正弦定理导学案人教版.pdf
学习目标：1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和其证明方法；2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。学科：数学年级：高 2015 级主备人：彭江龙重点：正弦定理的探索和证明和其基本应用难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。自主学习1、三角形的内角和A BC=。2、三角形的三边之间的关系：。3、三角形的边、角之间的关系：。4、ABC的基本元素：。5、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内 角 和、大 边 对 大 角）是 否 可 以 把 边、角 关 系 准 确 量 化？_6、在ABC 中，若C 900,a 6,B 300，则cb_（一）课题导入如图，固定ABC 的边 CB 和B，使边 AC 绕着顶点 C 转动.A思考：C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大.能否BC用一个等式把这种关系精确地表示出来？引出课题正弦定理设计意图设计意图：激发学生学习兴趣，引导学生思考，为后续学习做好铺垫。（二）（二）探索研究探索研究：在三角形，如果已知角 A，所对的边 BC 长为 a，角 B 所对的边 AC 长为 b，角 C 所对的边 AB 长为 c，研究角 A、B、C 与边 a、b、c 之间的关系首先我们研究特殊的三角形直角三角形如图 11-2，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,老师：要建立角与边之间了连线，就目前而言？可通过什么建立？得分：等级得分：等级中层领导审核签字：生：正弦、余弦、正切函数定义。得分：等级备课组长审核签字：校级领导审核签字：-1-/4根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又课题：正弦定理（新课）,探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？例例 3 3（其它证法：其它证法：）证 明 一：（等 积 法）在 任 意 ABC当 中SC111ABC=absinC acsinB bcsin A.2221两边同除以abc即得：_=_=_2aa证明二：（外接圆法）如图所示，AD，CD 2R，sin AsinDbc同理=2R，2R.sinBsinCabAOBDc可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：学生合作探究，讨论：学生合作探究，讨论：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=_=_，则_=_，同理可得_=_，从而类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立由学生课后自己推导.设计意图设计意图：激发学生学习兴趣，让学生主动参与，自己摸索探究过程。（证法二）：过点 A 作jAC，C由向量的加法可得ABACCB则jABj(ACCB)ABjABjACjCBjj ABcos900A0 j CBcos900C从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即精讲点评精讲点评例 1在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。分析：由已知条件，知道两个角的大小，和其中一条边，根据正弦定理可求出另外一条边，另外在已知两个角的大小，还可求出第三个角，故课求出第三条边3csinAasinC，即acsinA sinC同理，过点 C 作jBC，可得bcsinBsinC从而当为钝角时，同理可得。当堂练习当堂练习1、已知ABC中，ABC114，则abc等于（）.A114B112C113D222、在ABC 中，若A 2B，则a等于（）A2bsin AB2bcosAC2bsinBD2bcosB例 2、（2010 山东）在ABC中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若 a=2，b=2，sinB+cosB=2，则角 A 的大小。分析：已知两边，若再已知一角即可，由sinB+cosB=2，两边平方可得 B 的大小，3、在ABC 中，若b 5,B,sin A 1，则a。43进而可求解。4、三角形 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，设 a+c=2b，A-C=/3，求 sinB的值。变式：-2-/4老师小结：看清属于哪一类型，明确已知量、未知量；并注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。老师：属于哪一种类型？生：第二种老师：应该如何求解？B B1等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为600，则底边长为（）A2B3C3D2 322在ABC 中，若lgsin Algcos B lgsinC lg2，则ABC 的形状是（）A直角三角形B等边三角形C不能确定D等腰三角形3.已知ABC中，A 60，a 3，则=3 页课堂总结课堂总结：（1）定理的表示形式：abckk0；sinAsinBsinC4在RtABC 中，C 900，则sin AsinB的最大值是_。5、在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知cos2C (I)求 sinC 的值；()当 a=2，2sinA=sinC 时，求 c 的长14或aksinA，bksinB，cksinC(k 0)（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。4 页课后巩固：A:A:1在ABC中，若b 2asinB，则A等于（）00000000A30 或60B45 或60C120 或60D30 或1502在ABC 中，若C 900,a 6,B 300，则cb等于（）A1B1C2 3D 2 33在ABC 中，角A,B均为锐角，且cos A sin B,则ABC 的形状是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形4、已知ABC中，a4，b8，A30，则B等于-3-/4-4-/4
