2023年上海高一下学期数学同步讲义第3讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式含详解.pdf
第 3 讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 知识梳理 两角和与差的三角函数 sinsincoscos)cos(;sincoscossin)sin(tantantan()1tantan。例题解析 一、两角和与差的正余弦公式 例 1(2019上海市行知中学高一月考)已知sinsincoscosba.(1)求cos;(2)若1,0ba,求cos()cos;(3)求,sincos.例 2(2019上海市青浦高级中学高一月考)在平面直角坐标系xOy中,先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角,再将OP的长度伸长为原来的0 倍,得到1OP,我们把这个过程称为对点P进行一次T,,变换得到点1P,例如对点P 10,进行一次32T,变换,得到点103.P,(1)试求对点13A,进行一次13T,变换后得到点1A的坐标;(2)已知对点8 6B,进行一次T,换后得到点13 24 2B,求对点1B再进行一次T,变换后得到点2B的坐标.巩固练习 1.利用两角和与差的余弦公式证明sin()sincoscossin.2.对任意的锐角,,下列不等关系中正确的是()A.sin()sinsin B.sin()coscos C.cos()coscos D.cos()sinsin 3.已知锐角,满足10103cos,55sin,求 4.已知,0coscoscos,0sinsinsin且、均为钝角,求角的值.5.已知,12cos13,3sin5,求:sin2、sin2.6.化简:sin2sin3sin5sin32sin5sin7AAAAAA 7.证明:22sincossin()axbxabx,其中tanba.324 8.已知 cos6+sin=354,则 sin67的值是 .9利用特殊角的值求cos105.10在ABC中,如果coscossinsinABAB,则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.锐角或直角三角形 11下列四个命题中假命题是()A.存在这样的,,使得cos()coscossinsin B.不存在无穷多个,,使得cos()coscossinsin C.对于任意的,,cos()coscossinsin D.不存在这样的,,使得cos()coscossinsin 12求sin3cos1212的值为_.13如果),2(,且54sin,那么)cos(22)4sin(()A52 B522 C52 D522 14已知2sinsin2,则coscos的取值范围是_.15.已知114 3cos(2),sin(2),0,147424 且求cos()的值.16.2cos10sin20sin70的值是 ()A.12 B.32 C.3 D.2 17.若02,则下列各式中,不正确的是()Asincos1 Bsincos1 Csin()sin()Dcos()cos()18.已知 A、B 均为钝角,且 sinA55,sinB1010,则 AB 等于 ()A.54 B.74 C.54或74 D.94 19.已知11coscos,sinsin23,则cos()_.20已知33350,cos(),sin()4445413,求sin()的值.21已知:实数a、b满足22111abba,求证:221ab。22函数)23sin(5)62sin(12xxy的最大值是()A.2356 B.17 C.13 D.12 23已知23cos(),(,)41024xx(1)求sinx的值;(2)求sin(2)3x的值 二、两角和与差的正切公式 例 1.利用两角和与差的正弦余弦公式证明 tan()tantan1tantan 例2.求值0000tan35tan 253 tan35tan 25_ 例 3.如果tan,tan是方程2330 xx的两根,则)cos()sin(_.例 4.设2tan()5,41tan()4则4tan()的值是()A.138 B.322 C.1318 D.1322 例 5.在ABC中,求证:tanAtanBtanCtanAtan BtanC 【巩固训练】1若tan、tan为方程01532 xx的两根,则)tan(=.2已知54sin,tan(+)=1,且是第二象限角,那么 tan的值等于_.3已知12tan,tan()25,则tan(2)的值为 _ 4已知6,且,满足关系式3(tantan)2tan3tan0b,则tan=_.5.oo15tan3115tan3_ _ 6.已知实数 a,b 均不为零,tansincoscossinbaba,且6,则ab等于()A.3 B.33 C.3 D.33 7.若1cos()2,3cos()5,则tantan_ 8.已知ABC不是直角三角形,45C,则(1tan)(1tan)AB_ 9、设角,满足(2tan1)(12tan)5,则tan()的值为_ 10、已知tantanm,cos()n,则cos()a_ 11、若tantantan()3,则tantan_ 12已知,A B为锐角,证明:4 BA的充要条件是(1tan)(1tan)2AB 13.已知,(0,),且11tan(),tan27,求2的值.14.已知31tan,55cos,(0,)(1)求tan()的值;(2)求函数()2sin()cos()f xxx的最大值.15.已知tan,tan是一元二次方程0432 xx的 2 个根,求2sin2sin2cos2cos的值。反思总结 公式联系记忆:coscoscossinsin coscoscossinsin sinsincoscossin sinsincoscossin tantantan1tantan tantantan1tantan 使用公式的时候注意把什么看成,什么看成,初学需要圈注一下 利用和差配所求角难度比较大,需要耐心观察 第 3 讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 知识梳理 两角和与差的三角函数 sinsincoscos)cos(;sincoscossin)sin(tantantan()1tantan。例题解析 一、两角和与差的正余弦公式 例 1(2019上海市行知中学高一月考)已知sinsincoscosba.(1)求cos;(2)若1,0ba,求cos()cos;(3)求,sincos.【答案】(1)2211122ab;(2)12;(3)222sinabab,2222cosbaab【分析】(1)将sinsina和coscosb分别求平方后求和,即可求解;(2)整理方程组可得到sin1 sincoscos ,由22sincos1,可解得1sin2,进一步求得222sin,cos,cos代入求解即可;(3)先利用二倍角公式,可得221cos22ab,再利用和差化积公式和二倍角公式求解即可【详解】(1)由题,2222sinsinsinsin2sinsinb,2222coscoscoscos2coscosa,则 222222sinsincoscossincossincos2 sinsincoscos 221 12cosba ,则2211cos122ab(2)由(1)可得,当1,0ba时,即sinsin1coscos0 则sin1 sincoscos ,所以2222sincos1 sincos,即22112sinsincos,则1 2sin0,所以1sin2 所以11sin1 sin122 ,故222213sinsin,coscos44 因为 cos()coscoscossinsincoscossinsin 2222coscossinsin,所以33111cos()cos44442(3)由(1)可得22211cos2cos11222ab,则221cos22ab 因为sinsin2sincos22coscos2coscos22 当221cos22ab时,222212sin2212cos22abaabb ,则2222sin2cos2aabbab,所以2222222sin2sincos222ababababab,22222222cos2cos1212bbaabab 当221cos22ab 时,222212sin2212cos22abaabb ,则2222sin2cos2aabbab ,所以 2222222sin2sincos222ababababab ,22222222cos2cos1212bbaabab ,综上,222sinabab,2222cosbaab【点睛】本题考查同角的平方关系,考查和角公式与倍角公式的应用,考查和差化积公式的应用,考查运算能力 例 2(2019上海市青浦高级中学高一月考)在平面直角坐标系xOy中,先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角,再将OP的长度伸长为原来的0 倍,得到1OP,我们把这个过程称为对点P进行一次T,,变换得到点1P,例如对点P 10,进行一次32T,变换,得到点103.P,(1)试求对点13A,进行一次13T,变换后得到点1A的坐标;(2)已知对点8 6B,进行一次T,换后得到点13 24 2B,求对点1B再进行一次T,变换后得到点2B的坐标.【答案】(1)11,3A;(2)244 117(,)2525B.【分析】(1)由已知得将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角3,再将OA的长度伸长为原来的1倍,得到1OA,可得1A的坐标;(2)计算出110,5 2OBOB,求得22,从而得所以25OB,再可求得7tan24,根据点的位置得32,得724sin,cos2525 ,从而求得44cos125,117sin125,可求得2B的坐标.【详解】(1)由已知得13T,变换是将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角3,再将OA的长度伸长为原来的1倍,得到1OA,所以1A的坐标是11,3A;(2)因为对点8 6B,进行一次T,换后得到点13 24 2B,所以 222218610,3 24 25 2OBOB,所以5 22102,所以2125 252OBOB,设OB与x轴的正方向的夹角为,则343sin,cos,tan,554 并且344sin,cos,tan,553 根据43tantan734tantan431tantan24134,因为32,所以724sin,cos2525 ,所以 3244744coscoscossincos525525125 ,42437117sinsincoscossin525525125 ,所以2441175,5125125B,所以2B的坐标为244 117,2525B.【点睛】本题考查根据新定义解决实际问题的能力,关键在于理解新定义的含义,并能根据定义解决问题,在本题中求出和是关键,属于难度题.巩固练习 1.利用两角和与差的余弦公式证明sin()sincoscossin.【难度】【答案】证明:sin()cos()2 cos()cos()cossin()sinsincoscossin222 2.对任意的锐角,,下列不等关系中正确的是()A.sin()sinsin B.sin()coscos C.cos()coscos D.cos()sinsin【难度】【答案】C 3.已知锐角,满足10103cos,55sin,求【难度】【答案】4【解析】,为锐角且10103cos,55sin 2212 5cos1 sin155910sin1 cos110102 5 3 105102cos()coscossinsin5105102 由02,02得 0 又cos()0 为锐角 4 4.已知,0coscoscos,0sinsinsin且、均为钝角,求角的值.【难度】【答案】43【解析】由已知,.coscoscos,sinsinsin 2+2.cossincoscoscos2cossinsinsin2sin222222,2,2 .34,2 5.已知,12cos13,3sin5,求:sin2、sin2.【难度】【答案】5665;1665【解析】,04,32 又12cos13,3sin5,5sin13,4cos5 sin 2sin 56sincoscossin65 324324 sin2sin16sincoscossin65 6.化简:sin2sin3sin5sin32sin5sin7AAAAAA【难度】【答案】sin3sin5AA【解析】原式sinsin52sin32sin3 cos22sin3sin3sin72sin52sin5 cos22sin5AAAAAAAAAAAA 2sin3(cos21)sin32sin5(cos21)sin5AAAAAA 7.证明:22sincossin()axbxabx,其中tanba.【难度】【答案】证明:(如图)222222sincos(sincos)abaxbxabxxabab 22(sincoscos sin)abxx22sin()abx.8.已知 cos6+sin=354,则 sin67的值是 .【难度】【答案】54 9利用特殊角的值求cos105.【难度】【答案】264【解析】cos105cos(6045)cos60 cos 45sin 60 sin 45 122232222464264.10在ABC中,如果coscossinsinABAB,则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.锐角或直角三角形【难度】【答案】A 11下列四个命题中假命题是()A.存在这样的,,使得cos()coscossinsin B.不存在无穷多个,,使得cos()coscossinsin C.对于任意的,,cos()coscossinsin D.不存在这样的,,使得cos()coscossinsin【难度】【答案】B 12求sin3cos1212的值为_.【难度】【答案】2 13如果),2(,且54sin,那么)cos(22)4sin(()A52 B522 C52 D522【难度】【答案】A 14已知2sinsin2,则coscos的取值范围是_.【难度】【答案】1414,22【解析】令coscost,22sinsin,由2+2,得)cos(22212t.23)cos(22t-2,2.1414,22t 15.已知114 3cos(2),sin(2),0,147424 且求cos()的值.【难度】【答案】1cos()cos(2)(2)2 16.2cos10sin20sin70的值是 ()A.12 B.32 C.3 D.2【难度】【答案】C【解析】原式2cos(3020)sin20sin702(cos30cos20sin30sin20)sin20sin70 3cos20cos20 3.17.若02,则下列各式中,不正确的是()Asincos1 Bsincos1 Csin()sin()Dcos()cos()【难度】【答案】D 18.已知 A、B 均为钝角,且 sinA55,sinB1010,则 AB 等于 ()A.54 B.74 C.54或74 D.94【难度】【答案】B 19.已知11coscos,sinsin23,则cos()_.【难度】【答案】5972 20已知33350,cos(),sin()4445413,求sin()的值.【难度】【答案】5665 21已知:实数a、b满足22111abba,求证:221ab。【难度】【答案】证明:210b,1b,同理1a.设sinb,,22 ;sina,,22 代入22111abba,得sincoscossin1,即:sin1,22 ,,22 ,,因此2 22222222sinsinsinsincossin12ab.22函数)23sin(5)62sin(12xxy的最大值是()A.2356 B.17 C.13 D.12【难度】【答案】C【解析】)23(2cos5)62sin(12xxy)62sin(13x.最大值为 13.23已知23cos(),(,)41024xx(1)求sinx的值;(2)求sin(2)3x的值【难度】【答案】(1)45;(2)247 350【解析】(1)法一:因为3(,)24x,所以(,)44 2x,27 2sin()1 cos()4410 xx sinsin()44sin()coscos()sin44447 222241021025xxxx 法二:由题设得222cossin2210 xx 即1cossin5xx 又22cossin1xx,从而225sinsin120 xx 解得4sin5x 或3sin5x 因为3(,)24x,所以4sin5x (2)因为3(,)24x 故2243cos1 sin1()55xx 24sin22cos sin25xxx,27cos22cos125xx 所以247 3sin(2)sin2 cos3350 xx 二、两角和与差的正切公式 例 1.利用两角和与差的正弦余弦公式证明 tan()tantan1tantan 【难度】【答案】证明:tan()sin()cos()sincoscossincoscossinsintantan1tantan.例2.求值0000tan35tan 253 tan35tan 25_【难度】【答案】3 例 3.如果tan,tan是方程2330 xx的两根,则)cos()sin(_.【难度】【答案】23【解析】tantan3,tantan3 则sinsincoscossincoscossin)cos()sin(23313tantan1tantan.例 4.设2tan()5,41tan()4则4tan()的值是()A.138 B.322 C.1318 D.1322【难度】【答案】B 例 5.在ABC中,求证:tanAtanBtanCtanAtan BtanC【难度】【答案】证明:tantantan(tantan1)ABCAB,tantantantantan1ABCAB tantantantantantantantantan(tantan)tantan1tantan1tantantantantantantantantan1ABABABCABABABABABABABCAB【巩固训练】1若tan、tan为方程01532 xx的两根,则)tan(=.【难度】【答案】5-4 2已知54sin,tan(+)=1,且是第二象限角,那么 tan的值等于_.【难度】【答案】-7【解析】54sin,是第二象限角,53cos.34tan.tan=tan(+)-7341341tan)tan(1tan)tan(.3已知12tan,tan()25,则tan(2)的值为 _【难度】【答案】121 4已知6,且,满足关系式3(tantan)2tan3tan0b,则tan=_.【难度】【答案】3(1)b 5.oo15tan3115tan3_ _【难度】【答案】1 6.已知实数 a,b 均不为零,tansincoscossinbaba,且6,则ab等于()A.3 B.33 C.3 D.33【难度】【答案】B【解析】)6tan(tantan33133tan6tantan16tantan tan1tansincoscossinababbaba 33ab故选 B.7.若1cos()2,3cos()5,则tantan_【难度】答案:11 8.已知ABC不是直角三角形,45C,则(1tan)(1tan)AB_【难度】答案:2 9、设角,满足(2tan1)(12tan)5,则tan()的值为_【难度】答案:2 10、已知tantanm,cos()n,则cos()a_【难度】答案:(1)1nmm 11、若tantantan()3,则tantan_【难度】答案:2 12已知,A B为锐角,证明:4 BA的充要条件是(1tan)(1tan)2AB【难度】【答案】证明:(先证充分性)由(1tan)(1tan)2AB即1(tantan)tantan2ABAB 得tan()(1tantan)1tantanABABAB tan()1AB 又0AB 4AB (再证必要性)由.1tantan1tantan4BABABA得整理得(1tan)(1tan)2AB 说明:可类似地证明以下命题:(1)若34,则(1tan)(1tan)2;(2)若54,则(1tan)(1tan)2;(3)若74,则(1tan)(1tan)2 13.已知,(0,),且11tan(),tan27,求2的值.【难度】【答案】34【解析】1tantan(),tan(2)tan()13 11tan1,0,tan,3472 320,24 14.已知31tan,55cos,(0,)(1)求tan()的值;(2)求函数()2sin()cos()f xxx的最大值.【难度】【答案】(1)1;(2)5【解析】(1)由55cos,(0,)得tan2,552sin,所以1tantan1tantan)tan(.(2)因为31tan,(0,)所以101sin,103cos,xxxxxxfsin5sin552cos55cos55sin553)(.所以()f x的最大值为5.15.已知tan,tan是一元二次方程0432 xx的 2 个根,求2sin2sin2cos2cos的值。【难度】【答案】53【解析】因为 tan,tan是一元二次方程0432 xx的 2 个根 所以3tantan,tantan4 cos2cos22cos()cos()cot()sin2sin22sin()cos()11tantantan()tantan1(4)533 反思总结 公式联系记忆:coscoscossinsin coscoscossinsin sinsincoscossin sinsincoscossin tantantan1tantan tantantan1tantan 使用公式的时候注意把什么看成,什么看成,初学需要圈注一下 利用和差配所求角难度比较大,需要耐心观察