a，b，c 为两负一正时：abcabcabcabc 1，1所以 0|a|b|c|abc|a|b|c|abc|由知应选 A6、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若B60，则值为A.12abcabc所有可能的值为 0。|a|b|c|abc|ca的a bc b（）B.D.22BcAbaCC.12解：过A点作ADCD于D，在RtBDA中，由于B60，所以DB3CC。，AD22在 RtADC 中，DC2AC2AD2，所以有（aC2232）b C，整理得a2c2=b224cac2 cb a2 aba2 c2 ab bc1ac，从而有a bc b(a b)(c b)ac ab bc b22/36应选 C7、设 ab0，a2+b2=4ab，则A.a b的值为a bC.2D.3（）3B.6解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab0，得a b 6ab，a b 2ab，故a b3。a b应选 A8.已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（）A.0B.1C.2D.31解：a2b2 c2 ab bc ca(a b)2(b c)2(c a)2，2又a b 1，b c 1，c a 21原式(1)2(1)2 22 32a2b2c29、已知 abc0，且 a+b+c0，则代数式的值是bccaabA.3B.2C.1D.0（）解：原式(b c)a(a c)b(a b)cbcacabaabbcc ()()()bcacababc 3abc10、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则 d 可用 p 表示为解：设该商品的成本为 a，则有 a(1+p%)(1-d%)=a，解得d 100p100 p11、已知实数 x、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9，则 x+2y+3z=_3/36解：由已知条件知（x+1）y=6，(x1)y=z29，所以 x1，y 是 t26tz29=0 的两个实根，方程有实数解，则（6）24（z29）4z20，从而知z=0，解方程得 x+1=3，y=3。所以 x+2y+3z812.气象爱好者孔宗明同学在 x（x 为正整数）天中观察到：有 7 个是雨天；有 5 个下午是晴天；有 6 个上午是晴天；当下午下雨时上午是晴天。则x 等于（）A.7B.8C.9D.10解：选C。设全天下雨a 天，上午晴下午雨b 天，上午雨下午晴c 天，全天晴d 天。由题可得关系式 a=0，b+d=6，c+d=5，a+b+c=7，得 2d-a=4，即 d2，故 b=4，c=3，于是 xa+b+c+d=9。13、有编号为、的四条赛艇，其速度依次为每小时v1、v2、v3、v4千米，且满足v1v2v3v40，其中，v水为水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛。规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，、是逆流而上，号艇顺流而下。（2）经过 1 小时，、同时掉头，追赶号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号？解：出发 1 小时后，、号艇与号艇的距离分别为）（v水 v4)1 vi v4Si(viv水各艇追上号艇的时间为tiviv4v v42v4i1(viv水)(v水v4)viv4viv4对v1v2v3v4有t1 t2 t3，即号艇追上号艇用的时间最小，号是冠军。14.有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12 台水泵需 5 小时，用 10台水泵需 7 小时，若要在 2 小时内抽干，至少需水泵几台？解：设开始抽水时满池水的量为x，泉水每小时涌出的水量为y，水泵每小时抽水量为z，2 小时抽干满池水需 n 台水泵，则x 5y 512zx 7y 710zx 2y 2nzx35z由得，代入得：35z 10z 2nzy 5z4/36n 221，故 n 的最小整数值为 23。2答：要在 2 小时内抽干满池水，至少需要水泵23 台15.某宾馆一层客房比二层客房少5 间，某旅游团 48 人，若全安排在第一层，每间4 人，房间不够，每间5 人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每3 人，房间不够，每间住 4 人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？解：设第一层有客房x间，则第二层有(x 5)间，由题可得4x 48 5x3(x 5)48 4(x 5)由得：4x 483，即9 x 12548 5x3(x 5)48由得：，即7 x 1148 4(x 5)原不等式组的解集为93 x 115整数x的值为x 10。答：一层有客房 10 间。16、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10 个零件，这样8 个人一天做的零件超过 200 个，后来改进技术，每人一天又多做27 个零件，这样他们4 个人一天所做零件就超过劳动竞赛中 8 个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？解：设劳动竞赛前每人一天做x个零件由题意8(x 10)2004(x 10 27)8(x 10)解得15 x 17x是整数x16（1637）163.3故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3 倍。5/36初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（2 2）（方程应用）一、选择题：1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1 小时后他们分别到达各自的终点A 与 B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后 35 分钟到达 B，甲乙的速度之比为（）A.35B.43C.45D.34答：D。解：设甲的速度为v1千米/时，乙的速度为v2千米/时，根据题意知，从出发地点到A 的路程为v1千米，到 B 的路程为v2千米，从而有方程：v2v135v2vv3 v4，化简得12(1)7(1)12 0，解得1(1 不合题v1v260v2v2v24 v23意舍去）。应选 D。2、某种产品按质量分为 10 个档次，生产最低档次产品，每件获利润 8 元，每提高一个档次，每件产品利润增加 2 元，用同样工时，最低档次产品每天可生产 60 件，提高一个档次将减少 3 件，如果获利润最大的产品是第R 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么 R 等于（）A.5B.7C.9D.10答：C。解：第 k 档次产品比最低档次产品提高了（k1）个档次，所以每天利润为y 603(k 1)8 2(k 1)6(k 9)8642所以，生产第 9 档次产品获利润最大，每天获利864 元。3、某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润为20%（利润售价进价），若这种商品进价的进价提高 25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元，则提价后的利润率为（）A.25%B.20%C.16%D.12.5%答：C。解：若这商品原来进价为每件a 元，提价后的利润率为x%，则m a20%解这个方程组，得x 16，即提价后的利润率为 16%。m (1 25%)a x%4、某项工程，甲单独需a 天完成，在甲做了c（ca）天后，剩下工作由乙单独完成还需b 天，若开始就由甲乙两人共同合作，则完成任务需（）天abbcA.cB.C.a b cD.a ba b c2a b c答：B。6/36解：设甲乙合作用x天完成。由题意：(1ab1ca)x 1，解得x 胜2 场ab。故选 B。a b c负平进球数23失球数1475、A、B、C 三个足球队举行循环比赛，下表给出部分比赛结果：球队ABC比赛场次2221 场则：A、B 两队比赛时，A 队与 B 队进球数之比为（）A.20B.31C.21D.02答：A。解：A 与 B 比赛时，A 胜 2 场，B 胜 0 场，A 与 B 的比为 20。就选 A。6、甲乙两辆汽车进行千米比赛，当甲车到达终点时，乙车距终点还有 a 千米（0a50）现将甲车起跑处从原点后移a 千米，重新开始比赛，那么比赛的结果是（）A.甲先到达终点B.乙先到达终点C.甲乙同时到达终点D.确定谁先到与 a 值无关答：A。解：设从起点到终点 S 千米，甲走(s+a)千米时，乙走 x 千米(s a)(s a)a2s:(s a)(s a):xx s sss2a22 0s s即甲走(s a)千米时，a 0s 0asa2乙走（s)千米。甲先到。故选A。s7、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a 小时，逆流航行这段路程需b 小时，那么一木块顺水漂流这段路需（）小时2ab2ababA.B.C.abD.a bb ab aa b答：B。解：设小船自身在静水中的速度为v 千米/时，水流速度为x 千米/时，甲乙之间的距离为S 千米，于是有v x SS(b a)SS2ab，v x 求得x 所以。ab2abxb a8、A 的年龄比 B 与 C 的年龄和大 16，A 的年龄的平方比 B 与 C 的年龄和的平方大 1632，那么 A、B、C 的年龄之和是（）A.210B.201C.102D.120答：C。7/36解：设 A、B、C 各人的年龄为 A、B、C，则 AB+C+16A2（BC）2+1632由可得（ABC）（ABC）1632，由得ABC16，代入可求得ABC102二、填空题1、甲乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有311，然而实际情况并不理想，甲厂仅有的产品，乙厂仅有的4231产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的，则甲厂该产品的年产量3济南市场同类产品的与乙厂该产品的年产量的比为答：21。解：甲厂该产品的年产量为x，乙厂该产品的年产量为y。3x y则：x:y 2:14，解得x 2y111x y2332、假期学校组织360 名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择，甲种客车每辆有 40 个座位，租金400 元；乙种客车每辆有50 个座位，租金480 元，则租用该公司客车最少需用租金元。答：3520。解：因为 9 辆甲种客车可以乘坐 360 人，故最多需要 9 辆客车；又因为 7 辆乙种客车只能乘坐 350 人，故最多需要 8 辆客车。当用 9 辆客车时，显然用 9 辆甲种客车需用租金最少，为40093600 元；当用 8 辆客车时，因为 7 辆甲种客车，1 辆乙种客车只能乘坐 407+50330 人，而6 辆甲种客车，2 辆乙种客车只能乘坐 406+502340 人，5 辆甲种客车，3 辆乙种客车只能乘坐 405+503350 人，4 辆甲种客车，4 辆乙种客车只能乘坐 404+504360 人，所以用 8 辆客车时最少要用 4 辆乙种客车，显然用 4 辆甲种客车，4 辆乙种客车时需用租金最少为4004+48043520 元。3、时钟在四点与五点之间，在时刻（时针与分针）在同一条直线上？96分或 4 点54分时，两针在同一直线上。1111解：设四点过x分后，两针在同一直线上，答：4 点218/3619x，求得x 21分，21116若两针成 180 度角，则6x 120 x 180，求得x 54分。21196所以在 4 点21分或 4 点54分时，两针在同一直线上。1111若两针重合，则6x 1204、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房子原来标价 60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，则钱先生实际上按%的利率获得了利润（精确到一位小数）答：20.3。解：钱先生购房开支为标价的95%，考虑到物价上涨因素，钱先生转让房子的利率为1 60%1.611 0.203 20.3%95%(1 40%)0.951.45、甲乙两名运动员在长 100 米的游泳池两边同时开始相向游泳，甲游 100 米要 72 秒，乙游 100 米要 60 秒，略去转身时间不计，在12 分钟内二人相遇次。答：共 11 次。100 米606、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的两倍，乙比丙小7 岁，三人的年龄之和是小于 70 的质数，且质数的各位数字之和为13，则甲、乙、丙三人的年龄分别是答：30 岁、15 岁、22 岁。解：设甲、乙、丙的年龄分别为x岁、y岁、z岁，则180300420540660720 x 2yyz 7xyz 70且xyz为质数9/36显然x y z是两位数，而 134+95+86+7x y z只能等于 67。由三式构成的方程组，得x 30，y 15，z 22。三、解答题1、某项工程，如果由甲乙两队承包，22天完成，需付 180000 元；由乙、丙两队承包，5363天完成，需付 150000 元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付 160000 元，现47在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成，115xy12x 4114则解得y 6z 10yz15117zx20再设甲、乙、丙单独工作一天，各需u、v、w元，125(u v)180000u 4550015则(v w)150000，解得v 29500w 105004207(wu)160000于是，甲队单独承包费用是455004182000（元），由乙队单独承包费用是295006177000（元），而丙不能在一周内完成，所以，乙队承包费最少。2、甲、乙两汽车零售商（以下分别简称甲、乙）向某品牌汽车生产厂订购一批汽车，甲开始定购的汽车数量是乙所订购数量的3 倍，后来由于某种原因，甲从其所订的汽车中转让给乙 6 辆，在提车时，生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6 辆，最后甲所购汽车的数量是乙所购的2 倍，试问甲、乙最后所购得的汽车总数最多是多少量？最少是多少辆？解：设甲、乙最后所购得的汽车总数为x辆，在生产厂最后少供的6 辆车中，甲少要了y辆（0 y 6），乙少要了（6 y）辆，则有10/3631(x 6)6 y 2(x 6)6(6 y)，整理后得x 1812y。44当y 6时，x最大，为 90；当y 0时，x最小为 18。所以甲、乙购得的汽车总数至多为90 辆，至少为 18 辆。3、8 个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4 人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5 人，且这辆车的平均速度是 60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这 8 个人能够在停止检票前赶到火车站。解：方案一：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4 个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4 个人到火车站。设乘出现故障汽车的 4 个人步行的距离为xkm，根据题意，有x1515 x56030解得x，因此这 8 个人全部到火车站所需时间为1330303555(15)60 小时40（分钟）42（分钟）13135213故此方案可行。方案二：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4 个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接出故障汽车而步行的另外4 个人，使得两批人员最后同时到达车站。分析此方案可知，两批人员步行的距离相同，如图所示，D 为无故障汽车人员下车地点，C 为有故障汽车人员上车地点。因此，设ACBDy，有y15 y 15 2y解得y 2。因此这 8 个人同时到火车站所需时间为560215 237，故此方案可行。（小时）37(分钟）42（分钟）56060ACDB火车站故障点4、某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7 时到达学校，接参观的师生立即出发到县城，由于汽车在赴校途中发生了故障，不得不停车修理，学校师生等到 7 时10 分仍未见汽车来接，就步行走向县城，在行进途中遇到了已修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原来到达县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6 倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间？解：假定排除故障花时x分钟，如图设点A 为县城所在地，点C 为学校所在地，点B 为11/36师生途中与汽车相遇之处。在师生们晚到县城的30 分钟中，有 10 分钟是因晚出发造成的，还有20 分钟是由于从 C 到 B 步行代替乘车而耽误的，汽车所晚的30 分钟，一方面是由于排除故障耽误了x分钟，但另一方面由于少跑了B 到 C 之间的一个来回而省下了一些时间，已知汽车速度是步行速度的6 倍，而步行比汽车从C 到 B 这段距离要多花 20 分钟，由此汽车由 C 到 B 应花20，一个来回省下 8 分钟，4（分钟）61所以有x-830 x38即汽车在途中排除故障花了38 分钟。ABC初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（3 3）（逻辑推理）一、选择题：1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4 个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3 分，败队得 0 分，平局时两队各得1 分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）A.6 分B.7 分C.8 分D.9 分答：B。解：4 个队单循环比赛共比赛 6 场，每场比赛后两队得分之和或为2 分（即打平），或为3 分（有胜负），所以 6 场后各队的得分之和不超过18 分，若一个队得7 分，剩下的 3个队得分之和不超过 11 分，不可能有两个队得分之和大于或等于7 分，所以这个队必定出线，如果一个队得 6 分，则有可能还有两个队均得6 分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线。应选 B。2、甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两个人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一个与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4 局，负 2 局；乙胜 3局，负 3 局，如果丙负 3 局，那么丙胜（）A.0 局B.1 局C.2 局D.3 局答：B。解：有人胜一局，便有人负一局，已知总负局数为 2+3+38，而甲、乙胜局数为 4+37，故丙胜局数为 8-71，应选 B。3、已知四边形 ABCD 从下列条件中ABCDBCADABCDBCADACBD，任取其中两个，可以得出“四边形 ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有（）12/36A.4 种答：B。B.9 种C.13 种D.15 种解：共有15 种搭配。和和和和和和和和和能得出四边形 ABCD 是平行四边形。和和和和和和不能得出四边形 ABCD 是平行四边形。应选 B。4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100 人，一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵（排数3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满足上述要求的排法的方案有（）A.1 种B.2 种C.4 种D.0 种答：B。解：设最后一排 k 个人，共 n 排，各排人数为 k，k+1，k+2k+（n1）。由题意nk n(n 1)100，即n2k (n 1)200，因k、n 都是正整数，且n3，所以2n 2k (n 1)，且n 与2k (n 1)的奇偶性相同，将200 分解质因数可知 n5 或n8，当 n=5 时，k=18，当 n=8 时，k9，共有两种方案。应选B。5、正整数 n 小于 100，并且满足等式 n n n n，其中x表示不超过 x 的最236大整数，这样的正整数 n 有（）个A.2B.3C.12答：D。解：由D.16nnn n，以及若 x 不是整数，则xx 知，2|n，3|n，6|n，即 n 是 6 的23610016个。应选 D。6倍数，因此小于 100 的这样的正整数有6、周末晚会上，师生共有 20 人参加跳舞，其中方老师和 7 个学生跳舞，张老师和 8 个学生跳舞依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是（）A.15B.14C.13D.12答：C。解：设参加跳舞的老师有x 人，则第一个是方老师和（6+1）个学生跳过舞；第二是张老师和（6+2）个学生跳过舞；第三个是王老师和（6+3）个学生跳过舞第 x 个是何老师和（6+x）个学生跳过舞，所以有x（6+x）20，x7，20-713。故选 C。7、如图某三角形展览馆由 25 个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小13/36三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参观过的展室（通过每个房间至少一次），那么他至多能参观（）个展室。A.23B.22C.21D.20答：C。解：如图对展室作黑白相间染色，得 10 个白室，15 个黑室，按要求不返回参观过的展室，因此，参观时必定是从黑室到白室或从白室到黑室（不会出现从黑到黑，或从白到白），由于白室只有 10 个，为使参观的展室最多，只能从黑室开始，顺次经过所有的白室，最终到达黑室，所以，至多能参观到21 个展室。选 C。8、一副扑克牌有 4 种花色，每种花色有 13 张，从中任意抽牌，最小要抽（）张才能保证有 4 张牌是同一花色的。A.12B.13C.14D.15答：选 B。解：4 种花色相当于 4 个抽屉，设最少要抽 x 张扑克，问题相当于把 x 张扑克放进 4 个抽屉，至少有 4 张牌在同一个抽屉，有x=34+113。故选 B。二、填空题：1、观察下列图形：根据的规律，图中三角形个数解：根据图中、的规律，可知图中的三角形的个数为1+4+34+324+3341+4+12+36+108161（个）2、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花花色的牌又按 A，1，2，3，J，Q，K的顺序排列，某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，如此下去，直到最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是解：根据题意，如果扑克牌的张数为2、22、23、2n，那么依照上述操作方法，剩下14/36的一张牌就是这些牌的最后一张，例如：手中只有 64 张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第 64 张牌，现在手中有108 张牌，多出 108-6444（张），如果依照上述操作方法，先丢掉 44 张牌，那么此时手中恰有 64 张牌，而原来顺序的第 88 张牌恰好放在手中牌的最底层，这样，再继续进行丢、留的操作，最后剩下的就是原顺序的第88张牌，按照两副扑克牌的花色排列顺序88-54-2-266，所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块 6。3、用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数字一共可组成个能被 5 整除的三位数解：百位上的数共有9 个，十位上的数共有10 个，个位上的数共有2 个，因此所有的三位数共 9102180。4、将 7 个小球分别放入 3 个盒子里，允许有的盒子空着不放，试问有种不同放法。z，解：设放在三个盒子里的球数分别为x、y、球无区别，盒子无区别，故可令x y 0，依题意有个值。x 3时，y z 4，则y只取 3、2，相应z取 1、2，故有 2 种放法；x4 时，y z 3，则y只取 3、2，相应z取 0、1，故有 2 种放法；x5 时，y z 2，则y只取 2、1，相应z取 1、0，故有 2 种放法；x6 时，y z 1，则y只取 1，相应z取 0，故有 1 种放法；x7 时，y z 0，则y只取 0，相应z取 0，故有 1 种放法；综上所求，故有 8 种不同放法。5、有 1997 个负号“”排成一行，甲乙轮流改“”为正号“”，每次只准画一个或相邻的两个“”为“”，先画完“”使对方无法再画为胜，现规定甲先画，则其必胜的策略是解：先把第 999 个（中间）“”改为“”，然后，对乙的每次改动，甲做与之中心对称的改动，视数字为点，对应在数轴上，这1997 个点正好关于点（999）对称。6、有 100 个人，其中至少有1 人说假话，又知这100 人里任意 2 人总有个说真话，则说真话的有人。解：由题意说假话的至少有1 人，但不多于 1 人，所以说假话的 1 人，说真话的 99 人。三、解答题15/36x y z 71，于是3x 7，x 2，故 x 只有取 3、4、5、6、7 共五3x y z 01、今有长度分别为 1、2、3、9 的线段各一条，可用多少种不同的方法从中选用若干条组成正方形？解：1+2+3+945，故正方形的边长最多为11，而组成的正方形的边长至少有两条线段的和，故边长最小为7。71+62+53+481+72+63+59+18+27+36+49+28+37+46+591+82+73+64+5故边长为 7、8、10、11 的正方形各一个，共4 个。而边长为9 的边可有 5 种可能能组成 5 种不同的正方形。所以有9 种不同的方法组成正方形。2、某校派出学生 204 人上山植树 15301 株，其中最少一人植树 50 株，最多一人植树 100株，证明至少有 5 人植树的株数相同。证明：利用抽屉原理，按植树的多少，从50 至 100 株可以构造 51 年抽屉，则问题转化为至少有 5 人植树的株数在同一个抽屉里。（用反证法）假设无 5 人或 5 人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有4 人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为 204 人，每个抽屉最多有 4 人，故植树的总株数最多有：4（505152100）4(50100)511530015301，得出矛盾。因此，2至少有 5 人植树的株数相同。3、袋中装有2002 个弹子，张伟和王华轮流每次可取1，2 或 3 个，规定谁能最后取完弹子谁就获胜，现由王华先取，问哪个获胜？他该怎样玩这场游戏？解：王华获胜。王华先取 2 个弹子，将 2000（是 4 的倍数）个弹子留给张伟取，不记张伟取多少个弹子，设为 x 个，王华总跟着取（4x）个，这样总保证将 4 的倍数个弹子留给张伟取，如此下去，最后一次是将4 个弹子留给张伟取，张伟取后，王华一次取完余下的弹子。4、有 17 个科学家，他们中的每一个都和其他的科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论三个问题，每一对科学家互相通信时，仅仅讨论同一个问题。证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信解析：在研究与某些元素间关系相关的存在问题时，常常利用染色造抽屉解题。17 位科学家看作 17 个点，每两位科学家互相通信看作是两点的连线段，关于三个问题通信可看作是用三种颜色染成的线段，如用红色表示关于问题甲的通信，蓝色表示问题乙通信，黄色表示问题丙通信。这样等价于：有17 个点，任三点不共线，每两点连成一条线段，把每条线段染成红色、蓝色和黄色，且每条线段只染一种颜色，证明一定存在一个三角形三边同色的三角形。16/36证明：从 17 个点中的一点，比如点A 处作引 16 条线段，共三种颜色，由抽屉原理至少有 6 条线段同色，设为AB、AC、AD、AE、AF、AG 且均为红色。若 B、C、D、E、F、G 这六个点中有两点连线为红线，设这两点为B、C，则ABC是一个三边同为红色的三角形。若 B、C、D、E、F、G 这六点中任两点的连线不是红色，则考虑5 条线段 BC、BD、BE、BF、BG 的颜色只能是两种，必有3 条线段同色，设为BC、BD、BE 均为黄色，再研究CDE 的三边的颜色，要么同为蓝色，则CDE 是一个三边同色的三角形，要么至少有一边为黄色，设这边为CD，则CDE 是一个三边同为黄色的三角形。初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（4 4）（命题及三角形边角不等关系）一、选择题：1、如图8-1，已知AB10，P 是线段 AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作两个等边三角形 APC 和 BPD，则线段 CD 的长度的最小值是（）A.4B.5C.6D.5(51)ADDCDCEF60BCAABBP图 8-3图 8-2图 8-1解：如图过 C 作 CEAD 于 E，过 D 作 DFPB 于 F，过 D 作 DGCE 于 G。CGAE1显然 DGEFAB5，CDDG，当 P 为 AB 中点时，有 CD2DPFBDG5，所以 CD 长度的最小值是 5。2、如图 8-2，四边形 ABCD 中A60，BD90，AD8，AB7，则 BCCD 等于（）A.6 3B.53C.43D.33ADDCDCEF60BCAABBP图 8-3图 8-2图 8-1D解：如图延长 AB、DC 相交于 E，在 RtADE 中，可求得CAE16，DE83，于是 BEAEAB9，在 RtBEC60AB17/36E中，可求得 BC33，CE63，于是 CDDECE23BCCD53。3、如图 8-3，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD3，BC9，AB6，CD4，若 EFBC，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等，则 EF 的长为（）A.DCDC60AABBP图 8-2图 8-1解：由已知 AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CFAD+AE+FDEB+BC+CF457B.335C.395EBD.152ADFC图 8-31AD(AD AB BC CD)112GEFAEDFBCEFBC，EFAD，HEBFCAEDFk6kk4k设 k，AE AB，DF CD EBFCk 1k 1k 1k 16k4k13k 313k 3AD+AE+FD3+11解得 k4k 1k 1k 1k 1作 AHCD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G，则 GFHCAD3，BHBCCH9-36EGAE44242439EF EG GF，EG BH 3 BHAB555554、已知ABC 的三个内角为 A、B、C 且A+B，C+A，C+B，则、中，锐角的个数最多为（）A.1B.2C.3D.0解：假设、三个角都是锐角，即90，90，90，也就是 A+B90，B+C90，C+A90。2（A+B+C）270，ABC135与 ABC180矛盾。故、不可能都是锐角，假设、中有两个锐角，不妨设、是锐角，那么有 AB90，CA90，A(ABC)b，若两个三角形的最小内角相等，则A.3 12a的值等于b3 22D.（）5 22解：设ABC 中，ABACa，BCb，如图 D 是 AB 上一点，有 ADb，因 ab，故A 是ABC 的最小角，设AQ，则以 b,b,a 为三边之三角A形的最小角亦为 Q，从而它与ABC 全等，所以 DCb，ACDQQ，因有公共底角B，所以有等腰ADC等腰CBD，从B.5 12C.而得BCBDba ba，即，令x，即得方程ABBCabbab5 1。选 B。2BDCx2 x 1 0，解得x 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A.0B.1C.3D.5解：C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360，故外角中钝角的个数不能超过3个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3 个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10 边形。8、若函数y kx(k 0)与函数y ABC 的面积为A.1B.21的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，则xC.kD.k2（）解：A。设点A 的坐标为（x，y），则xy 1，故ABO 的面积为11xy，又因为22ABO 与CBO 同底等高，因此ABC 的面积2ABO 的面积1。二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则 d 与a b219/36的大小关系是解：如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别为 M、N，MNd，另一组对边是AD 和 BC，其长度分别为 a、b，连结 BD，设 P 是 BD 的中点，连结DAPNCaba bMP、PN，则 MP，NP，显然恒有d，M222当 ADBC，由平行线等分线段定理知M、N、P 三点Ba ba b，所以d与的大小关系22a ba b是d(或 d)。22共线，此时有d 2、如图8-5，AA、BB分别是EAB、DBC 的平分线，若 AABBAB，则BAC 的度数为EACABBD图 8-5解：12。设BAC 的度数为 x，ABBB BBD2x，CBD4xABAAAABAB ACBD4xAAB1(180 x)21(180 x)4x 4x 180，于是可解出 x12。23、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长解：以3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有10 组，它们是（3，5，7）、（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，9）、（3，7，11）、（3，9，11）、（5，7，9）、（5，7，11）、（5，9，11）、（7，9，11）。由3+59，3+511，3+711 可以判定（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7 个数组构成三角形三边长。4、如图8-6，P 是矩形 ABCD 内一点，若PA3，PB4，PC5，则 PDABP图 8-620/36DCE4、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BCA的平行线分别交 AB、CD 于 G、H。aG设 AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，PbBcFAP2 a2c2，CP2 b2 d2，则DaHbdCBP2 b2c2，DP2d2 a22222于是AP CP BP DP，故DP AP CP BP 3 5 4 18，DP325、如图 8-7，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为30，此时求如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。解：设冬天太阳最低时，甲楼最高处A 点的影子落