高一数学竞赛辅导材料-空间角和距离.pdf
高一数学竞赛辅导材料高一数学竞赛辅导材料和距离和距离-空间角空间角高一数学竞赛辅导材料高一数学竞赛辅导材料空间角和距离空间角和距离广州市番禺区教育局教研室广州市番禺区教育局教研室 严运华严运华一一方法指要方法指要1.1.二面角的求法二面角的求法:(1)(1)定义法定义法:作出二面角的平面角作出二面角的平面角.常用作法有常用作法有:三垂线定理法三垂线定理法,辅助垂面法辅助垂面法,平移法等平移法等.(2)(2)面积射影定理面积射影定理:设平面设平面内面积为内面积为 S S的某一平面图形在另一平面的某一平面图形在另一平面内的内的S射影的面积为射影的面积为S则平面则平面与平面与平面夹角满足夹角满足cos S(3)(3)异面直线上两点间距离公式法异面直线上两点间距离公式法:EF d2m2n22mncos,其中其中E,F分别为二面角两个分别为二面角两个 忽忽 EMBEDEMBED Equation.3Equation.3E,F到棱到棱的距离分别为的距离分别为m,n,d是是E,F在棱上射影间的距离在棱上射影间的距离,是二面角的度数是二面角的度数2.2.异面直线距离的求法异面直线距离的求法(1)(1)定义法定义法:作出异面直线的公垂线段作出异面直线的公垂线段(2)(2)线面平行法线面平行法:已知异面直线已知异面直线 a,b,a,b,若若 a a 平行于平行于 b b 所在的平面所在的平面,则则 a a 与与距离就是距离就是 a a 与与 b b 的距离的距离(3)(3)线面垂直法线面垂直法:已知异面直线已知异面直线 a,b,a,b,若若 a a 垂直与垂直与 b b 所在平面所在平面,则垂足到直则垂足到直线的距离就是线的距离就是 a a 与与 b b 的距离的距离.(4)(4)体积法体积法:把异面直线的距离转化为求某类几何体的高把异面直线的距离转化为求某类几何体的高,借助与体积相等借助与体积相等来建立方程来求高来建立方程来求高.(5)(5)最值法最值法:根据异面直线距离为了解异面直线上任意两点间线段长的最根据异面直线距离为了解异面直线上任意两点间线段长的最小值小值,利用求极值的方法利用求极值的方法.(6)(6)异面直线上两点间距离公式法异面直线上两点间距离公式法EF d2 m2 n22mncos3.3.空间点到平面空间点到平面(线面距离线面距离,面面距离面面距离)的距离的求法的距离的求法:(1)(1)直接过点作平面的垂线直接过点作平面的垂线(2)(2)体积法体积法注注:无论是求角还是求距离无论是求角还是求距离,其方法大致可以分为两类其方法大致可以分为两类:一类是直接法一类是直接法,即即作出所求的角和距离作出所求的角和距离;另一类是转化法另一类是转化法.二二 题型示例题型示例1.1.选择题选择题(1)(1)如图正四面体如图正四面体 ABCDABCD 中中,E,E 在棱在棱 ABAB 上上,F,F 在棱在棱 CDCD 上使得上使得AECF(0),记记f(),其中其中表示表示 EFEF 与与 ACAC 所成的角所成的角EBFD表示表示 EFEF 与与 BDBD 所成的角所成的角,则则(A)(A)f()在在(0,)单调增加单调增加(B)(B)f()在在(0,)单调减少单调减少(C)(C)f()在在(0,1)单调增加单调增加f()在在(1,)单调减少单调减少(D)(D)f()在在(0,)为一常数为一常数.A AE ED DC CF FB B(2)(2)三棱锥三棱锥 V-ABC,AHV-ABC,AH侧面侧面 VBC,VBC,且且 H H 是是VBC的垂心的垂心,已知二面角已知二面角H-ABH-AB C C 平面角为平面角为 30300,则则 VCVC 与平面与平面 ABCABC 所成的角为所成的角为()()(A)30 (A)300 (B)60 (B)600 (C)45 (C)450 (D)90 (D)900(3)(3)在正方体的在正方体的 1212 条面对角线所在的直线中存在异面直线条面对角线所在的直线中存在异面直线,如果其中如果其中两条异面直线间的距离为两条异面直线间的距离为 1,1,那么那么,这个正方体棱长可能的的值的集合这个正方体棱长可能的的值的集合是是 (A)(A)1 (B)(B)3 (C)(C)1,3 (D)(D)1,22.2.填空题填空题(1)(1)已知一平面与一正方体已知一平面与一正方体ABCD A1B1C1D1的的 1212 条棱的夹角都等于条棱的夹角都等于,则则sin异面直线异面直线B1D1与与A1C的距离为的距离为(2)(2)已知将给定的两个全等的正三棱柱的底面粘在一起恰得到一个所已知将给定的两个全等的正三棱柱的底面粘在一起恰得到一个所有二面角都相等的六面体有二面角都相等的六面体,并且设六面体的最短棱长并且设六面体的最短棱长 2,2,则最远两个顶则最远两个顶点距离为点距离为(3)(3)在在 棱棱 长长 3 3 的的 正正 方方 体体ABCD A1B1C1D1中中,E为为 棱棱AA1上上,且且A1E 1,F为截面为截面A1BD内一动点内一动点,则则AF EF的最小值为的最小值为(4)(4)已知三棱锥已知三棱锥 P-ABCP-ABC 中中,PA,PA底面底面 ABC,AB=AC=BC=PA=a,AHABC,AB=AC=BC=PA=a,AH平面平面PBCPBC 于于 H,H,则二面角则二面角 B-PC-AB-PC-A 的正弦为的正弦为3.3.解答题解答题(1)(1)在在正正方方体体ABCD A1B1C1D1中中,E,E 为为BC的的中中点点,F在在AA1上上,且且A1F:FA 1:2,求平面求平面B1EF与底面与底面A1B1C1D1所成的二面角所成的二面角.(2).(2).设设l,m是两条异面直线是两条异面直线,在在l上有三点上有三点A,B,C且且AB BC过过A,B,C分别作分别作m的垂线的垂线AD,BE,CF,垂足分别为垂足分别为D,E,F7已知已知AD 15BE CF 10,求求l与与m的距离的距离2(3)(3)正四棱锥正四棱锥 V-ABCV-ABC 底面边长为底面边长为 2,2,侧棱长为侧棱长为 3,3,过底面过底面 ABAB 的截面交侧的截面交侧棱棱 VCVC 于于 P,(1)P,(1)若若 P P 为为 VCVC 中点中点,求截面面积求截面面积(2)(2)求截面求截面 PABPAB 面积的最小面积的最小值值.
