初三几何证明练习题含答案.pdf
初初三三几几何何证证明明题题经经 典典 题（一）题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内部的一点，PADPDA15。求证：PBC 是正三角形（初二）3、已知：如图，在四边形ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN于 E、F求证：DENF经经 典典 题（二）题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC600，求证：AHAO2、设 MN 是圆 O 外一条直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条割线交圆 O 于 B、C 及 D、E，连接 CD 并延长交 MN 于 Q，连接 EB 并延长交 MN 于 P.求证：APAQ3、如图,分别以ABC 的 AB 和 AC 为一边,在ABC 的外侧作正方形 ABFG 和正方形 ACDE，点 O 是 DF的中点，OPBC求证：BC=2OP证明：分别过 F、A、D 作直线 BC 的垂线，垂足分别是 L、M、NOF=OD，DNOPFLPN=PLOP 是梯形 DFLN 的中位线DN+FL=2OPABFG 是正方形ABM+FBL=90又BFL+FBL=90ABM=BFL又FLB=BMA=90，BF=ABBFLABMFL=BM同理AMCCNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=2OP经经 典典 题（三）题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECF证明：连接 BD 交 AC 于 O。过点 E 作 EGAC 于 GABCD 是正方形BDAC 又 EGACBDEG 又 DEACODEG 是平行四边形又COD=90ODEG 是矩形EG=OD=111BD=AC=AE222EAG=30AC=AEACE=AEC=75又AFD=90-15=75CFE=AFD=75=AECCE=CF2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：AEAF证明：连接 BD，过点 E 作 EGAC 于 GABCD 是正方形BDAC，又 EGACBDEG 又 DEACODEG 是平行四边形又COD=90ODEG 是矩形EG=OD=CAE=CEA=1GCE=152在AFC 中F=180-FAC-ACF=180-FAC-GCE=180-135-30=15111BD=AC=CE222GCE=30AC=EC3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPF（初二）证明：过点 F 作 FGCE 于 G，FHCD 于 HCDCGHCGF 是矩形HCF=GCFFH=FGHCGF 是正方形CG=GFAPFPAPB+FPG=90APB+BAP=90FPG=BAP又FGP=PBAFGPPBAFG：PB=PG：AB设 AB=x，BP=y，CG=zz：y=（x-y+z）：x化简得（x-y）y=（x-y）zx-y0y=z即 BP=FGABPPGF4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：ABDC，BCAD（初三）证明：过点 E 作 EKBD，分别交 AC、AF 于 M、K，取 EF 的中点 H，连接 OH、MH、ECEH=FHOHEF，PHO=90又 PCOC，POC=90P、C、H、O 四点共圆HCO=HPO又 EKBD，HPO=HEKHCM=HEMH、C、E、M 四点共圆ECM=EHM又ECM=EFAEHM=EFAHMACEH=FHEM=KMEKBDOBAOODEMAMKMOB=OD又 AO=CO四边形 ABCD 的对角经典题(四)1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求APB 的度数（初二）解：将ABP 绕点 B 顺时针方向旋转 60得BCQ，连接 PQ则BPQ 是正三角形BQP=60，PQ=PB=3在PQC 中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5PQC 是直角三角形PQC=90BQC=BQP+PQC=60+90=150APB=BQC=150A AP PB BQ QC C2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB（初二）证明：过点 P 作 AD 的平行线，过点 A 作 PD 的平行线，两平行线相交于点 E，连接 BEPEAD，AEPDADPE 是平行四边形PE=AD，又 ABCD 是平行四边形AD=BCPE=BC又 PEAD，ADBCPEBCBCPE 是平行四边形BEP=PCBADPE 是平行四边形ADP=AEP3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）证明：在 BD 上去一点 E，使BCE=ACD=CDCAD=CBDCDE EA AB BC CE EP PA AD D又ADP=ABPAEP=ABPA、E、B、P 四点共圆BEP=PABPAB=PCBD DBECADCBEBCADACB BC CADBC=BEACBCE=ACDBCE+ACE=ACD+ACE即BCA=ECD=BC,BAC=BDCBCBACEDC+得 ABCD+ADBC=DEAC+BEAC=（DE+BE）AC=BDACABACDECDABCD=DEAC4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证：DPADPC（初二）证明：过点 D 作 DGAE 于 G，作 DHFC 于 H，连接 DF、DEA AD DF F11SADE=AEDG，SFDC=FCDH22G GPH HE EC C1又 SADE=SFDC=SABCD2AEDG=FCDH又 AE=CFDG=DH点 D 在APC 的角平分线上DPADPCB B经经 典典 题（五）题（五）1、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPAPBPC，求证：3L2证明：（1）将BPC 绕 B 点顺时针旋转 60的BEF，连接 PE，A ABP=BE，PBE=60PBE 是正三角形。B BE ED DP PG GC CPE=PB 又 EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF当 PA、PE、EF 在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF 的值最小（如图）在ABF 中，ABP=120AF=3L=PA+PB+PC3（2）过点 P 作 BC 的平行线分别交 AB、AC 于 D、G则ADG 是正三角形ADP=AGP，AG=DGAPDAGPAPDADPADPA又 BD+PDPBCG+PGPC+得 AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=LAB=AC=1L2由（1）（2）可知：3L22、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPBPC 的最小值A A解：将 BCP 绕点 B 顺时针旋转 60得BEF，连接 PE，则BPE 是正三角形PE=PBP PB BE EC CD DPAPBPC=PA+PE+EF要使PAPBPC 最小，则 PA、PE、EF 应该在一条直线上（如图）此时 AF=PA+PE+EF过点 F 作 FGAB 的延长线于 GG GF F则GBF=180-ABF=180-150=3031GF=，BG=223122AF=GF AG=23122PAPBPC 的最小值是233、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长证明：将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90得BCQ，连接 PQ则BPQ 是等腰直角三角形，PQ=2PB=22a=22a又 QC=AP=aQP+QC=(22a)+a=9a=PC22222222A AP PD DB BQ QC C PQC 是直角三角形BQC=135BC2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC=PB2+PA2-2PBPAcos135=4a2+a2-22aa(-解得 BC=52 2a2)2正方形的边长为52 2a4、如图，ABC 中，ABCACB80，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA30，EBA20，求BED 的度数解：在 AB 上取一点 F，使BCF=60，CF 交 BE 于 G，连接 EF、DGABC=80，ABE=20，EBC=60，又BCG=60A ABCG 是正三角形BG=BCACB=80，BCG=60FCA=20EBA=FCA又A=A，AB=ACABEACFAE=AF1AFE=AEF=（180-A）=802又ABC=80=AFEEFBCEFG=BCG=60EFG 是等边三角形EF=EG，FEG=EGF=EFG=60ACB=80，DCA=30BCD=50BDC=180-BCD-ABC=180-50-80=50BCD=BDCBC=BD 前已证 BG=BCBD=BG1BGD=BDG=（180-ABE）=802FGD=180-BGD-EGF=180-80-60=40又DFG=180-AFE-EFG=180-80-60=40FGD=DFGDF=DG 又 EF=EG，DE=DEEFDEGD11BED=FED=FEG=60=30225、如图，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径，ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F，若 AC=6，BC=8，求线段 PD 的长。=BDAD=BD解：ACD=BCDADAB 为O 的直径ADB=90ABD 是等腰直角三角形ACB=90，AC=6，BC=8AB=10AD=ABcosDAB=102=522又 AECD，ACD=45ACE 是等腰直角三角形CE=AE=ACcosCAE=62=322（5 2）-（3 2）32DE=4 2在ADE 中，DE2=AD2-AE2DE2=22CD=CE+DE=32+4 2=7 2PDA=PCD，P=P PDAPCD PDPAAD5 25PCPDCD7 27PC=757535PD，PA=PDPC=PA+ACPD=PD+6 解得 PD=575741 证明：过点 G 作 GHAB 于 H，连接 OEEGCO，EFABEGO=90，EFO=90EGO+EFO=180E、G、O、F 四点共圆GEO=HFGEGO=FHG=90EGOFHGEOGO=FGHGGHAB，CDABGHCDGOCOHGCDEOCOFGCDEO=COCD=GF2 证明：作正三角形 ADM，连接 MPMAD=60，PAD=15MAP=MAD+PAD=75BAD=90，PAD=15BAP=BAD-PAD=90-15=75BAP=MAPMA=BA，AP=APMAPBAPBPA=MPA，MP=BP同理CPD=MPD，MP=CPPADPDA15PA=PD，BAP=CDP=75BA=CDBAPCDPBPA=CPDBPA=MPA，CPD=MPDMPA=MPD=75BPC=360-754=60MP=BP，MP=CPBP=CPBPC 是正三角形3 证明:连接 AC，取 AC 的中点 G,连接 NG、MGCN=DN，CG=DGGNAD，GN=1AD2DEN=GNMAM=BM，AG=CGGMBC，GM=F=GMNAD=BCGN=GMGMN=GNMDEN=F1BC21 证明：（1）延长 AD 交圆于 F，连接 BF，过点 O 作 OGAD 于 GOGAFAG=FG=ABABF=ACB又 ADBC，BEACBHD+DBH=90ACB+DBH=90ACB=BHDF=BHDBH=BF 又 ADBCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD又 ADBC，OMBC，OGAD四边形 OMDG 是矩形OM=GDAH=2OM（2）连接 OB、OCBAC=60BOC=120OB=OC，OMBCBOM=1BOC=60OBM=302BO=2OM由（1）知 AH=2OMAH=BO=AO2 证明：作点 E 关于 AG 的对称点 F，连接 AF、CF、QFAGPQ PAG=QAG=90又GAE=GAFPAG+GAE=QAG+GAF即PAE=QAFE、F、C、D 四点共圆AEF+FCQ=180EFAG，PQAGEFPQPAF=AFEAF=AEAFE=AEFAEF=PAFPAF+QAF=180FCQ=QAFF、C、A、Q 四点共圆AFQ=ACQ又AEP=ACQAFQ=AEP在AEP 和AFQ 中AFQ=AEPAF=AEQAF=PAEAEPAFQAP=AQ
