高中数学数形结合.pdf
.数形结合数形结合实现数形结合，常与以下容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的构造含有明显的几何意义。如等式(x 2)(y 1)422一、联想图形的交点一、联想图形的交点例 1.已知0 a 1，则方程a|x|logax|的实根个数为()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.1 个或 2 个或 3 个分析：判断方程的根的个数就是判断图象ya 与y|logax|的交点个数，画出两个函数图象，易|x|知两图象只有两个交点，故方程有2 个实根，选B。例 2.解不等式 x 2 x令y1x 2，y2 x，则不等式 x 2 x的解，就是使y1x 2的图象在y2 x的上方的那段对应的横坐标，如下图，不等式的解集为x|xA x xB而xB可由 x 2 x，解得，xB 2，xA 2，故不等式的解集为x|2 x 2。练习：设定义域为R函数f(x)同实数解的充要条件是lg x 1x 1x 10，那么关于x的方程f2(x)bf(x)c 0有 7 个不A.b 0,c 0B.b 0,c 0C.b 0,c 0D.b 0,c 0答案 C二、联想绝对值的几何意义二、联想绝对值的几何意义例例 1 1、c 0，设P：函数y cx在R上单调递减，Q：不等式x x 2c 1的解集为R，如果P与Q有且仅有一个正确，试求c的围。因为不等式x x 2c 1的几何意义为：在数轴上求一点P(x)，使P到A(0),B(2c)的距离之和的最小值大于 1，而P到AB二点的最短距离为AB 2c 1，即c 即c 11而P：函数y cx在R上单调递减，2由题意可得：0 c 三、联想二次函数三、联想二次函数优选1或c 12.例例 1 1、关于x的方程x 4x 5 m有四个不相等的实根，那么实数m的取值围为分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进展数形结合，以数助形，那么简洁明了。设y1 x24x 5,y2 m。又y1为偶函数，由图可知1 m 5四、联想反函数的性质四、联想反函数的性质x例例 1 1、方程2 x 3,log2x x 3的实根分别为x1,x2，那么x1 x2=x解：令y1 2,y2 log2x,y3 3x2y1,y2互为反函数，其图象关于y x对称，设A(x1,3 x1),B(x2,3 x2)x1 3 x2即x1 x2 3六、联想斜率公式六、联想斜率公式例例 1 1.求函数ysinx 2的值域。cosx 2y y y1sinx 2的形式类似于斜率公式y 2cosx 2x2 x1y sinx 2表示过两点P0(2，2)，P(cosx，sinx)的直线斜率cosx 2由于点P在单位圆x2 y21上，如图,显然，kP0A y kP0B设过P0的圆的切线方程为y 2 k(x 2)则有|2k 2|k21 1，解得k 4 74 74 7即kP0A，kP0B3334 74 74 74 7 y 函数值域为，3333例例 2 2、实系数方程x ax 2b 0的一根在 0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，求2b 2的取值围。a 1解：数形结合由了。b 2b 2的构造特征，联想二次函数性质及的几何意义来求解，以形助数，那么简洁明a 1a 1b 0 f(0)0令f(x)x2ax2b，那么由有f(1)0得到1 a 2b 02 a b 0f(2)0这个二元一次不等式组的解为ABC的点(a,b)的集合由b 2的几何意义为过点a 1优选.(a,b)和点D(1,2)的直线的斜率由此可以看出：b 211b 2的取值围是(,1)。kAD kBD1即a 144a 1y22练习：如果实数x、y满足(x 2)y 3，则的最大值为(x)答案 DA.12B.33C.32D.3五、联想两点间的距离公式五、联想两点间的距离公式例例 1 1、设f(x)1 x2,a,bR且a b，求证：f(a)f(b)a b解：构造如图的RtOAP，其中OP 1,OA a,OB ba b,不妨设a b，那么PA 1 a2 f(a),PB 1b2 f(b),AB a b在RtOAP中，有PA PB ABf(a)f(b)a b六、联想点到直线的距离公式六、联想点到直线的距离公式22例例 1 1、P是直线3x 4y 8 0上的动点，PA,PB是x y 2x 2y 10的两条切线，A,B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。12解：SPACB 2SPAC 2 PA AC PA PC 12要使面积最小，只需PC最小，即定点C到定直线上动点P距离最小即可即点C(1,1)到直线3x 4y 8 0的距离，而d 31 42832 423(SPACB)min321 2 2七、联想函数奇偶性七、联想函数奇偶性例例 1 1、设y f(x)是定义在R上的奇函数，且y f(x)的图象关于直线x 称，那么f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)解：此题由于y f(x)不明确，故f(x)的函数值不好直接求解。假设能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，那么简洁明了。那么可知f(0)0，又且y f(x)的图象关于直线x 1对21对称，f(1)02那么奇函数可得：f(1)0，那么又由对称性知：f(2)0同理：f(3)f(4)f(5)0f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0优选.八、其它简单方法：八、其它简单方法：例例 1.1.若关于x的方程x2kx3k0的两根都在1和3之间，求k的取值范围。2解：令f(x)x 2kx 3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)02的解，由y f(x)的图象可知，要使二根都在 1，3之间，只需f(1)0，f(3)0，f(b0)f(k)0同时成立，解得 1 k 0，故k(1，2a课后练习：课后练习：1.方程lgx sinx的实根的个数为A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2.函数y a|x|与y x a的图象恰有两个公共点，那么实数a 的取值围是A.(1，)B.(1，1)C.(，11，)D.(，1)(1，)3.设命题甲：0 x 3，命题乙：|x 1|4，那么甲是乙成立的A.充分不必要条件2B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件4.假设方程lg(x 3x m)lg(3 x)在0，3上有唯一解，求 m 的取值围。5.设a 0且a1，试求下述方程有解时 k 的取值围。loga(x ak)loga2(x a)。22练习答案练习答案 1.C2.D提示：画出y a|x|与y x a的图象a 0a 0 a 1情形 2：a 1情形 1：a 1a 13.Ax2 3x m 0 x2 3x m 03 x 04.解：原方程等价于0 x 30 x 3x2 4x 3 mx2 3x m 3 x令y1 x 4x 3，y2m，在同一坐标系，画出它们的图象，其中注意0 x 3，当且仅当两函数2的图象在0，3上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由以下图可见，当m=1，或3 m 0时，原方程有唯一解，因此 m 的取值围为3，01。5.解：将原方程化为：loga(x ak)loga优选x2 a2，.x ak x2 a2，且x ak 0，x2 a20令y1xak，它表示倾角为 45的直线系，y1 0令y2它表示焦点在 x 轴上，顶点为 a，0 a，0 的等轴双曲线在 x 轴上方的局部，y2 0 x2a2，原方程有解，两个函数的图象有交点，由以下图，知ak a或 a ak 0k 1或0 k 1k 的取值围为(，1)(0，1)优选
