导数的概念教案.pdf
【教学课题教学课题】：导数的概念导数的概念（第一课时）（第一课时）【教学目的教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。【教学重点教学重点】：在一点处导数的定义。【教学难点教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。【教学方法教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。【教学过程教学过程】：一）一）导数的思想的历史回顾导数的思想的历史回顾导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。二）两个来自物理学与几何学的问题的解决二）两个来自物理学与几何学的问题的解决问题问题 1 1（以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：s(t)12gt，t0,T，求：落体在t0时刻（t00,T）的瞬时速度。2t0t问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段t0,t（或t,t0）上的平均速度为v 若t t0时平均速度的极限存在，则极限s(t)s(t0)t t0v limtt0s(t)s(t0)t t0为质点在时刻t0的瞬时速度。问题问题 2 2（以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线y f(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线曲线C在点在点M处的切线。处的切线。问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线 PQ 的斜率为tany y0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角）x x0 x x0当x x0时，若上式极限存在，则极限k tan limxx0f(x)f(x0)（为割线MT的倾角）x x0为点M处的切线的斜率。上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问题的解决都归结到求形如limxx0f(x)f(x0）（1）x x0的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。三）三）导数的定义导数的定义定义定义设函数y f(x)在x0的某邻域内有定义，若极限xx0limf(x)f(x0）x x0存在，则称函数函数f在点在点x0处可导处可导，并称该极限为f在点在点x0处的导数处的导数，记作f(x0)。即f(x0)limxx0f(x)f(x0）（2）x x0也可记作yxx，odf(x)dy，。若上述极限不存在，则称f在点在点x0处不可导。处不可导。dxxxodxxxof在在x0处可导的等价定义：处可导的等价定义：设x x0 x,y f(x0 x)f(x0)，若x x0则等价于x 0，如果函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：f(x0)limxx0f(x)f(x0）yf(x0)lim（3）x0 xx x0 f(x0)limx0f(x0 x)f(x0）（4）x f(x0)lim四）四）f(x0)f(x0）（5）0利用导数定义求导数的几个例子利用导数定义求导数的几个例子2例例1 1 求f(x)x在点x 1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。解解由定义yf(1x)f(1)(1x)21f(1)lim lim limx0 xx0 x0 xx2x x2 lim lim(2 x)2x0 x0 x于是曲线在(1,1)处的切线斜率为 2，所以切线方程为y 1 2(x 1)，即y 2x 1。例例 2 2设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。证证f(x)f(x)f(x)f(x)又f(0)limx0f(0 x)f(0)f(x)f(0)limx0 xxf(x)f(0)f0(x)f(0)lim f(0)x0 xx limx0 f(0)0注意：f(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。此题的为x。01xsin,x 0 x例例 3 3 讨论函数f(x)在x 0处的连续性，可导性。0,x 0解解首先讨论f(x)在x 0处的连续性：lim f(x)limxsinx0 x01 0 f(0)x即f(x)在x 0处连续。再讨论f(x)在x 0处的可导性：x0limf(0 x)f(0)limx0 xxsin101x此极限不存在 lim sinx0 xx即f(x)在x 0处不可导。问问怎样将此题的f(x)在x 0的表达式稍作修改，变为f(x)在x 0处可导1n1xsin,x 0 x答f(x)n 1,2,30,x 0四）可导与连续的关系四）可导与连续的关系，即可。由上题可知；在一点处连续不一定可导。反之，若设f(x)在点x0可导，则y f(x0)x0 xlim由极限与无穷小的关系得：y f(x0)x o(x)，所以当x 0，有y0。即f在点x0连续。故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。连续不一定可导，可导一定连续。五）五）单侧导数的概念单侧导数的概念例例 4 4 证明函数f(x)|x|在x 0处不可导。证明证明x0limf(x)f(0)xf(x)f(0)x lim1，lim lim 1x0 xx0 x0 x 0 x 0 xlimx0f(x)f(0)极限不存在。x0故f(x)|x|在x 0处不可导。在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：定义定义设函数y f(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限x0limf(x0 x)f(x0）y（0 x）limx0 xx存在，则称该极限为f在点在点x0的右导数的右导数，记作f(x0)。左导数左导数f(x0)limx0y。x左、右导数统称为单侧导数单侧导数。导数与左、右导数的关系导数与左、右导数的关系：若函数y f(x)在点x0的某邻域内有定义，则f(x0)存在f(x0)，f(x0)都存在，且f(x0)=f(x0)。例例 5 5设f(x)解解由于1cosx,x 0，讨论f(x)在x 0处的可导性。x 0 x,f(0)limx0f(x0 x)f(x0)1cosx lim 0 x0 xxf(x0 x)f(x0)x lim1x0 xxf(0)limx0从而f(0)f(0)，故f(x)在x 0处不可导。六）六）小结小结:本课时的主要内容要求：深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；注意f(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。0明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。
