含绝对值不等式的解法含答案.pdf
含绝对值的不等式的解法含绝对值的不等式的解法一、一、基本解法与思想基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。（一）公式法：（一）公式法：即利用主要知识：主要知识：距离.。2、x a与x a的解集求解。x是指数轴上点x到原点的距离；1、绝对值的几何意义：x1 x2是指数轴上x1，x2两点间的x a与x a型的不等式的解法。x 的解集是x x a,或x a不等式当a 0时，不等式x a的解集是xa x a;当a 0时，不等式x a的解集是x xR不等式x a的解集是;3ax b c与ax b c型的不等式的解法。x a与x a型的不等式来求解。ax b c的解集是xax b c,或ax b c把ax b看作一个整体时，可化为当c 0时，不等式不等式ax b c的解集是xc ax bc;当c 0时，不等式ax b c的解集是x xR不等式a bx c的解集是;例例 11 解不等式解不等式x 2 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“x 2”看着一个整体。答案为 例例 22不等式不等式|x|x2 23x|3x|4 4 的解集是的解集是_分析可转化为(1)x23x4 或(2)x23x4 两个一元二次不等式x 1 x 5。由(1)可解得x1或x4，(2)答填x|x1 或 x4例例 3 3解不等式解不等式 2 22 2x x5 57 7|2x 5|2解法解法 1 1：原不等式等价于|2x 5|7732x 5|2或2x 5 2x 或x 即227 2x 5|71 x 637或x622解法解法 2 2：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集()22x57()252x773不等式()的解集为xx6，不等式()的解集是x1x2237原不等式的解集是x1x或x622原不等式的解集为x1x 例例 44解关于解关于x的不等式的不等式x2 3x 8 10 x2 3x 810，解：原不等式等价于10 x2 3x 8 10 x 1或x 2即2 6 x 3x 3x 810 原不等式的解集为(6,2)(1,3)练习：4x3 2x1；（2）4|2x 3|7；（3）3 52x 9；（4）1|x1|3（1）（5）x210 3x（6）x 1 4 2。117或x 2（2）x 2 x 或 x 5322（3）2,1 4,7（4）(4,2)(0,2)（5）x|2 x 5（6）x 5 x 1或3 x 7解答：（1）x x a(a 0),（二）定义法（二）定义法:即利用a 0(a 0),去掉绝对值再解。a(a 0).例例 解不等式解不等式xx.x2x2分析:由绝对值的意义知，a aa0，a aa0。x0 x(x+2)0-2x0。x2练习练习:（1）|x2|x2的解集是；xx2解:原不等式等价于（2）不等式xx的解集是。x x 2或x 02 x2 x（三）平方法（三）平方法:解f(x)g(x)型不等式。例例、解不等式、解不等式x1 2x3.解:原不等式(x1)(2x3)(2x3)(x1)02222(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)0(3x-4)(x-2)0练习：练习：解关于x的不等式4 x 2。3(1)2x 1 5 x；(2)2x 1 x 2；（3）|x 2|x 1|答案：（1）；（2）(（四）分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。（四）分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。例例 11 解不等式解不等式x1 x2 5.11,3)；（3）x x。23x 1 0，x 2 0，得x 1和x 2。2和1把实数集合分成三个区间，即x 2，2 x 1，x 1，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。分析:由解:当 x-2 时，得x 2，(x1)(x2)5解得：3 x 2当-2x1 时，得当x 1时，得2 x 1,，解得：2 x 1(x1)(x2)5x 1,解得：1 x 2(x1)(x2)5.综上，原不等式的解集为x 3 x 2。例例 22 解关于解关于x的不等式的不等式2x 1 x x 3 1.x 3解：当x 3时，得，无解(2x 1)x (x 3)111313 x x 当3 x，得，解得：2242(2x 1)x x 31111x x 当x 时，得，解得：2222x 1 x x 3131综上所述，原不等式的解集为(，)42练习练习：1.解不等式：x1 2 x 2（答案：x x 2.解不等式：15a或x）22x 1 x 2 5（答案：(,32,)）1x2|4（答案：x x 或x 123.解不等式：|2x1|（五）几何法：即转化为几何知识求解。（五）几何法：即转化为几何知识求解。例例 对任何实数对任何实数x，若不等式，若不等式x1 x2 k恒成立，则实数恒成立，则实数 k k 的取值范围为的取值范围为(A)k3(B)k-3(C)k3(D)k-3)分析:设y x1 x2，则原式对任意实数 x 恒成立的充要条件是k ymin，于是题转化为求y的最小值。x-102解:x1、x2的几何意义分别为数轴上点x 到-1 和 2 的距离x1-x2的几何意义为数轴上点x 到-1 与 2 的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）。练习练习:1对任意实数x，|x1|x2|a恒成立，则a的取值范围是；2对任意实数x，|x1|x3|a恒成立，则a的取值范围是；3若关于x的不等式|x4|x3|a的解集不是空集，则a的取值范围是；a 3；a 4；a 7；
