大学高等数学下考试题库(附答案).pdf
高等数学试卷6（下）一.选择题（3 分10）1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量ai2 jk,b2ij，则有（）.A.abB.abC.a,b3D.a,b4x1y5z83.设有直线1:xy62yz3，则L与L2的夹角为（L:和21L121（A）；（B）；（C）；（D）.64324.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a b0B.ab0C.ab0D.ab0335.函数zxy3xy的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16.设zxsin y，则zy1,4（）.A.22B.22C.2D.27.级数n(1)(1cos)(0)是（）nn1（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）敛散性与有关.n8.幂级数x的收敛域为（）.n 1nA.1,1B1,1C.1,1D.1,1n9.幂级数x在收敛域内的和函数是（）.02n1221A.B.C.D.1x2x1x2x二.填空题（4 分5）10.一平面过点11.函数zA 0,0,3且垂直于直线AB，其中点B 2,1,1，则此平面方程为 _.sin xy的全微分是_.3y2xy33xy12.设zxz1，则x y22_.13.设L为取正向的圆周：21xy(2 xy?，则曲线积分L22y)dx(x4x)dy_.14.级数(x 2)的收敛区间为_.n 1nn三.计算题（5 分6）zz1.设zevusin，而uxy,vxy，求,.xyzz,xy.2y2z2x4z2450确定，求2.已知隐函数zz x,y由方程x2223.计算Dsinx1y d，其中y2222D:0 xy.4.计算dyysin xdxx.试卷 6 6 参考答案一.选择题CBCAD二.填空题1.2xy2z62.cos xy3.6xACCBD0.ydxxdy.91.2yy 24.n 01n.xn 122 xn5.yC1C x e.2三.计算题z1.xyzcos xy，xyeysin xyxexsin xyycos xy.15.z2xz2 yxz1,yz1.2216.0dsind26.17.1633R.18.3xe2x.ye四.应用题5.长、宽、高均为m32时，用料最省.126.yx.3高数试卷7（下）一.选择题（3 分10）6.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.157.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（A.B.C.D.64328.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为（）.A.3B.4C.5D.69.若几何级数nar是收敛的，则（）.n 0A.r1B.r1C.r1D.r12.幂级数nn1x的收敛域为（）.n 0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,13.级数sinna是（）.4nn1A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定.）19.考虑二元函数f(x,y)的下列四条性质：（1）f(x,y)在点(x,y)连续；00（2）fx(x,y),fy(x,y)在点(x0,y0)连续（4）fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在.（3）f(x,y)在点(x,y)可微分；00若用“P（A）(2)（C）(3)Q”表示有性质P 推出性质Q，则有（）(3)(4)(1)；(1)；（B）(3)（D）(3)(2)(1)(1)(4)二.填空题（4 分5）7.级数n 1(x3)的收敛区间为 _.nxyn8.函数z9.曲面e的全微分为 _.2z2x42y在点2,1,4处的切平面方程为_.1的麦克劳林级数是_.10.21x三.计算题（5 分6）10.设a11.设i2jk,b2j3k，求ab.z2z.zu2，而uxcos y,vxsin y，求,vuvxyzz312.已知隐函数zz x,y由xxyz32确定，求,.xy13.设是锥面22(0z1)下侧，计算zxyxdydz2ydzdx3(z1)dxdy四.应用题（10 分2）试用二重积分计算由yx,y2 x和x4所围图形的面积.试卷 7 7 参考答案一.选择题CBABA二.填空题CCDBA.20.x2y2z1112.xy.2.eydxxdy11.8x8yz4.12.nx.12nn 013.3yx.三.计算题14.8i3j2k.z z2z z315.3x x sin ycossin ycos y cosyy cosysin ysin y,2x x sin ycossin ycos y y sin y sin ycoscosy yx xy y16.zyzzxzxxy2,zyxy2.z17.3232.3a2318.2xxC eyC e21.四.应用题4.163.125.00 xgtv tx.2高等数学试卷3 3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题3 分，共 30 分）1、二阶行列式2-3的值为（）45A、10B、20C、24D、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则 a a 与 b b 的向量积为（）A、i-j+2ki-j+2kB、8i-j+2k8i-j+2kC、8i-3j+2k8i-3j+2kD、8i-3i+k8i-3i+k33x xsinsiny ycoscos3y y.3、点 P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0 的距离为（A、2B、3C、4D、5）4、函数 z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（）42A、,22,22B、,2z分别为（）22C、2222D、222,2z5、设 x2+y2+z2=2Rx，则,x2+y2+z2=2Rx，则xRyxA、B、z,zyRyz,zxRyC、,zz2xRy,D、zz）（面积 A=R）26、设圆心在原点，半径为R，面密度为y2的薄板的质量为（x1A、R2AB、2R2AC、3R2AD、RA22n7、级数xn(1)nn 1的收敛半径为（）A、21B、2C、1D、3）n2n8、cosx 的麦克劳林级数为（A、n 0 xB、(1)(2n)!n2nxC、n(1)x2nD、nx(1)2n1n1(1)(2n)!的阶数是（D、四阶n0(2n)!n0(2n1)!9、微分方程(y)A、一阶4+(y)5+y+2=0）B、二阶C、三阶10、微分方程y+3y+2y=0 的特征根为（A、-2，-1B、2，1C、-2，1）D、1，-2二、填空题（本题共5 小题，每题4 分，共 20 分）x11、直线 L1：x=y=z 与直线 L2：y31_。z的夹角为2x1直线 L3：y2122、（0.98）2.03的近似值为 _,sin100的近似值为 _。2_。z与平面 3260 之间的夹角为xyz23、二重积分D2_。d,D:xy1 的值为x的收敛半径为_。4、幂级数n!x 的收敛半径为_，nn 00n!nn25、微分方程y=xy 的一般解为 _，微分方程xy+y=y的解为 _。三、计算题（本题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）1、用行列式解方程组-3x+2y-8z=172x-5y+3z=3x+7y-5z=22、求曲线x=t,y=t23在点（1，xyd，其中 D 由直线,z=ty1,xD4、问级数1(1)nn 1sin收敛吗n1，1）处的切线及法平面方程.2 及 yx 围成.3、计算，若收敛则是条件收敛还是绝对？收敛？5、将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数6、用特征根法求y+3y+2y=0的一般解四、应用题（本题共2 小题，每题10 分，共 20 分）2而体积最大的长方体体积。1、求表面积为a2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比，（已知比例系数为已知 t=0 时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t 变化的规律。k）参考答案一、选择题1、D10,A二、填空题1、2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B2ar cos188,arcsin212、0.96，0.173653、5、y4、0，+xce2,cx121y三、计算题1、解：-3 2-8=2-5 3=17-5（-3）-5 3-27-5 2 3+（-8）2-5=-1381-517 2-8x=3-5 3=1727-5同理：-317-8y=23 3=276,12-5z=414-5 3-27-5 3 3+2-5（-8）3-5=-13827x所以，方程组的解为y1,y2,zz3x2、解：因为x=t,y=t,z=t,所以 xt=1,yt=2t,zt=3t，所以 xt|t=1=1,yt|t=1=2,zt|t=1=3223故切线方程为：x11y12z13法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为D 由直线 y=1,x=2,y=x围成，所以D：y故：D11 y 2 x 2xyd22yxydxdy1y28(2y)dy11234、解：这是交错级数，因为110，所以该级数为莱布尼兹型级数Vnsin0，所以，Vn1 Vn,lim sinnn且11发散，从而1n，x x，1，又级数n又sin当 x 趋n于n 1n 1所以limsin0sinn时1n所以，原级数条件收敛。121xxe、解：因为2!x(,)w，故收敛。1。sin发散nn 15133!xn1xn!用 2x 代 x，得：2 xe121(2x)(2x)2!213(2x)3!n2xn!n1n(2x)n!2212xx2!x(,)223x3!36、解：特征方程为r+4r+4=0所以，（r+2）2=0-2x,y2=xe-2x得重根 r=r2=-2，其对应的两个线性无关 解 为1-2xy1=e所以，方程的一般解为四、应用题1、解：设长方体的三棱长分为别y=(c1+c2x)ex，y，z2则2（xy+yz+zx）=a构造辅助函数2F（x,y,z）=xyz+(2xy2yz2zxa)求其对 x,y,z 的偏导，并使之为0，得：yz+2(y+z)=0 xz+2(x+z)=0 xy+2(x+y)=0与 2(xy+yz+zx)-a2=0 联立，由于x,y,z 均不等于零可得 x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a2=0 得 x=y=z=6a6所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为2而体积最大的长方体的体积为2、解：据题意3Vxyz6a36dMMdt其中0为常数初始条件 Mt0M0dM对于Mdt式dMdtM两端积分得 ln Mttln C所以，M又因为 MceMt00所以，M0C所以，MM e0t由此可知，铀的衰变规律为：铀的含量随时间的增加 而按指数规律衰减。高数试卷4（下）一选择题：31030下列平面中过点（,1）的平面是（）（）（）（）在空间直角坐标系中，方程（）圆（）圆域x2y22表示（）球面（）圆柱面二元函数z(1x)2(1y)2的驻点是（）（,）（）（,）（）（,）（）（,）二重积分的积分区域是1x2y24，则dxdyD（）（）410（）3x010（）15f(,y)dyxfdy0(x,y)dx1交换积分次序后110y（）01f(x,y)d xydxdy（）（）dy0f(x,y)dxx01（）dy0f(x,y)dx阶行列式中所有元素都是，其值是（）（）（）！（）对于元线性方程组，当r(A)r(A)（）（）r 时,它有无穷多组解,则（）无法确定（）下列级数收敛的是n 1n31)1（）(1)n1（）n（）(n（）1nn 1nnn 112n1n正项级数u和v满足关系式unvn，则nnn 1n 1（）若u收敛，则v收敛（）若v收敛，则u收敛nn1nn1nn1nn1（）若v发散，则u发散（）若u收敛，则v发散nnnnn1n11nn11已知：2，则11xx12的幂级数展开式为x1x（）1x2x4（）1x2x4（）1x2x4（）1x2二填空题：4520数 zx2y21ln(2x2y2)的定义域为y若f(x,y)xy，则 f(,1)x已知(x0,y0)是f(x,y)的驻点，若fxx(x0,y0)3,fyy(x0,y0)12,fxy(x0,y0)a则当时，(x0,y0)一定是极小点矩阵为三阶方阵，则行列式3AA级数u收敛的必要条件是nn1三计算题(一)：6530已知：zxy，求：z，zxy计算二重积分4x d，其中 D(x,y)|0y4x2,0 x22D121123201，012001已知：，其中，求未知矩阵nxn 1求幂级数(1)的收敛区间nn 1求f(x)ex的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）x4四计算题(二)：10220求平面和的交线的标准方程xyz1yz1，试问：yz1设方程组xx分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解参考答案一；二(x,y)|1x2zy22zy 1yxxyyln yx6a6 lim unn0四1解：xy2解：D24dx2dx004 x32x222216304x dy3解：B1(4x)dx04x31271AB10200102,21415.(解：R1,当|x|1 时，级数收敛，当x=1 时，得n 11)收敛，nn 1当 x1时，得n 1(1)2n 11nn 1发散，所以收敛区间为(1,1.n解：.因为exxn(x)n(1)nnx(,).x(n0!n,),所以xx0nen!n0!ni四 1解：.求直线的方向向量:s12j21ki11jk35,求点:令 z=0,得 y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所x2以交线的标准方程为:.1y3z511111111112解：A11111101100111111011102(1)当2 时,r(A)2,(A)3,无解;(2)当1,2时,r(A)(A)3,有唯一解:xyz12;x1cc12(3)当1 时,r(A)(A)1,有无穷多组解:yc1(c1,c2为任意常数zc2高数试卷5（下）一、选择题（3 分/题）1、已知aij，bk，则ab（）A0BijCijDij2y 22、空间直角坐标系中x1表示（）A圆B圆面C圆柱面D球面3、二元函数sin xyz在（0，0）点处的极限是（）xA1B0CD不存在11=（）4、交换积分次序后dxf(x,y)dyx01111Adyf(x,y)dxBdyf(x,y)dx000 x111yCdyf(x,y)dxDdyf(x,y)dxy0005、二重积分的积分区域D 是xy1，则dxdy（）DA2B1C0D46、n 阶行列式中所有元素都是1，其值为（）A0B1CnDn!7、若有矩阵A3 2，B2 3，C3 3，下列可运算的式子是（）111100(1)(2)1)AACBCBCABCDABAC）8、n 元线性方程组，当r(A)r(A)r时有无穷多组解，则（Ar=nA必等于零C可以等于零，也可以不等于零10、正项级数u和nn 1n 1Brn）D无法确定9、在一秩为r 的矩阵中，任r 阶子式（B必不等于零D不会都不等于零v满足关系式unnvn，则（）A若u收敛，则nn 1v收敛nB若n 1v收敛，则nn 1u收敛nn 1C若n 1v发散，则nn 1u发散nD若u收敛，则nn 1v发散nn 1二、填空题（4 分/题）1、空间点 p（-1，2，-3）到xoy平面的距离为22、函数f(x,y)xy2xy4682在点，则处取得极小值，极小值为3、A为三阶方阵，A3x0zA04、三阶行列式xy5、级数y=z0u收敛的必要条件是nn 1三、计算题（6 分/题）1、已知二元函数z2xy，求偏导数zz，xy2、求两平面：x2yz2与2xyz4交线的标准式方程。2x3、计算二重积分，其中D由直线xdxdy域。2，yx和双曲线xy1所围成的区2yD4、求方阵A223110的逆矩阵。121n5、求幂级数n(x)的收敛半径和收敛区间。1n15四、应用题（10 分/题）1、判断级数n1n 11(1)p的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。n2、试根据的取值，讨论方程组x1x2x311是否有解，指出解的情况。1x1x2x3x1x2x3参考答案一、选择题（3 分/题）DCBDAACBCB二、填空题（4 分/题）1、32、（3，-1）-113、-34、05、lim unn0三、计算题（6 分/题）1、z2、xx21z2yln y，y2x2 x 12xyy03z0593、44、1A1431531645、收敛半径R=3，收敛区间为（-4，6）四、应用题（10 分/题）1、当p0时，发散；0p1时条件收敛；p1时绝对收敛1且2、当当2时，r(A)r(A)3，A0，方程组有唯一解；2时，r(A)3r(A)2，方程组无解；当1时，r(A)r(A)13，方程组有无穷多组解。
