2019高考数学二轮复习 专题四 立体几何与空间向量 第1讲 空间几何体学案 理.doc

1第第 1 1 讲讲 空间几何体空间几何体考情考向分析 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题热点一 三视图与直观图1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等” 2由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体例 1 (1)(2018·全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A.(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45°，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_2答案 222解析 如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E，则在 RtABE中，AB1，ABE45°，BE.22而四边形AECD为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.22由此可还原原图形如图所示在原图形中，AD1，AB2，BC1，22且ADBC，ABBC，这块菜地的面积为S (ADBC)·AB1 2 ××22.1 2(1122)22思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑跟踪演练 1 (1)(2018·衡水调研)某几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则其侧(左)视图可以为( )3答案 B解析 由俯视图与正(主)视图可知，该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱，因此其侧(左)视图为矩形内有一条虚线，虚线靠近矩形的左边部分，只有选项 B 符合题意，故选 B.(2)(2018·合肥质检)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )答案 C解析 取AA1的中点H，连接GH，则GH为过点E，F，G的平面与正方体的面A1B1BA的交线延长GH，交BA的延长线与点P，连接EP，交AD于点N，则NE为过点E，F，G的平面与正方体的面ABCD的交线同理，延长EF，交D1C1的延长线于点Q，连接GQ，交B1C1于点M，则FM为过点E，F，G的平面与正方体的面BCC1B1的交线所以过点E，F，G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN.故可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为选项 C 所示热点二 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧4例 2 (1)(2018·百校联盟联考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A848 B244252C820 D282答案 A解析 由三视图可知，该几何体的下底面是长为 4，宽为 2 的矩形，左右两个侧面是底边为2，高为 2的三角形，前后两个侧面是底边为 4，高为的平行四边形，所以该几何体的25表面积为S4×22× ×2×22×4×848.1 22525(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_，表面积是_答案 6(6)14 313解析 由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为V × ×23 × ×22×3，1 44 31 21 314 3表面积为S ×4×22 ××22 ×4×3 × ×2×2×6.1 41 21 21 21 23222(6 13)思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和(2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪演练 2 (1)(2018·齐鲁名校教科研协作体模拟)中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若 取 3，其体积为 12.6 立方寸，则图中的x为( )5A1.6 B1.8 C2.0 D2.4答案 A解析 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成由题意得，(5.4x)×3×1x212.6，(1 2)解得x1.6.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A11 B9 C7 D5答案 D解析 由三视图知，该几何体如图，它可分成一个三棱锥EABD和一个四棱锥BCDEF，则V × ×3×3×2 ×1×2×35.1 31 21 36热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点” “接点”)作出截面图例 3 (1)(2018·武汉调研)已知正三棱锥SABC的顶点均在球O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为 2，则球O的表面3积为( )A16 B18C24 D32答案 A解析 设正三棱锥的底面边长为a，外接球的半径为R，因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为a，则ADa，则AOADa，322 333所以aR，即aR，333又因为三棱锥的体积为 2，3所以 ×a2R ××2×R2，1 3341 334(3R)3解得R2，所以球的表面积为S4R216.(2)(2018·衡水金卷信息卷)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )7A. B.25 425 16C. D.1 125 41 125 16答案 D解析 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为 20,24,16 的长方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥BKLJ即为所求的三棱锥，其中KC19，C1LLB112，B1B16，KC1 C1LLB1 B1B则KC1LLB1B，KLB90°，故可求得三棱锥各面面积分别为SBKL150，SJKL150，SJKB250，SJLB250，故表面积为S表800.三棱锥体积VSBKL·JK1 000，1 3设内切球半径为r，则r，3V S表15 4故三棱锥内切球体积V球 r3.4 31 125 16思维升华 三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A，B，C可作为下底面的三个顶点(2)PABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线跟踪演练 3 (1)(2018·咸阳模拟)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，若AB2，BC3，PA4，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A13 B20C25 D29答案 D解析 把三棱锥PABC放到长方体中，如图所示，8所以长方体的体对角线长为，22324229所以三棱锥外接球的半径为，292所以外接球的表面积为 4×229.(292)(2)(2018·四川成都名校联考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则等于( )S1 S2A12 B13 C14 D18答案 C解析 如图，由已知圆锥侧面积是底面积的 2 倍，不妨设底面圆半径为r，l为底面圆周长，R为母线长，则lR2r2，1 2即 ·2·r·R2r2，1 2解得R2r，故ADC30°，则DEF为等边三角形，设B为DEF的重心，过B作BCDF，则DB为圆锥的外接球半径，BC为圆锥的内切球半径，则 ， ，故 .BC BD1 2r内 r外1 2S1 S21 4真题体验1(2018·全国改编)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图圆柱表面上的9点M在正(主)视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧(左)视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为_答案 25解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的位置如图所示圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径ON ×164，OM2，1 4MN2.OM2ON2224252(2017·北京改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_答案 23解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱由三视图可知，正方体的棱长为 2，故SD2.2222223103(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_答案 9 2解析 设正方体的棱长为a，则 6a218，a.3设球的半径为R，则由题意知 2R3，a2a2a2R .3 2故球的体积V R3 ×3 .4 34 3(3 2)9 24(2017·全国)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球O的表面积为_答案 36解析 如图，连接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC为球O的直径知，OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，三棱锥SABC的体积V × ×SC×OB×OA，1 31 2r3 3即9，r3，球O的表面积S4r236.r3 3押题预测1一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )11A16 B882C228 D4482626押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积答案 D解析 由三视图知，该几何体是底面边长为2的正方形，高PD2 的四棱锥22222PABCD，因为PD平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，易得BCPC，BAPA，又PC2，PD2CD2222 223所以SPCDSPAD ×2×22，1 222SPABSPBC ×2×22.1 2236所以几何体的表面积为 448.622在正三棱锥SABC中，点M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥2SABC的外接球的表面积为( )A6 B12C32 D36押题依据 灵活运用正三棱锥中线与棱之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点答案 B解析 因为三棱锥SABC为正三棱锥，所以SBAC，又AMSB，ACAMA，AC，AM平面SAC，所以SB平面SAC，所以SBSA，SBSC，同理SASC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB2，所以SASBSC2，所以(2R)23×2212，所以球的表面积2S4R212，故选 B.123已知半径为 1 的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注答案 4 23解析 如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S2r×21r24r4×21r2r21r22.(当且仅当r21r2，即r22时取等号)所以当r时，.22V球 V圆柱4 3× 13(22)2 ×24 23A 组 专题通关1(2018·济南模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的正投影可能是( )13A BC D答案 B解析 P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以PAC在上底面或下底面的投影为，在前、后面以及左、右面的投影为.2(2018·百校联盟联考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.4 B10421 232322C.4 D.421 2221 322答案 D解析 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，所以其表面积为 22×2 ×22×22×2×()2 ×12×34.1 223421 221 3223(2017·全国)某多面体的三视图如图所示，其中正(主)视图和侧(左)视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )14A10 B12C14 D16答案 B解析 观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，侧棱长为 2.三棱锥的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2，如图所示因此该多面体各个面中有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为 2，下底长为 4，高为 2，故这两个梯形的面积之和为 2× ×(24)×212.故选1 2B.4某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是ABC，如图(2)所示，其中OAOB2，OC，则该几何体的表面积为3( )A3612 B24833C2412 D36833答案 C15解析 由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为 4，高为 2的等腰三角形，即3该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为 4,2，6，三视图还3原为几何体是图中的三棱锥PABC，且SPABSPBC ×4×612，SABC ×4×241 21 23，PAC是腰长为，底面边长为 4 的等腰三角形，SPAC8.综上可知，该几何体的3523表面积为 2×12482412.故选 C.3335(2018·张掖市质量诊断)已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互相垂直，AB3，AC，BCCDBD2，则球O的表面积33为( )A4 B12C16 D36答案 C解析 如图所示，AB2AC2BC2，CAB为直角，即ABC外接圆的圆心为BC的中点O.ABC和DBC所在的平面互相垂直，则球心在过DBC的圆面上，即DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R2，球的表面积为S4R216，故选 C.6(2018·衡水金卷信息卷)已知正四棱锥PABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为 2，则此球的体积为( )2A. B. C. D.124 3625 81500 81256 9答案 C16解析 如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O，正四棱锥PABCD的外接球的球心为O，底面正方形的边长为，2OD1，正四棱锥的体积为 2，VPABCD ×()2×PO2，解得PO3，1 32OO|POPO|3R|，在 RtOOD中，由勾股定理可得OO2OD2OD2，即(3R)212R2，解得R ，5 3V球 R3 ×3.4 34 3(5 3)500 817在三棱锥SABC中，侧棱SA底面ABC，AB5，BC8，ABC60°，SA2，则5该三棱锥的外接球的表面积为( )A. B.64 3256 3C. D.436 32 048 327答案 B解析 由题意知，AB5，BC8，ABC60°，则根据余弦定理可得AC2AB2BC22×AB×BC×cosABC，解得AC7，设ABC的外接圆半径为r，则ABC的外接圆直径 2r，r，AC sin B73273又侧棱SA底面ABC，三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离dSA，则外接球的半径R 1 2517，则该三棱锥的外接球的表面积为S4R2.(73)2(5)264 3256 38(2018·北京海淀区模拟)某几何体的正(主)视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧(左)视图的图形是_(写出所有可能的序号)答案 解析 如图 a 三棱锥CABD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为；如图 b 四棱锥PABCD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为；如图 c 三棱锥PBCD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为.9(2018·安徽省“皖南八校”联考)如图 1 所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD平面CDEF，现测得AB20 cm，AD15 cm，EF30 cm，AB与EF间的距离为 25 cm，则几何体EFABCD的体积为_cm3.答案 3 500解析 在EF上，取两点M，N(图略)，分别满足EMNF5，连接DM，AM，BN，CN，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得V ×20×15×202× × ×20×15×53 500.1 21 31 210(2018·全国改编)设A，B，C，D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等18边三角形且其面积为 9，则三棱锥DABC体积的最大值为_3答案 183解析 由等边ABC的面积为 9，可得AB29，3343所以AB6，所以等边ABC的外接圆的半径为rAB2.333设球的半径为R，球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d，则d2.R2r21612所以三棱锥DABC高的最大值为 246，所以三棱锥DABC体积的最大值为 ×9×618.1 33311(2018·全国)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面7 8所成角为 45°，若SAB的面积为 5，则该圆锥的侧面积为_15答案 402解析 如图，SA与底面所成角为 45°，SAO为等腰直角三角形设OAr，则SOr，SASBr.2在SAB中，cosASB ，7 8sinASB，158SSABSA·SB·sinASB1 2 (r)2·5，1 2215815解得r2，10SAr4，即母线长l4，255S圆锥侧r·l×2×440.105212(2018·华大新高考联盟质检)已知二面角l的大小为，点P，点P在 3内的正投影为点A，过点A作ABl，垂足为点B，点Cl，BC2，PA2，点2319D，且四边形ABCD满足BCDDAB.若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为_答案 86解析 BCDDAB，A，B，C，D四点共圆，直径为AC.PA平面，ABl，由三垂线定理得PBl，即PBA为二面角l的平面角，即PBA， 3PA2，BA2，3BC2，AC2.23设球的半径为R，则 2，3R2(3)2R2(3)2R，V()38.64 366B 组 能力提高13若四棱锥PABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.81 581 20101 5101 20答案 C解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥PABCD，如图所示，平面PAD平面ABCD，由于PAD为等腰三角形，PAPD3，AD4，四边形ABCD为矩形，CD2，过PAD的外心F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂线，两条垂线交于一点O，20则O为四棱锥外接球的球心，在PAD中，cosAPD ，则323242 2 × 3 × 31 9sinAPD，4 592PF，PF，AD sinAPD44 599 559 510PE，OHEF，94559 510510BH，1 2 1645OB ，OH2BH25 100550510所以S4×.505 100101 52114(2018·龙岩质检)如图所示，正方形ABCD的边长为 2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为( )A(1,2) B(1,2C(0,2 D(0,2)答案 D解析 设四棱锥一个侧面为APQ，APQx，过点A作AHPQ，则AHPQ×tan x1 2ACPQ 22 2PQ2PQ，21 2PQ，AH，2 21tan x2tan x1tan xS4× ×PQ×AH2×PQ×AH1 22××，x，2 21tan x2tan x1tan x8tan x1tan x2 4，2)S8tan x1tan x28tan x 1tan2x2tan x2，8 1 tan xtan x28 22，(当且仅当tan x1，即x 4时取等号)而 tan x>0，故S>0，S2 时，APQ是等腰直角三角形，顶角PAQ90°，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥，S的取值范围为(0,2)，故选 D.15已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为 120°的等腰三角形，侧(左)视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为_，该三棱锥的外接球的体积为22_答案 4 31520 53解析 由三视图得几何体的直观图如图所示，S表2× ×2×2 ×2× ×2×11 21 2351 234.153以D为原点，DB所在直线为x轴，DE所在直线为y轴，DA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(1， ，0)，3设球心坐标为(x，y，z)，(x2)2y2z2x2y2z2，x2y2(z2)2x2y2z2，(x1)2(y)2z2x2y2z2，3x1，y，z1，3球心坐标是(1， ，1)，3球的半径是.12(3)2125球的体积是 ×3.4 3(5)20 5316.如图所示，三棱锥PABC中，ABC是边长为 3 的等边三角形，D是线段AB的中点，DEPBE，且DEAB，若EDC120°，PA ，PB，则三棱锥PABC的外接球的3 23 32表面积为_23答案 13解析 在三棱锥PABC中，ABC是边长为 3 的等边三角形，设ABC的外心为O1，外接圆的半径O1A，在PAB中，PA ，PB，AB3，满足3 2sin 60°33 23 32PA2PB2AB2，所以PAB为直角三角形，PAB的外接圆的圆心为D，由于CDAB，EDAB，EDC120°为二面角PABC的平面角，分别过两个三角形的外心O1，D作两个半平面的垂线交于点O，则O为三棱锥PABC的外接球的球心，在 RtOO1D中，ODO130°，DO1，32则 cos 30°，OD1，连接OA，设OAR，O1D OD32OD则R2AD2OD2212，(3 2)13 4S球4R24×13.134