全国各地高考模拟数学试题汇编概率随机变量及其分布列理卷B.pdf

专题 7概率与统计第 2 讲概率、随机变量及其分布列（B 卷）一、选择题（每题 5 分，共 40 分）1.（2015山东省潍坊市高三第二次模拟考试12）2（2015 山 东 省 淄 博 市 高 三 阶 段 性 诊 断 考 试 试 题 4）已 知 随 机 变 量 N0,2若.PA0.4773）=0.，则0 2 3P（3=3C0.954D0.977B0.6283（2015山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题9）若a,b0,2，则函数1fxax32x24bx1存在极值的概率为（）312ln 232ln 21ln2ABC4421，EX=1，则 DX=（）524AB55D1ln224(2015陕西省西工大附中高三下学期模拟考试8)已知随机变量 X 的取值为 0，1，2，若 P（X=0）=C23D435.（2015山东省枣庄市高三下学期模拟考试7）6.（2015山东省潍坊市高三第二次模拟考试4）7.(江西省新八校 2014-2015 学年度第二次联考 6)如图，ABCD是边长为 1 的正方形，O为AD的中点，抛物线的顶点为O且通过点C，向正方形内偷一点P，则点P落在阴影部分内的概率为（）A.14B.13C.23D.348(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试5)如图,在网格状小地图中,一机器人从 A(0,0)点出发,每秒向上或向右行走 1 格到相应顶点,已知向上的概率是后到达 B(4,2)点的概率为()A12,向右的概率是,问 6 秒3316729B80243C4729D20243二、非选择题（60 分）9(2015.南通市高三第三次调研测试6)从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为 x，则log2x为整数的概率为10（2015南京市届高三年级第三次模拟考试 2）经统计，在银行一个营业窗口每天上午9 点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数概率00.110.1620.330.340.150.04则该营业窗口上午 9 点钟时，至少有 2 人排队的概率是11(2015盐城市高三年级第三次模拟考试6)某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为12.(徐州、连云港、宿迁三市2015 届高三第三次模拟5)已知集合A A 0 0,1 1,B B 2 2,3 3,4 4,若从A A,B B中各取一个数，则这两个数之和不小于4 的概率为.13(2015聊城市高考模拟试题14)记集合A x,yx 02x1 y2 1,Bx,yy xy x2构成的平面区域分别为M,N，现随机地向 M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入 N 中的概率为_14.(2015山东省潍坊市第一中学高三过程性检测15)关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请 120 名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计的值.假如统计结果是 m=94，那么可以估计 _.（用分数表示）15（2015苏锡常镇四市高三数学调研（二模）5）从 3 名男生和 1 名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为16（2015厦门市高三适应性考试15）十八世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出投针问题：在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l的针任意掷在这个平面上，求得此针与平行线中任一条相交的概率p（为圆周率）.已知l 3.14,a 6，3.14，现随机掷 14 根相同的针（长度为l）在这个平面上，记这些针与平行线（间距为a）相交的根数为m，其相应的概率为P(m).当P(m)取得最大值时，m 17.(江西省新八校 2014-2015 学年度第二次联考18)（本小题满分 12 分）今年柴静的穹顶之下发布后，各地口罩市场受其影响审议火爆，A 市场虽然雾霾现象不太严重，但经抽样有 25的市民表示会购买口罩，现将频率视为概率，解决下列问题：（1）从该市市民中随机抽取3 位，求至少有一位市民会购买口罩的概率；（2）从该市市民中随机抽取 4 位，X表示愿意购买口罩的市民人数，求X的分布列及数学期望.18.(2015.南通市高三第三次调研测试23)（本小题满分 10 分）袋中共有 8 个球，其中有 3个白球，5 个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中重复上述过程 n 次后，袋中白球的个数记为Xn（1）求随机变量 X2的概率分布及数学期望E(X2)；（2）求随机变量 Xn的数学期望 E(Xn)关于 n 的表达式2la专题 7概率与统计第 2 讲概率、随机变量及其分布列（B 卷）参考答案与解析1.【答案】8【命题立意】本题旨在考查平面区域，几何概型x y 2 0 x 0【解析】作出不等式组的可行域，其是由点O（0，0），A（2，0），B（0，2）y 0122=2，而在该三角形区域内，与单位圆重211T复部分的面积为 T=12=，根据几何概型的概率公式可得所求的概率为=44S8围成的三角形区域（包括边界），其面积为S=2.【答案】C【命题立意】本题主要考查随机变量的正态分布【解析】由随机变量服从正态分布可知正态密度曲线关于轴对称，而P3=0.023，则P 3=0.023，P33=1-2P3=1-20.02309543.【答案】A【命题立意】本题主要考查函数的导数、极值、积分及几何概率模型【解 析】由fx13ax 2x24bx1可 知f/x ax24x4b，函 数3 424a4b 0,ab 1，又1fxax32x24bx1存 在 极 值，则32121d x l n2|1xx2122ln 212ln 222，所以函数有极值的概率为：l n 2444.【答案】A【命题立意】本题旨在考查随机变量的分布列、数学期望与方差114，设 P（X=1）=a，则 P（X=2）=a，由于 EX=0+1a+255533114（a）=1，解得 a=，即 P（X=1）=，P（X=2）=，故 DX=（01）2+（11）555551223+（21）2=555【解析】由于 P（X=0）=5.【答案】B【命题立意】本题考查了随机变量的正态分布问题，题目较为简单，关键是学生能正确理解正态分布规律。【解析】因为正态分布曲线关于x 80对称且 10，所以P(70 X 90)0.6826，所以0.6826 48 32.7648，又因为是在80 到 90 分之间，所以6.【答案】D【命题立意】本题旨在考查正态分布及其应用【解析】根据正态分布的性质知u=1，而 P（01）=P（12）=P（2）P（1）=0.60.5=0.17.【答案】B【命题立意】考查几何概型，用定积分求面积，容易题.【解析】以O为坐标原点，建立如图的直角坐标系，由条件易求得点C在抛物线y 4x的232.7648 16.3824，所以人数约为 16.2图象上，点P落在阴影部分内的概率为p 10(14x2)dx111.38.【答案】D【命题立意】本题重点考查了排列、组合、古典概型公式及其运用等知识，属于中档题【解析】根据题意，互斥事件的概率加法公式，得11111120P(1)4(1)2，故选 D3333332439.【答案】49【命题立意】本题考查古典概型，简单的对数运算，意在考查分析能力，容易题.【解析】从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为 x，使得log2x为整数的x有 1,2,4,8，故所求的概率为p 10.【答案】0.74【命题立意】本题旨在考查概率及其应用【解析】根据题中统计数据，至少有2 人排队的概率是 P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.7411.【答案】4.956【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用【解析】从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人的所有基本事件为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共有6 种，而甲与乙中至少有一人被录用的基本事件为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁，共有5 种，根据古典概型的概率公式可得所求的概率为P=12.【答案】5612【命题立意】本题旨在考查古典概型【解析】从A、B 中各取一个数的所有基本事件为：（0，2），（0，3），（0，4），（1，2），（1，3），（1，4），共有6 种，而两个灵敏之和不小于4 的基本事件为：（0，4），（1，3），（1，4），共有 3 种，根据古典概型的概率公式可得所求的概率为P=13.【答案】31=6216【命题立意】本题旨在考查线性规划和几何概型综合应用，体现了数形结合思想【解析】由题意知本题是一个几何概型试验包含的所有事件是随机向区域M 内抛一点，它所对应的图形如图所示：面积是SMr.而满足条件的事件是点落在平面区域 N 内,对 应 的 面 积 是SN21213112(x x)dx (x x)|0.根 据 几何 概 型 概 率 公 式得 到02361P 1.6771514.【答案】【命题立意】本题重点考查随机模拟法求圆周率问题以及几何概率的应用问题，难度较大.【解析】由题意知，120 对都小于 1 的正实数对(x,y)，满足0 x 1，面积为 1，两个0 y 10 x 1，x y 1，面积0 y 1能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足x y 1且为221，因为统计两数能与1 构成钝角三角形的数对(x,y)的个数为 94，所以4294177.，得1512042115.【答案】2【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用【解析】设 3 名男生分别为 a，b，c，1 名女生为 d，从 4 名学生中随机选取 2 人的所有基本事件为：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共有6 种，而两人恰好是一名男生和一名女生的基本事件为：ad，bd，cd，共有 3 种，根据古典概型的概率公式可得所求的概率为P=16.【答案】4或5【命题立意】本题旨在考查二项分布及其概率计算.m m 1 11313 m m m m 1 1 m m 2 2 1414 m m 2 2 m m 1 1 1 1 C C1414 C C1414 2 2 3.143.141 1 3 3 3 3 3 3 3 3 .从而得到【解析】由题p p m m1414 m mm m 1 11515 m m3.143.14 6 63 3 2 2 m m 1 1 2 2 m m 1 1 1 1 C C C C1414 1414 3 3 3 3 3 3 3 3 31=62解得4 4 m m 5 5.所以当m=4或5时，P(m)取得最大值.故答案为：4或517.【答案】（1）37；（2）X的分布列为：6401234XP812562764271283641256EX 1.【命题立意】考查对立事件，随机变量的分布列、期望，中等题.【解析】（1）依题意可得，任意抽取一位市民会购买口罩的概率为1，4从而任意抽取一位市民不会购买口罩的概率为34327373设“至少有一位市民会购买口罩”为事件A，则，PA1-1-，46464故至少有一位市民会购买口罩的概率3764（2）X的所有可能取值为：0,1，2，3，48103，PX 0C4 256411082713PX 1C4 4425664542731，PX 2C 2561284424223412333 1，PX 3 C4 4425664 11PX 4 2564所以X的分布列为：43X012342731P641282568127273112341，EX 025664128642562764或X B4，EX np 1.18.【答案】（1）随机变量 X2的概率分布如下表：8125614X2P数学期望 E(X2)=396443564551626735 7；（2）E(Xn)=8()n16488【命题立意】本题考查随机变量分布列、期望，意在考查分析转化能力，计算能力，较难题.【解析】（1）由题意可知 X2，4，5C1C1933=；1C1C6488当 X2=3 时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2=11C1C1353C55C4当 X2=4 时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X2=4)=1111=；C8C8C8C8641C155C4当 X2=5 时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2=5)=11=C8C816所以随机变量 X2的概率分布如下表：X2P3964435645516（一个概率得一分不列表不扣分）数学期望 E(X2)=39355267 4564641664（2）设 P(Xn=3+k)=pk，k=0，1，2，3，4，5则 p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5P(Xn+1=P(Xn+1=7)=所以，44627355318E(Xn+1)=3p0+4(p0+p1)+5(p1+p2)+6(p2+p3)+7(p3+p4)+8(p4+p5)88888888888=4463553p0，P(Xn+1=4)=p0+p1，P(Xn+1=5)=p1+p2，P(Xn+1=6)=p2+p3，88888882718p3+p4，P(Xn+1=8)=p4+p5，8888=293643505764p0+p1+p2+p3+p4+p5888888=7(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+p0+p1+p2+p3+p4+p587E(Xn)+1 8由此可知，E(Xn+1)又 E(X1)-8=-8=7(E(Xn)8-8)35 735，所以 E(Xn)=8()n 1888