2023年上海高一下学期数学同步讲义第8讲正切函数图像及其性质含详解.pdf

第 8 讲 正切函数图像及其性质 知识梳理 1、正切函数的图像：可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan,yx xR，且()2xkkZ的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知：（1）定义域：|()2x xkkZ，（2）值域：R 观察：当x从小于，时，tan x 当x从大于，时，tan x .（3）周期性：T （4）奇偶性：tan()tanxx，所以是奇函数 2,2zkk22kxzkk2kx2x y y 0 x（5）单调性：在开区间(,),22kkkZ内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2kkZ 2、余切函数的图象：2tan2tancotxxxy 即将xytan的图象，向左平移2个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得xycot的图象 由余弦函数图像可知：（1）定义域：|()x xkkZ，（2）值域：R（3）周期性：T （4）奇偶性：tan()tanxx，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,),kkkZ 内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2kkZ 例题解析 一、正切函数的图像 例 1（2020全国高一课时练习）设函数()tan33xf x.（1）求函数f(x)的最小正周期对称中心；（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图.例 2（2020全国高一课时练习）已知函数 sincosxfxx（1）求函数 f x的定义域；（2）用定义判断函数 f x的奇偶性；（3）在,上作出函数 f x的图象 例 3.作函数|ytan x的图像.例 4.求函数()tantanf xxx的定义域、周期、单调增区间，并画草图 例 5.根据正切函数图象，写出满足下列条件的x的范围.（1）tan0 x （2）tan0 x （3）tan0 x （4）tan3x 例 6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x值的集合：（1）0tan1x （2）3tanx0 例 7.比较下列两数的大小（1）2tan7与10tan7 （2）6tan5与13tan()5 （3）81cot与191cot 例 8.函数sinyx与tanyx的图像在 2,2 上的交点有 （）.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D.D 9个【巩固训练】1作出函数|tan|yx的图象.2利用图像，不等式3tan 21x的解集为_.3比较413tan与517tan的大小 4 若()tan()4f xx，试比较(1),(0),(1)fff，并按从小到大的顺序排列：_.5.（2020全国高一课时练习）设函数 tan23xfx.（1）求函数f(x)的最小正周期，对称中心；（2）作出函数 fx在一个周期内的简图 二、正切函数的定义域及值域 1、正切函数的定义域 例 1.求下列函数的定义域（1）tan2yx （2）23tanyx （3）costanyxx （4）11tanyx 例 2（2019宝山区上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数 tanf xx完全相同的是（）A22tan21tan2xyx B1cotyx Csin21cos2xyx D1 cos2sin2xyx 例 3（2019上海市大同中学高一期中）函数arcsintan 2yxx的定义域是_ 例 4（2017上海杨浦区复旦附中高一期中）已知函数 2lg tan19f xxx，则 f x的定义域是_.例 5.求函数y lg(tan3)x3cos2x的定义域 【巩固训练】1函数tan4yx的定义域为_ 2与函数)42tan(xy的图象不相交的一条直线是 （）.A2x .B2x .C4x .D8x 3求下列函数的定义域(1)1sintanyxx；(2)sintan()log(2cos1)4xyxx 2、正切函数的值域与最值 例 1（2016上海浦东新区华师大二附中高一期中）设函数 sin2sin1cos2cosxxfxxx，关于 f x的性质，下列说法正确的是_.定义域是,2x xkkZ；值域是R；最小正周期是；f x是奇函数；f x在定义域上单调递增.例 2（2020上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）1tan,01tan2 xyxx；（2）2tan3tan1,3 4 yxxx 例 3（2020上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）tan,62 6 yxx；（2）2tan1,1tan4 6 xyxx；（3）2sec2tan1,3 3 y 例 4.函数2tan,0,124yxx的值域为 例 5.若4,3x，求函数1tan2cos12xxy的最值及相应的x值；.例 6.已知2tantanyxax，当10,0,34xa时，函数max2y，求实数a的值.例 7.求函数252tan4tan3yxx的值域.【巩固训练】1求函数sintan,4 4yxx x 的值域 2求函数2)1(tan12xy的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x的集合.3已知2tan2tan3yxx，求它的最小值 4函数2tan4tan1yxx的值域为_ 三、正切函数的性质 1、正余切函数的周期性 例 1（2016上海浦东新区高一期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间,2上为减函数的是（）A2cosyx B2 sinyx Ccos13xy Dcotyx 例 2（2015上海）下列函数中，以为周期的偶函数是（）Asin 2yx Bcos2xy Csin2xy Dcos2yx 例 3（2018上海市青浦高级中学）函数3tan(3)6yx的最小正周期为_.例 4（2019上海市向明中学高一期中）函数cot2yx的最小正周期为_.例 5（2020上海高一课时练习）求下列函数的最小正周期：（1）tan 23yx；（2）tancotyxx 例 6.求下列函数的周期:（1）tan(3)3yx （2）22tan1tanxyx （3）cottanyxx（4）22tan21tan2xyx （5）sin1tantan2xyxx 【巩固训练】1函数3tan(2)4yx的周期为_.2函数tan()(0)6yaxa的最小正周期为_,3函数yxx22tan1tan1的周期为 2、正切函数的奇偶性与对称性 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1)2costanf xxx 22(2)tancotf xxxx 1 sincos(3)1 sincosxxf xxx 44tan2f xxxx 2tantan51tanxxfxx 例 2.求函数1()tancotf xxx的最小正周期，并判断函数的奇偶性.例 3（2020上海市南洋模范中学高一月考）函数tan 24yx的最小正周期为_，对称中心为_.例 4.（2015上海）下列结论中：1）函数sinykxkZ为奇函数 2）函数tan 26yx的图象关于点,012对称 3）函数cos 23yx的图象的一条对称轴为23x 4）若，则21cos5x 其中正确的结论序号为_ 例 5.求函数3tan(2)3yx的对称中心的坐标 例 6.若)2tan(xy图象的一个对称中心为)0,3(，若22，求的值.【巩固训练】1判断下列函数的奇偶性（1）xxxftan1tan)(；（2）xxxftancos2)(；.2判断下列函数的奇偶性（1）tan(3)3yx（2）|tan()|4yx 3函数tan2yx的图像关于点 成中心对称.4 下列坐标所表式的点中，不是函数)62tan(xy的图象的对称中心的是 （）.A)0,3(.B)0,35(.C)0,34(.D)0,32(3、正切函数的单调性 例 1（2020上海徐汇区位育中学高一月考）下列函数中既是奇函数又在(0,)上单调递增的是（）Asinyx Bcosyx Ctanyx Dsin2xy 例 2（2019上海市宜川中学高一期中）函数tan 2yx的单调递增区间是_.例 3（2019上海市向明中学高一期中）函数tan 24yx的单调递增区间为_.例 4.求下列函数的单调区间：（1）13tan()24yx （2）3tan()24xy 例 5.求下列函数的单调区间：（1）cot(2)4yx （2）|tan|yx 例 6.已知函数wxytan在2,2内是减函数，则 （）.A10 w .B01w .C1w .D1w 例 7.已知函数3tan(),0,33xyb xa是增函数，值域为 2 3,0，求,a b的值。例 8.求函数的定义域、值域并指出它的周期性、奇偶性、单调性.例 9（2018上海静安区高一期末）已知余切函数 cotf xx.（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）（2）求证：余切函数 cotf xx在区间0,上单调递减.4tanxy 例 10.设足球场宽 65 米，球门宽 7 米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大.（保留两位小数）【巩固训练】1求函数tan(2)3yx的单调区间 2求下列函数的单调区间（1）2tan()36xy （2）tan(3);6yx 3下列函数中，周期为，且在2,0上是单调递增函数的是 （）.Axytan .Bxysin .Cxytan .Dxycos 3下列命题中正确的是 （）.Axytan在第一象限单调递增 .B在函数xytan中，x越大，y也越大.C当0 x时，总有0tanx .Dxytan 的图象关于原点对称 4下列命题中正确的是 （）.Acosyx在第二象限是减函数 .Btanyx在定义域内是增函数.C|cos(2)|3yx的周期是2.Dsin|yx是周期为2的偶函数 5函数)0(tan)(wwxxf的图像相邻的两支截直线4y所的线段长度为4，则4f的值为（）.A4 .B 0 .C1 .D2 6直线ya(a为常数)与正切曲线tan(yx 为常数，且0)相交的两相邻点间的距离为（）.A .B2 .C .D与a值有关 7已知函数)2tan(xy的图像过点0,12，则可以是 （）.A6 .B6 .C12 .D12 8 在下列函数中，同时满足：在0,2上递增；以2为周期；是奇函数的是（）.Atanyx .Bcosyx .Ctan2xy .D.tanyx 9求函数tan(3)3yx的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。反思总结 本节课是在学生已经掌握了正弦函数、余弦函数正切函数的图像及性质的前提下，进一步分析和探究余切函数图像和性质及正切函数的图像和性质的应用。例题的设计上从最基本的利用单调性比较大小出发，到函数性质的简单应用，再到单调性和周期性的变式训练，由浅入深，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取启发、对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生较开阔的思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力。第 8 讲 正切函数图像及其性质 知识梳理 1、正切函数的图像：可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan,yx xR，且()2xkkZ的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知：（1）定义域：|()2x xkkZ，（2）值域：R 观察：当x从小于，时，tan x 当x从大于，时，tan x .（4）周期性：T 2,2zkk22kxzkk2kx2x y y 0 x（4）奇偶性：tan()tanxx，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,),22kkkZ内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2kkZ 2、余切函数的图象：2tan2tancotxxxy 即将xytan的图象，向左平移2个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得xycot的图象 由余弦函数图像可知：（1）定义域：|()x xkkZ，（2）值域：R（3）周期性：T （4）奇偶性：tan()tanxx，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(,),kkkZ 内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2kkZ 例题解析 一、正切函数的图像 例 1（2020全国高一课时练习）设函数()tan33xf x.（1）求函数f(x)的最小正周期对称中心；（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图.【答案】（1）最小正周期3，对称中心是3,02kkZ；（2）答案见解析.【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数 f x的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数 f x的对称中心.（2）根据函数的解析式得到 f x的图象与x轴的交点坐标为,0，图象上的7,14、,14两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可.【详解】（1）tan33xfx，313T，令332xk，kZ，解得32xk，kZ，故对称中心为3,02kkZ.（2）令033x，解得x，令334x，解得74x，令334x，解得4x，令332x，解得52x，令332x，解得2x，所以函数 tan33xfx的图象与x轴的一个交点坐标为,0，图象上的点有7,14、,14两点，在这个5,22周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为2x 和52x，从而得到函数 f x在一个周期5,22内的简图(如图).【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.例 2（2020全国高一课时练习）已知函数 sincosxfxx（1）求函数 f x的定义域；（2）用定义判断函数 f x的奇偶性；（3）在,上作出函数 f x的图象【答案】（1）,2x xkkZ；（2）奇函数,见解析；(3)见解析【分析】（1）根据cos0 x,求解即可；（2）由（1）可知 fx的定义域关于原点对称,判定fx和 fx的关系,从而判定奇偶性；（3）将 fx写为分段函数,画出图象即可【详解】（1）由cos0 x,得2xk（kZ）,所以函数 fx的定义域是,2x xkkZ.（2）由（1）知函数 fx的定义域关于原点对称,因为 sinsincoscosxxfxf xxx,所以 fx是奇函数.（3）tan,22tan,22xxf xxxx 或,所以 fx在,上的图象如图所示,【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象.例 3.作函数|ytan x的图像.【难度】【答案】如图【解析】|ytan x等价于 0,2()0,2tanxxxkykZtanxxxk，图像如图所示 例 4.求函数()tantanf xxx的定义域、周期、单调增区间，并画草图【难度】【答案】定义域：|,2x xkkZ，周期：T，单调增区间：,)2kk 例 5.根据正切函数图象，写出满足下列条件的x的范围.（1）tan0 x （2）tan0 x （3）tan0 x （4）tan3x 【难度】【答案】（1）Zkkk,2,（2）zkkxx,（3）Zkkk,2,（4）Zkkk，2,3 例 6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x值的集合：（1）0tan1x （2）3tanx0【难度】【答案】（1）,),42kkkZ （2）,),32kkkZ 例 7.比较下列两数的大小 86422223fx()=t anx()+t anx()（1）2tan7与10tan7 （2）6tan5与13tan()5 （3）81cot与191cot【难度】【答案】（1）2tan710tan7（2）6tan513tan()5（3）81cot191cot 例 8.函数sinyx与tanyx的图像在 2,2 上的交点有 （）.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D.D 9个【难度】【答案】B【巩固训练】1作出函数|tan|yx的图象.【难度】【答案】如图 2利用图像，不等式3tan 21x的解集为_.【难度】【答案】(,2628kkkZ 3比较413tan与517tan的大小【难度】【答案】tan413tan4，52tan517tan，2,0tan,5240在xy 内单调递增.517tan413tan,52tan4tan,52tan4tan即 4 若()tan()4f xx，试比较(1),(0),(1)fff，并按从小到大的顺序排列：_.【难度】【答案】(1)(1)(0)fff 5.（2020全国高一课时练习）设函数 tan23xfx.（1）求函数f(x)的最小正周期，对称中心；（2）作出函数 fx在一个周期内的简图【答案】（1）2T，2,03kkZ；（2）图象见解析【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数 tan23xfx的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数 tan23xfx的对称中心.（2）首先根据函数的解析式得到数 tan23xfx的图象与x轴的一个交点坐标为2,03，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x 和53x，再画出函数的图象即可.【详解】（1）tan23xfx，212T.令232xk，kZ，解得23xk，kZ，故对称中心为2,03kkZ.（2）令023x，解得23x，令234x，解得76x，令234x，解得6x，令232x，解得53x，令232x，解得3x，所以函数 tan23xfx的图象与x轴的一个交点坐标为2,03，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x 和53x.故函数在一个周期内的函数图象为：【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.二、正切函数的定义域及值域 1、正切函数的定义域 例 1.求下列函数的定义域（1）tan2yx （2）23tanyx （3）costanyxx （4）11tanyx【难度】【答案】（1）Zkkxx,24 （2）Zkkk,3,3 （3）,2x xRxkkZ且 （4）,42x xkxkkZ且 例 2（2019宝山区上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数 tanf xx完全相同的是（）A22tan21tan2xyx B1cotyx Csin21cos2xyx D1 cos2sin2xyx【答案】C【分析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与 f x相同的函数.【详解】f x的定义域为|,2x xkkZ，A.22tan21tan2xyx，因为tan12,22xxkkZ，所以,24,22xkkZxkkZ，定义域为|22x xk或2,xkkZ，与 tanf xx定义域不相同；B.1cotyx，因为cos0sin0 xx，所以,2,xkkZxkkZ，所以定义域为,2kx xkZ，与 tanf xx定义域不相同；C.sin21cos2xyx，因为1 cos20 x，所以定义域为|,2x xkkZ，又因为2sin 22sincostan1cos 22cosxxxyxxx，所以与 tanf xx相同；D.1 cos2sin2xyx，因为sin20 x，所以2,xkkZ，定义域为|,2kx xkZ，与 tanf xx定义域不相同.故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.例 3（2019上海市大同中学高一期中）函数arcsintan 2yxx的定义域是_【答案】1,)(,)(,144 44 【分析】解不等式11,2,2xxkkZ 即得解.【详解】由题得11,2,2xxkkZ 所以 x 1,)(,)(,144 44 .故函数的定义域为 1,)(,)(,144 44 故答案为 1,)(,)(,144 44 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.例 4（2017上海杨浦区复旦附中高一期中）已知函数 2lg tan19f xxx，则 f x的定义域是_.【答案】3,424 2 【分析】由意义得出2tan1090 xx，解出该不等式组即可得出函数 yf x的定义域.【详解】函数 2lg tan19f xxx，2tan1090 xx，4233kxkkZx，3,424 2x ，因此，函数 yf x的定义域为3,424 2.故答案为：3,424 2.【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也涉及了正切不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.例 5.求函数y lg(tan3)x3cos2x的定义域【难度】【答案】(,),32kkkZ 【解析】tan32cos30,2xxxkkZ 由此不等式组作图：(,),32kkkZ【巩固训练】1函数tan4yx的定义域为_【难度】【答案】,4x xkkZ 2与函数)42tan(xy的图象不相交的一条直线是 （）.A2x .B2x .C4x .D8x【难度】【答案】D 3求下列函数的定义域(1)1sintanyxx；(2)sintan()log(2cos1)4xyxx 【难度】【答案】见解析 解：等价转化为求一个不等式组的解(1)sin0tan0,()2xxxkkZ(2,2),()2xkkxkkZ(2)2cos10sin0,()42xxxkkZ (2,2)33(2,2)(2,2)224xkkxkkkkxk(2,2)(2,2),()443xkkkkkZ 注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能 2、正切函数的值域与最值 例 1（2016上海浦东新区华师大二附中高一期中）设函数 sin2sin1cos2cosxxfxxx，关于 f x的性质，下列说法正确的是_.定义域是,2x xkkZ；值域是R；最小正周期是；f x是奇函数；f x在定义域上单调递增.【答案】【分析】先求定义域，再化简函数解析式，根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调性与奇偶性.【详解】sin 2sin1cos2cos01cos2cosxxfxxxxx 22coscos0cos0 xxx且1cos2x，定义域是,23x xkxkkZ；sin2sinsin(2cos1)tan1cos2coscos(2cos1)xxxxf xxxxxx 所以()3f x ；f x最小正周期是；f x是奇函数；f x在定义域上不具有单调性 故答案为：【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质，考查综合分析求解能力，属中档题.例 2（2020上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）1tan,01tan2 xyxx；（2）2tan3tan1,3 4 yxxx 【答案】（1）(1,1)；（2）13,34【分析】（1）由定义域可得tan,0 x，令tantx则,0t，所以1211t1tyt ，再根据幂函数的性质计算可得；（2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为1tan,01tan2 xyxx，所以tan,0 x 令tantx则,0t 所以1211t1tyt 因为,0t，所以1,1t ，11,01t，2210,t，211,11t ，即1,1y （2）因为2tan3tan1,3 4 yxxx 所以tan3,1x 令tanmx，3,1m 所以 223133124yf mmmm 所以 f m在3,12上单调递增，在33,2上单调递减，31324f，13f，323 3f 所以 13,34f m 即函数的值域为13,34【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题.例 3（2020上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）tan,62 6 yxx；（2）2tan1,1tan4 6 xyxx；（3）2sec2tan1,3 3 y 【答案】（1）3,3；（2）1 53 3,22；（3）1,52 3【分析】（1）首先令6tx，得到tanyt，再根据tanyt的单调性即可得到函数的值域.（2）首先令tantx，得到213211tytt ，再根据函数的单调性即可得到值域.（3）首先将函数化简为2tan2tan2y，令tant，得到222ytt，再利用二次函数的性质即可求出函数的值域.【详解】（1）令6tx，因为,2 6x，所以,3 3t ，又tanyt在,3 3t 上为增函数，所以所求函数值域为3,3（2）令tantx，因为,4 6 x，所以31,3 t 212(1)3332,1,1113 ttytttt 因为1yt 为减函数，所以31yt在31,3 t为增函数，即：321 yt在31,3 t上为增函数，所以min31222y ，max353 322313y .所以函数的值域为1 53 3,22（3）222221sincos2tan1=2tan1tan2tan2coscosy 令tan,3 3 t ，所以3,3 t 2222(1)1,3,3 ytttt 当1t 时，min1y，当3t 时，max52 3y.所以函数的值域为1,52 3【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题，利用换元法求值域为解决本题的关键，属于中档题.例 4.函数2tan,0,124yxx的值域为 【难度】【答案】32,324 例 5.若4,3x，求函数1tan2cos12xxy的最值及相应的x值；.【难度】【答案】4x 时，min1y；4x时，max5y 例 6.已知2tantanyxax，当10,0,34xa时，函数max2y，求实数a的值.【难度】【答案】323 a 例 7.求函数252tan4tan3yxx的值域.【难度】【答案】(0,5【巩固训练】1求函数sintan,4 4yxx x 的值域【难度】【答案】221,122 2求函数2)1(tan12xy的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x的集合.【难度】【答案】2maxy，此时Zkkxxx,4 3已知2tan2tan3yxx，求它的最小值【难度】【答案】当tan1x 时，min2y 4函数2tan4tan1yxx的值域为_【难度】【答案】5,【解析】令tantx则转化为t的二次函数求最值。三、正切函数的性质 1、正余切函数的周期性 例 1（2016上海浦东新区高一期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间,2上为减函数的是（）A2cosyx B2 sinyx Ccos13xy Dcotyx 【答案】B【分析】分别求出四个选项中函数的周期，排除选项后，再通过函数的单调减区间找出正确选项即可.【详解】由题意观察选项，C 的周期不是，所以 C 不正确；对于 A，21cos2cos2xyx，函数的周期为，但在区间,2上为增函数，故 A不正确；对于 B，2 sinyx，函数的周期为，且在区间,2上为减函数，故 B 正确；对于 D，cotyx，函数的周期为，但在区间,2上为增函数，故 D 不正确；故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的性质，需熟记正弦、余弦、正切、余切的性质，属于基础题.例 2（2015上海）下列函数中，以为周期的偶函数是（）Asin 2yx Bcos2xy Csin2xy Dcos2yx【答案】D 试题分析：由正余弦函数周期求解公式可知sin 2yx的周期为，cos2xy 的周期为4，sin2xy 的周期为4，cos2yx的周期为，其中cos2yx是偶函数 考点：三角函数周期性与奇偶性 例 3（2018上海市青浦高级中学）函数3tan(3)6yx的最小正周期为_.【答案】3【分析】利用函数yAtan（x+）的周期为，得出结论【详解】函数y3tan（3x6）的最小正周期是3，故答案为：3【点睛】本题主要考查函数yAtan（x+）的周期性，利用了函数yAtan（x+）的周期为 例 4（2019上海市向明中学高一期中）函数cot2yx的最小正周期为_.【答案】2【分析】cotyx的周期T.【详解】2T.故答案为2【点睛】本题考查三角函数的周期，属于基础题.例 5（2020上海高一课时练习）求下列函数的最小正周期：（1）tan 23yx；（2）tancotyxx【答案】（1）2；（2）【分析】（1）直接利用周期公式计算得到答案.（2）化简得到2sin 2yx，得到周期.【详解】（1）tan 23yx，故2T.（2）22sincossincos2tancotcossinsincossin2xxxxyxxxxxxx，2kx，kZ，故22T.【点睛】本题考查了三角函数的周期，意在考查学生的计算能力和应用能力.例 6.求下列函数的周期:（1）tan(3)3yx （2）22tan1tanxyx （3）cottanyxx（4）22tan21tan2xyx （5）sin1tantan2xyxx【难度】【答案】（1）3（2）2（3）2（4）（5）【巩固训练】1函数3tan(2)4yx的周期为_.【难度】【答案】2T【解析】()3tan(2)4f xx3tan(2)4x 3tan2()24x()2f x 2T 2函数tan()(0)6yaxa的最小正周期为_,【难度】【答案】|Ta 3函数yxx22tan1tan1的周期为 【难度】【答案】T 2、正切函数的奇偶性与对称性 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1)2costanf xxx 22(2)tancotf xxxx 1 sincos(3)1 sincosxxf xxx 44tan2f xxxx 2tantan51tanxxfxx【难度】【答案】（1）偶函数 （2）既不是奇函数又不是偶函数；（3）既不是奇函数又不是偶函数 （4）偶函数；（5）定义域是,Z24x xkxkk且不关于原点对称，所以此函数是非奇非偶函数。例 2.求函数1()tancotf xxx的最小正周期，并判断函数的奇偶性.【难度】【解析】2T，奇函数.例 3（2020上海市南洋模范中学高一月考）函数tan 24yx的最小正周期为_，对称中心为_.【答案】2 ,048k，kZ.【分析】由题意利用正切函数的周期性以及图象的对称性，得出结论.【详解】函数tan 24yx的最小正周期2T，令242kx，求得48kx，可得函数的图象的对称中心为,048k，kZ，故答案为：2；,048k，kZ.【点睛】本题考查正切型函数的性质，属于基础题.例 4.（2015上海）下列结论中：1）函数sinykxkZ为奇函数 2）函数tan 26yx的图象关于点,012对称 3）函数cos 23yx的图象的一条对称轴为23x 4）若，则21cos5x 其中正确的结论序号为_【答案】1,3,4 试题分析：1）sinsin2ykxx，因此函数是奇函数；2）,012代入函数tan 26yx不成立，因此该点不是对称中心点；3）中当23x 时函数取得最小值，因此对称轴为23x；4）中tan2x 222221sin4cossincos1cos5xxxxx 考点：三角函数对称性奇偶性等性质 例 5.求函数3tan(2)3yx的对称中心的坐标【难度】【答案】(,0),46kkZ【解析】tanyx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(,0),2kkZ 由2,32kxkZ得,46kxkZ 对称中心坐标为(,0),46kkZ 例 6.若)2tan(xy图象的一个对称中心为)0,3(，若22，求的值.【难度】【答案】,6 3 【巩固训练】1判断下列函数的奇偶性（1）xxxftan1tan)(；（2）xxxftancos2)(；.【难度】【答案】（1）奇函数 （2）偶函数 2判断下列函数的奇偶性（1）tan(3)3yx（2）|tan()|4yx【难度】【答案】（1）非奇非偶函数 （2）非奇非偶函数 3函数tan2yx的图像关于点 成中心对称.【难度】【答案】,04k，kZ.4 下列坐标所表式的点中，不是函数)62tan(xy的图象的对称中心的是 （）.A)0,3(.B)0,35(.C)0,34(.D)0,32(【难度】【答案】D 3、正切函数的单调性 例 1（2020上海徐汇区位育中学高一月考）下列函数中既是奇函数又在(0,)上单调递增的是（）Asinyx Bcosyx Ctanyx Dsin2xy 【答案】D【分析】根据三角函数的单调性和奇偶性逐一判断选项即可.【详解】A.sinyx是奇函数，2,2,22kkkZ上单调递增，A 选项错误.B.cosyx是偶函数，B 选项错误.C.tanyx是奇函数，且定义域为,2x xkkZ，C 选项错误.D.sin2xy 是奇函数，单调递增区间为4,4,kkkZ，D 选项正确.故选：D【点睛】本题考查三角函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.例 2（2019上海市宜川中学高一期中）函数tan 2yx的单调递增区间是_.【答案】（24k，24k），kZ【分析】根据正切函数ytanx的单调增区间，令k22xk2，kZ；求出不等式组的解集即可【详解】函数tan 2yx 令k22xk2，kZ；解得24kx24k，kZ；所以函数tan 2yx的单调递增区间是：（24k，24k），kZ 故答案为：（24k，24k），kZ【点评】本题考查了正切函数的单调性以及整体代换的应用问题，是基础题 例 3（2019上海市向明中学高一期中）函数tan 24yx的单调递增区间为_.【答案】3,2828kkkZ【分析】tanyx的增区间是,22kkkZ，由此可列式求解.【详解】令24x，因为tany的增区间是,22kkkZ，所以2,224,kkkxZ，所以3,2828xkkkZ.故答案为3,2828kkkZ【点睛】本题考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.例 4.求下列函数的单调区间：（1）13tan()24yx （2）3tan()24xy【难度】【答案】（1）32222kkkZ（，）（2）3(2,2),22kkkZ【解析】（1）令124ux，则3tanyu 124ux是增函数，且tanyu的递增区间为(,),22ukkkZ 所以由12242kxk知：13tan()24yx是单调递增区间是：32222kkkZ（，）（2）因为原函数可以化为：3tan()24y 令24xu，则tanyu单调递增区间为：(,),22ukkkZ 12242kxk13tan()24yx单调递减区间为3(2,2),22kkkZ 例 5.求下列函数的单调区间：（1）cot(2)4yx （2）|tan|yx【难度】【答案】（1）递增区间3(,),8282kkkZ （2）递减区间为,),2kkkZ 递增区间为(,2kkkZ 例 6.已知函数wxytan在2,2内是减函数，则 （）.A10 w .B01w .C1w .D1w【难度】【答案】B 例 7.已知函数3tan(),0,33xyb xa是增函数，值域为 2 3,0，求,a b的值。【难度】【答案】2,3ab 例 8.求函数的定义域、值域并指出它的周期性、奇偶性、单调性.【难度】【解析】(1)定义域|,4x xkkZ (2)值域：0,)；(3)周期；(4)在3(,)44kk上是减函数，在(,)44kk上是递增函数；(5)是非奇非偶函数。例 9（2018上海静安区高一期末）已知余切函数 cotf xx.（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）（2）求证：余切函数 cotf xx在区间0,上单调递减.【答案】（1）奇函数；周期为，单调递减速区间：,1kkkZ 【分析】（1）直接利用函数的性质写出结果（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果【详解】（1）奇函数；周期为，单调递减区间：,1kkkZ 4tanxy（2）任取1x，20,x，12xx，有 1221212112sincoscoscotcotsinsinsinsinxxxxxxxxxx 因为120 xx，所以120 xx，于是12sin0 x x，12sin0 xx，从而21cotcot0 xx，21cotcotxx.因此余切函数 cotf xx在区间0,上单调递减.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 例 10.设足球场宽 65 米，球门宽 7 米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大.（保留两位小数）【难度】【解析】7A