数系的扩充和复数概念和公式总结.pdf
数系的扩充和复数概念和公式总结数系的扩充和复数概念和公式总结1.1.虚数单位虚数单位i:它的平方等于-1，即i2 12.2.i与与1 1 的关系的关系:i就是1 的一个平方根，即方程x2=1 的一个根，方程x2=1 的另一个根是i3.3.i的周期性：的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=14.4.复数的定义：复数的定义：形如a bi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示复数通常用字母z表示，即z a bi(a,bR)5.5.复数与实数、复数与实数、虚数、虚数、纯虚数及纯虚数及0 0的关系：的关系：对于复数a bi(a,bR)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR R)是实数a；当b0 时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0 且b0 时，z=bi叫做纯虚数；a0 且b0 时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0 时，z就是实数 0.5.5.复数集与其它数集之间的关系：复数集与其它数集之间的关系：N N Z Z Q Q R R C C.6.6.两个复数相等的定义：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，dR R，那么a a+bibi=c c+didia a=c c，b b=d d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小7.7.复平面、实轴、虚轴：复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴实轴，y轴叫做虚轴虚轴实轴上的点都表示实数（1 1）实轴上的点都表示实数）实轴上的点都表示实数（2 2）虚轴上的点都表示纯虚数）虚轴上的点都表示纯虚数（3 3）原点对应的有序实数对为）原点对应的有序实数对为(0(0，0)0)设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR R)是任意两个复数，8 8复数复数z z1 1与与z z2 2的加法运算律：的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.9.复数复数z z1 1与与z z2 2的减法运算律：的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10.10.复数复数z z1 1与与z z2 2的乘法运算律：的乘法运算律：z1z2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.11.11.复数复数z z1 1与与z z2 2的除法运算律：的除法运算律：z1z2=(a+bi)(c+di)=acbdbcad2i（分母实数化）222c dc d12.12.共轭复数：共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数复数z的共轭复数为的共轭复数为z。例如z=35i 与z=35i 互为共轭复数13.13.共轭复数的性质共轭复数的性质（1）实数的共轭复数仍然是它本身（2）Z Z Z Z Z Z2 2 Z Z2 2（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称14.14.复数的两种几何意义：复数的两种几何意义：15 15 几个常用结论几个常用结论（1）1 1 i i 2 2 2 2i i，（2）1 1 i i 2 2 2 2i i复数Z Z a a bi bi a a,b b R R 一一对应一一对应（3）点Z Z(a a,b b)一一对应向量OZ1 11 1 i i i i i i，（4）1 1 i ii i1 1 i i i i1 1 i i16.16.复数的模：复数的模：（5）2 22 2复数Z Z a a bi bi的模Z Z a a b b（6）a a bi bi a a bi bi a a2 2 b b2 220092014 年高考文科数学试题分类汇编复数222.（2009 浙江卷文）设z1i（i 是虚数单位），则z（）z（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i3i3.（2009 山东卷文）复数等于（）1i（A）12i（B）12i（C）2i（D）2i4.（2009 安徽卷文）i 是虚数单位，i（1i）等于（）（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i5i5.（2009 天津卷文）i 是虚数单位，（）2i（A）12i（B）12i（C）12i（D）12i32i6.（2009 宁夏海南卷文）复数（）23i（A）1（B）1（C）i17.（2009 辽宁卷文）已知复数z12i，那么（）（D）iz（A）52 552 512i（B）i（C）i55555512（D）i5528.（2010 湖南文数 1）复数等于（）1i（A）1i（B）1i（C）1i3i210（2010 全国卷 2 理数）复数（）（）1i（A）34i（B）34i（C）34i（D）34i（D）1ii11.（2010 陕西文数）复数z在复平面上对应的点位于（）1i（A）第一象限12i12.（2010 辽宁理数（2）设a，b为实数，若复数1i，则（）abi31（A）a，b2213（C）a，b2216.（2010 山东文数）已知（A）1（B）a3，b1（D）a1，b3（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限a2iibi（a，bR），其中 i 为虚数单位，则ab（）（D）3（B）1（C）217.（2010 北京文数（2）在复平面内，复数 65i，23i 对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）（A）48i（B）82i（C）24i（D）4i2318.（2010 四川理数（1）i是虚数单位，计算 ii i（）（A）1（B）1（C）i（D）i3i19.（2010 天津文数）i 是虚数单位，复数（）1i（A）12i（B）24i（C）12i（D）2i13i20.（2010 天津理数）i 是虚数单位，复数（）12i（A）1i（B）55i（C）55i（D）1i21.（2010 广东理数）若复数z11i，z23i，则z1z2（）（A）42 i（B）2 i（C）22 i（D）31i422.（2010 福建文数）i 是虚数单位，（）等于（）1i（A）i（B）i（C）1（D）132i23.（2010 全国卷 1 理数（1）复数（）23i（A）i（B）i（C）1213i（D）1213i24.（2010 山东理）已知（A）1a2iibi（a，bR），其中 i 为虚数单位，则ab（）（C）2（D）3（B）1i226.（2011 年北京理）复数（）12i（A）i（B）i43（C）i5543（D）i551ai29.（2011 年安徽理（1）设 i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）2i11（A）2（B）2（C）（D）2230.（2011 年福建文）i 是虚数单位，1i等于（）（A）i（B）i（C）1i（D）1i331.（2011 年广东理 1）设复数z满足（1i）z2，其中 i 为虚数单位，则Z（）（A）1i（B）1i（C）22i（D）22i32.（2011 年广东文 1）设复数z满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则z（）（A）i（B）i（C）1（D）11i201133.（2011 年湖北理 1）i 为虚数单位，则（）（）1i（A）i（B）1（C）i（D）155.【2012 湖南文 2】复数zi（i1）（i 为虚数单位）的共轭复数是（）（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i62（2013 年北京卷（文）在复平面内，复数 i（2i）对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限67.（2013 年江西卷）复数zi（2i）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
