初中数学公式定理总结.pdf

中考数学常用公式定理中考数学常用公式定理一、数与代数一、数与代数1 1、整数整数(包括：正整数、0、负整数)和分数分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数有理数 如：3，-，无限不环循小数叫做无理数无理数，(两个1之间依次多1个0)有理数和无理数统称为实数实数丨a丨a；a0丨丨a丨a如：如：，2 2、绝对值、绝对值：a0如：如：丨；丨丨3 3、一个近似数近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的 有有效数字效数字如：精确到得，结果有两个有效数字6，0特别提醒：特别提醒：万精确到百位，而不是百分位，有3个有效数字3,2,4.又：又：5.17 105精确到千位，有3个有效数字5,1,74 4、把一个数写成a10n的形式(其中1a10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法科学记数法如：如：40700105，1055 5、乘法公式、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：(ab)(ab)ab(ab)a2abb(ab)(aabb)ab(ab)(a2abb2)a3b3；a2b2(ab)22ab，(ab)2(ab)24ab6 6、幂的运算性质：、幂的运算性质：amanamnamanamn(am)namn(ab)nanbn()nn222222233an1nn0，特别：特别：()()a1(a0)na，()2()2，如：如：a3a2a5，a6a2a4，(a3)2a6，(3a3)327a9，(3)1，52(1，()01)a(a0)，27 7、二次根式、二次根式：(丨a丨，(a0，b0)如：(3)2456a0时，a的平方根4的平方根2（平方根、立方根、算术平方根的概念）8 8、一元二次方程、一元二次方程：对于一元二次的一般式方程：ax2bxc0(a0)：bb24ac求根公式求根公式是x，2a当0时，方程有两个不相等的实数根其中b24ac叫做根的判别式当0时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程没有实数根注意：注意：当0 时，方程有实数根若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2bxc可分解为a(xx1)(xx2)以a和b为根的一元二次方程是x2(ab)xab0二、统计与概率二、统计与概率9 9、统计初步、统计初步：（1 1）概念）概念：所要考察的对象的全体叫做总体总体，其中每一个考察对象叫做个体个体从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本样本，样本中个体的数目叫做样本容量样本容量在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数众数 将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数中位数（2 2）公式：）公式：设有n个数x1，x2，xn，那么：平均数为：xx1x2.nxn；极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；方差：数据x1、x2,xn的方差为s，则s=标准差：方差的算术平方根.221nx1x2x2x2.xnx2数据x1、x2,xn的标准差s，则s=1nx1x2x2x2.xnx2一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。1010、频率与概率：、频率与概率：（1）频率=频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于 1，频率分布直方图中各个小长总数方形的面积为各组频率。（2）概率（大数次实验的频率概率）如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率，则 0P（A）1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；三、函数三、函数1111、平面直角坐标系中的有关知识：、平面直角坐标系中的有关知识：（1 1）对称性：）对称性：若直角坐标系内一点 P（a，b），则 P 关于x轴对称的点为 P1（a，b），P 关于y轴对称的点为 P2（a，b），关于原点对称的点为P3（a，b）.（2 2）坐标平移：）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为 P（ah，b），向右平移h个单位，坐标变为 P（ah，b）；向上平移h个单位，坐标变为 P（a，bh），向下平移h个单位，坐标变为 P（a，bh）.如：点 A（2，1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为A（7，1）.1212、一次函数一般式、一次函数一般式ykxb(k0)的图象是一条直线，与x轴交于(b（0，b),0)，与y轴交于k（1 1）一次函数性质）一次函数性质：特别：当b0时，ykx(k0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点【K K决定：】决定：】1 直线倾斜方向：当k0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)直线必过一、三象限当k0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)直线必过二、四象限k 越大，直线越陡峭，直线与x轴的夹角越大 2 直线倾斜程度：k 越小，直线越平缓，直线与x轴的夹角越小 3对于直线y1 k1xb1与直线y2 k2xb2，当k1 k2时，y1y2当k1k2 1时，y1 y2当b 0,直线与y轴交于正半轴【b b决定】决定】当b=0，直线必过原点当b 0,直线与y轴交于负半轴1313、反比例函数、反比例函数y(k0)的图象叫做双曲线（1 1）反比例函数性质：）反比例函数性质：当k0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)因此，它的增减性与一次函数相反（2 2）双曲线矩形：）双曲线矩形：S k（3 3）双曲线三角形：）双曲线三角形：S k2y 2x3【特别提醒】：（【特别提醒】：（1 1）直线）直线y 2x3与y 3x2的交点坐标为二元一次方程组的交点坐标为二元一次方程组的解。的解。y 3x24（2 2）直线）直线y 2x1与双曲线与双曲线y 的交点是方程组的交点是方程组4xy x y 2x 1的解。的解。1414、二次函数的有关知识：、二次函数的有关知识：（1 1）.定义定义：一般地，如果y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.（2 2）.抛物线的三要素抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；2a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.（3 3）几种特殊的二次函数的图像特征如下：）几种特殊的二次函数的图像特征如下：（a0）函数解析式开口方向当a 0时开口向上对称轴顶点坐标（0,0）y ax2y ax ky ax h2x 0（y轴）x 0（y轴）x h当a 0时开口向下2(0,k)(h,0)y ax h k2x hx b2a(h,k)y ax2bx cb4ac b2，()2a4a（4 4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法求抛物线的顶点、对称轴的方法b4ac b2b 4ac b22（，）（1）公式法：公式法：y ax bx c ax，顶点是，对称轴是直 2a4a2a4a线x 2b.2a2（2）配方法：配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h k(a0）的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。(x2,y)（及y值相同）若已知抛物线上两点(x1,y)、，则对称轴方程可以表示为：x（5 5）.抛物线抛物线y ax bx c（a0）中，中，a,b,c的作用的作用1 1a决定决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.22x1 x222 2b和和a共同决定共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c（a0）的对称轴是直线2x bb，故：b 0时，对称轴为y轴；0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；2aab 0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.a23 3c的大小决定的大小决定抛物线y ax bx c（a0）与y轴交点的位置.当x 0时，y c，抛物线y ax bx c（a0）与y轴有且只有一个交点（0，c）：c 0，抛物线经过原点;c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则15.15.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式（1 1）一般式：）一般式：y ax bx c（a0）.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2 2）顶点式：）顶点式：y ax h k（a0）.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22b 0.a2（3 3）交点式：）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.16.16.直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y ax bx c（a0）得交点交点为(0,c).（2）抛物线与x轴的交点轴的交点二次函数y ax bx c（a0）的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程22ax2bx c 0（a0）的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点(0)抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切；没有交点(0)抛物线与x轴相离.（3）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax bx c k的两个实数根.2（4）一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax bx ca 0的图像G的交点，由方程2组y kxny ax bxc2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.0，Bx2，0，（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax bx c与x轴两交点为Ax1，2则AB x1x21717、锐角三角函数、锐角三角函数：含义含义A的正弦：sinA，A的余弦：cosA，A的正切：tanA22平方关系：平方关系：sinAcosA1倒数关系：倒数关系：tan1tan(90)增减性：增减性：0sinA1，0cosA1，tanA0A越大，A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式余角公式：sin(90A)cosA，cos(90A)sinA特殊角的三角函数值：特殊角的三角函数值：三角函数三角函数sinsincoscostantancotcot 0 00 01 10 0不存在不存在 30 30 45 45 60 60 90 901 10 0不存在不存在0 0123233322221 11 13212333h斜坡的坡度：斜坡的坡度：i铅垂高度 设坡角为，则itan 水平宽度l四、空间与图形四、空间与图形线段，射线，直线：线段，射线，直线：1 过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直性质：性质：6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行平行线判定：平行线判定：12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补三角形边角关系：三角形边角关系：15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边三角形的内角与外角：三角形的内角与外角：17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于18018 推论 1 直角三角形的两个锐角互余19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形性质：全等三角形性质：21 全等三角形的对应边、对应角、对应高线、对应中线、对应角平分线相等。面积、周长也相等。全等三角形判定：全等三角形判定：22 边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等角平分线定理：角平分线定理：27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形：等腰三角形：30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6034 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形RtRt中两个一半：中两个一半：37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半中垂线定理中垂线定理：39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合轴对称性质：轴对称性质：42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称勾股定理勾股定理：46 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方，即a b c47 逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系a b c，那么这个三角形是直角三角形多边形内角和外角多边形内角和外角：48 定理 四边形的内角和等于 36049 四边形的外角和等于 36050 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）18022222251 推论 任意多边的外角和等于360平行四边形性质定理平行四边形性质定理：52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边平行且相等54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理：平行四边形判定定理：56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理：矩形性质定理：60 性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 性质定理 2 矩形的对角线相等矩形判定定理矩形判定定理：62 判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形菱形性质定理菱形性质定理：64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66 菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（ab）2菱形判定定理菱形判定定理：67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形性质定理：正方形性质定理：69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称：中心对称：两个图形绕某一点旋转180后能与互相重合，这两个图形关于这一点成中心对称。71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的72 定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称等腰梯形性质定理：等腰梯形性质定理：74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等75 等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：等腰梯形判定定理：76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77 对角线相等的梯形是等腰梯形梯形常用辅助线：梯形常用辅助线：平行线等分线段定理平行线等分线段定理：l178 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，l2左上右上左上右上=，=那么在其他直线上截得的线段也相等（）左下右下左全右全79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰CADEFabcB80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边中位线定理：中位线定理：81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L中位线=比例性质：比例性质：上底+下底LS梯形=L中位线高2acac,那么ad bc，如果ad bc,那么（交叉相乘）bdbdacabcd84(2)合比性质 如果,那么bdbd83(1)比例的基本性质如果85(3)等比性质 如果acebdfmacema,那么nbd f nb黄金分割：黄金分割：线段 AB 被点 C 黄金分割（ACBC），点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比：相似三角形判定定理：相似三角形判定定理：90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似（A 型图或 X 型图）C91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（AA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似（射影定理）93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）ADB94 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（HL）相似三角形性质定理：相似三角形性质定理：96 性质定理 1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方点与圆的位置关系：点与圆的位置关系：（圆的半径为 R，某一点到圆心的距离为d）101（如果 dR点在圆上）102（如果 dR点在圆内）103（如果 dR点在圆外）三点共圆：三点共圆：104 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。109 三角形的外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。垂径定理：垂径定理：110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111 推论 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四量定理：四量定理：（弦，弧，弦心距，圆心角）114 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等（有一必有三）圆周角定理圆周角定理：116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系：设 R 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离（1）直线与圆相离dR直线与圆没有交点（2）直线与圆相切dR直线与圆没有唯一交点（3）直线与圆相交dR直线与圆没有有两个交点圆的内接四边形：圆的内接四边形：120 定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角相交弦定理相交弦定理O 中，弦 AB 与弦 CD 相交与点 E，则 AEBE=CEDE切线的判定与性质：切线的判定与性质：122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理：切线长定理：126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角BA弦切角定理：弦切角定理：O127 圆的外切四边形的两组对边的和相等128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角C129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等P130 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131 推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项切割线定理：切割线定理：132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项C CP PO OB BD DC CO OA AD DB BP PC CO OA AB BP PA A133 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等两圆位置关系：两圆位置关系：134 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135 设 R、r 分别为两圆半径，d 为两圆圆心距两圆外离 dR+r两圆外切dR+r两圆相交RrdR+r(Rr)两圆内切dRr(Rr)两圆内含dRr(Rr)136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦正多边形与圆：正多边形与圆：137 定理 把圆分成 n 等分(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆(n2)1800139 正 n 边形的每个内角都等于n140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形141 正 n 边形的面积S正n边形=周长玄心距2142 正三角形面积五、数学计算公式五、数学计算公式：3a（a 表示边长）4等边三角形面积S正(边长)2平行四边形面积S平行四边形平行四边形底高菱形面积S菱形底高(对角线的积)，梯形面积S梯形1(上底下底)高 中位线高2圆面积S圆R2圆周长l圆周长2R弧长L扇形面积S扇形nr21lr3602圆柱侧面积S圆柱侧底面周长高2rh，圆柱表面积S全面积S侧S底2rh2r圆锥侧面积S圆锥侧 底面周长母线rb，圆锥表面积S全面积S侧S底rbr210RtABC 的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径r 11ABC 的周长为l，面积为 S，其内切圆的半径为 r，则S 12内公切线长=d(Rr)外公切线长=d(R+r)2abc；21lr2