2022-2023学年安徽省顶尖名校联盟高三上学期12月联考数学试题含答案.pdf

高三数学 满分：150 分 考试时间：120 分钟 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效.4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Px x是平行四边形，Qx x是矩形，Rx x是菱形，Sx x是正方形，则QR（）A.P B.Q C.R D.S 2.设命题 p：Rx，12q xqx，则p为（）A.0Rx，1020q xqx B.0Rx，1020q xqx C.Rx，12q xqx D.Rx，12q xqx 3.如图是函数()cos()(0)f xx 的部分图象，则 f x在22,9045上的值域为（）A.1,1 B.13,22 C.11,2 D.31,2 4.过坐标原点且与曲线ln xyx相切的直线斜率为（）A.1 B.12e C.1e D.125.如图，中国古代建筑的举架结构的纵截面示意图，其中的线段1DD，1CC，1BB，1AA都是竖直放置的，线段1OD，1DC，1CB，1BA都是水平放置的，且1111ODDCCBBA.令111CCkDC，121BBkCB，131AAkBA，若1k，2k，3k成公差为 0.15 的等差数列，且直线 OA，OD 的斜率分别为 0.75，0.45，则123k k k（）A.0.595 B.2.55 C.1.6 D.0.7225 6.已知函数355()3f xx，若当0,x时，()2 30af xfx恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A.0,B.,2 C.3,D.,1 7.在长方体1111ABCDABC D中，1222ABBCAA，则 BD 与平面11ABCD所成的正弦值为（）A.2 23 B.13 C.1010 D.3 1010 8.如图，二次函数22yxx的图象为曲线 E，过 E 上一点 P（位于 x 轴下方）作 E 的切线 l 与 x 的正半轴，y 的负半轴分别交于 B，C 点，当 l，E，x 轴及 y 轴围成阴影部分的面积取得最小值时，P 到 x 轴的距离为（）A.89 B.43 C.54 D.1516 二、选择题：共 4.小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知实数 a，b 满足0ab且2ab，则下列结论正确的有（）A.222ab B.829ab C.lnln0ab D.11abab 10.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，动点 P 在正方形内部及边上运动，APABAD，则下列结论正确的有（）A.点 P 在线段 BC 上时，AB AP为定值 B.点 P 在线段 CD 上时，AB AP为定值 C.的最大值为 2 D.使122的 P 点轨迹长度为32 11.古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从 A 点走向 B 点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误的结论.设ABS，这个人走的第 n 段距离为na，这个人走的前 n 段距离总和为nS，则下列结论正确的有（）A.*n N，使得123nnSSa B.*n N，使得123nnaa C.*n N，使得213nnSS D.*Nn，使得1nSS 12.已知正四棱台上、下底面的面积分别为 2 和 8，高为0h h，则下列结论正确的有（）A.正四棱台外接球的表面积的最小值为16 B.当0,3h时，正四棱台外接球球心在正四棱台下底面下方 C.正四棱台外接球的半径随 h 的增大而增大 D.当2h 时，正四棱台存在内切球 三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.假设某地 2022 年年初的物价为 1，每年以 5%的增长率递增，则 2030 年年底物价的数值为_.14.在长方体1111ABCDABC D（平面1111ABC D为下底面）中，1236AAAD，4AB，点 F 为线段11C D的中点，则异面直线1A D与 BF 所成角的余弦值为_.15.在三角形 ABC 中，已知 D，E 分别为 CA，CB 上的点，且15ADAC，13BEBC，AE 与 BD 交于 O点，若COmCAnCB，则 mn 的值为_.16.已知三棱锥VABC的高为 3，D，E，F 分别为 VC，VA，VB 的中点，若平面 ABD，平面 BCE，平面ACF 相交于 O 点，则 O 到平面 ABC 的距离 h 为_.四、解答题：共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知平面向量,1ax，1,1,2bx，Rx.（1）若ab，求 x 的值；（2）若ab（为负实数），求 x，的值.18.（12 分）已知 na是公差为 3 的等差数列，nb是公比为 2 的等比数列，且44223315baabab.（1）求1a，1b；（2）设 na的前 n 项和为nS，将集合,16mnSbnmmT用列举法表示出来.19.（12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，平面DEFB 平面 ABCD，EDBD，FBBD，220ABEDFBa a.（1）求三棱锥FACE的体积；（2）求平面 AEF 与平面 ABF 夹角的正弦值.20.（12 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2222acb，21cos2B.（1）求ABC的面积；（2）若3cos5A，求ABC的周长.21.（12 分）如图，AB 是半球的直径，O 为球心，2AB，C 为半大圆弧的中点，P 为同一半大圆弧上的任意一点（异于 A，B），P 在水平大圆面 AOB 内的射影为 Q，过 Q 作QRAB于 R，连接 PR，OP.（1）若 C，P 为不同的两点，求证：OCPR；（2）若半大圆面 ACB 与水平大圆面夹角大小为3，求三棱锥POQR体积的取值范围.22.（12 分）设函数()e cosxf xx，2cos()exaxg x，0,3x.（1）求 f x的最小值，并证明：12e2；（2）若不等式：3()2exg x 成立，求实数 a 的取值范围.高三数学参考答案 1.【答案】D【解析】由题意可知，则 QRx xx xS是矩形且是菱形是正方形.2.【答案】B【解析】由p的构成法则，选 B.3.【答案】D【解析】由图象知函数的周期132230103T，即223，即3，由五点对应法得32()102kkZ，得25k，则()cos 35f xx，因为22,9045x，所以53,563x，所以3cos 31,52x.4.【答案】B【解析】因为ln xyx，所以21ln xyx，设切点为000ln,xxx，所以00201 lnx xxyx，所以切线方程为000200ln1lnxxyxxxx，又切线过坐标原点，所以000200ln1lnxxxxx，解得0ex，所以切线方程的斜率为0220111 ln122e(e)xkx.5.【答案】A【解析】设11111ODDCCBBA，则10.45DD，11CCk，12BBk，13AAk，依题意，111111110.75DDCCBBAAODDCCBBA，所以20.4530.754k，所以20.85k，所以120.150.7kk，320.151kk，所以1230.595k k k.6.【答案】C【解析】由题意，355()3f xx为奇函数，同时也为R上的增函数，因为()2 30af xfx，所以()2 3af xfx，所以2 3axx，因为0,x，所以22 3axx，若不等式恒成立，只需2max2 3axx，所以3a.7.【答案】C【解析】设110BCBC，连接 OD，因为1BC 平面11ABCD，所以 BD 与平面11ABCD所成角为BDO，所以2102sin105OBBDODB.8.【答案】A【解析】因为抛物线与 x 轴围成的面积为定值，所以 l、E、x 轴及 y 轴围成阴影部分的面积取得最小值等价于三角形 BOC 的面积取得最小值.设2000,2P x xx，所以切线 l 的斜率为022x，所以切线方程为20000222yxxxxx，所以20021Bxxx，20Cyx，且01,2x，所以2420000012 2141BOCxxSxxx，记4()(12)4(1)xf xxx，32(34)()4(1)xxfxx，令 0fx得43x，当41,3x时，0fx，当4,23x时，0fx，所以 f x在41,3单调递减，在4,23单调递增.所以当043x 时，BOCS取得最小值，此时 P 到 x 轴的距离为24482339.9.【答案】AB【解析】0ab且2ab，2222222221112()2222abababababab，故 A 正确.821 82182182()101029222babaababababab，当且仅当82baab即43a，23b 时等号成立，故 B 正确.2lnlnln()ln02ababab，故 C 错误.212abab，01ab，11()baabababab1()(1)()10ab abababab，故 D 错误.10.【答案】AC【解析】如图，建立平面直角坐标系，设,02,02P x yxy，则2,0AB，0,2AD，,APx y，2AB APx，所以点 P 在线段 BC 上时，22 24AB APx，故 A 正确.点 P 在线段 CD 上时，2AB APx，不为定值，故 B 错误.APABAD得2x，2y，所以1()2xy，当2xy即点 P 与点 C 重合时，取得最大值 2，故 C 正确.由122得122xy，易求得直线1122yx 在正方形内线段长度为52，故 D 错误.11.【答案】BC【解析】由已知得，13Sa，不难得到，*Nn，13nnSSa，所以 A 错误.走 n 段距离后，剩下距离为2na，所以123nnaa，所以 B 正确.2123123313nnnSSS，所以 C 正确，D 错误.12.【答案】ABD【解析】设正四棱台上、下底面的外接圆的半径分别为1r，2r，外接球的半径为 R，球心为 O，因为正四棱台的上、下底面面积分别为 2 和 8，所以上、下底面的边长分别为2，2 2，所以11r，22r，设球心 O 到上底面的距离为 d，则2222212()Rrdrhd或222212()rdrdh，所以222212()dhd，所以2313322hdhhh，当3d 时，外接球半径最小，此时2134R ，所以外接球的表面积的最小值为16，故 A 正确.易知1h 和3h 时，5R，故 C 不正确.当0,3h时，所以2233022hhdhhhh，所以外接球球心在正四棱台下底面下方，故 B 正确.正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形 ABCD 的内切圆，圆心 E 是上、下底面中心1O、2O连线的中点，EFBC，设圆的半径为 r，则2hrEF，由1RtEO BRtEFB可知1O EBFEB，122BFBO，同理2O ECFEC，22CFCO，故可知2BEC，在RtBEC中，21EFBF CF，所以1r，2h.故 D 正确.13.【答案】91.05【解析】从 2022 年年初到 2030 年年底经过了 9 年，所以 2030 年年底的物价为91.05.14.【答案】5 221221【解析】在长方体1111ABCDABC D的上方补一个全等的长方体2222ABCDA B C D，则直线12ADBC，所以17BF，213BC，240FC，所以22222225 221cos2221BFBCFCFBCBF BC，异面直线1A D与 BF 所成角的余弦值为5 221221.15.【答案】849【解折】过 E 作EFCA，交 DB 于 F，则13EFBEDCBC，EFEOADAO，因为4DCAD，所以143EFAD，即43EFAD，所以43EOAO，所以3343()7777COCAAECACECACACE 43 24277 377CACBCACB，所以849mn.16.【答案】34【解析】如图所示，平面 ABD 与平面 BCE 交于 BQ，平面 ABD 与平面 ACF 交于 AP，所以 O 为 AP 与 BQ 的交点.因为 D，E，F 分别为 VC，VA，VB 的中点，所以 P，Q 分别为三角形 VBC，VAC 的重心，所以12DPDQPBAQ，连接 DO 并延长交 AB 于 H，连接 PQ，设 PQ 与 DO 交于 S，则PQAB，13PQDPABDB，所以13SOPOPQOHOAAB，13DSDPDHDB，所以DOOH，设三棱锥VABC的高为0h，所以014hh，所以34h.17.【解析】（1）因为ab，所以0a b，因为,1ax，1,1 2bx，Rx，所以 111 20 xx ，所以13x；（2）因为ab（为负实数），所以ab，因为,1ax，1,1 2bx，Rx，所以 1 2110 xx ，解得，12x 或1x，当12x 时，1,12a，1,2b，所以12；当1x 时，1,1a，1,1b，所以1，不合题意，舍去，所以12x ，12.18.【解析】（1）因为44223315baabab，所以11111189326415baabab ，解得，112ab；（2）由12mnaaabm得，3122nm，所以1312nm，因为16n，所以142128n，令314m，8，16，32，64，128，经过检验得，只有1m，5，21 满足1312nm，所以1,5,21T.19.【解析】（1）因为平面DEFB 平面 ABCD，EDBD，FBBD，所以ED 平面 ABCD，FB 平面 ABCD，则2311142(2)3323E ACDACDVED Saaa，231112(2)3323FABCABCVFB Saaa，三棱锥FACE的体积为231 1(2)(2 2)23 2E ACDFABCaaaVVa；（2）以 D 为坐标系的原点，射线 DA，DC，DE 分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则2,0,0Aa，2,2,Faa a，0,0,2Ea，所以2,0,2AEaa，0,2,AFa a，设平面 AEF 的法向量为,nx y z，所以22020axazayaz，令2x 得，2,1,2n，又平面 AFB 的一个法向量为2,0,0DAa，设平面 AEF 与平面 ABF 夹角为，42cos39 2n DAaanDA，所以25sin1cos3.20.【解析】（1）由题意得2222acb，即2222acb，由余弦定理得222cos2acbBac，整理得cos1acB，则cos0B，又21cos2B，则2cos2B，2sin2B，所以12cosacB，11sin22ABCSacB；（2）因为3cos5A，所以4sin5A，437 2sinsin()cossin5510CABBB，由正弦定理得，sinsinsinabcABC，所以sinsinsinsinsinabcacABCAC，所以427 226 72 14(sinsinsin)sinsin5210747 2510acabcABCAC.21.【解析】（1）因为 PQ 垂直于水平大圆面 AOB，所以PQAB，因为QRAB，PQQRQ，所以AB 平面 PQR，所以ABPR，因为 C 为半大圆弧的中点，所以ABOC，因为 C，P 为不同的两点，且 AB，OC，PR 在同一个平面内，所以OCPR；（2）由ABPR，ABRQ得，PRQ为半大圆面 ACB 与水平大圆面夹角的平面角，所以3PRQ，设BOP，由于对称性，不妨设0,2，因为2AB，所以1OP，所以sinPR，cosOR，sincos32RQPR，3sinsin32PQPR，所以三棱锥POQR体积231 133sincoscoscos3 22424VOR RQ PQ，设cos0,1t，所以3324Vtt，令231 3024Vt，得33t，进一步得，当且仅当33t 时，V 取得最大值为136，所以三棱锥POQR体积的取值范围为10,36.22.【解析】（1）令()e(cossin)0 xfxxx得，0,43x，当0,4x时，0fx，,4 3x 时，0fx，所以min()min(0),3f xff，因为333eee1(0)3222ff，所以 min1f x，因为,4 3x 时，0fx，所以 f x在,4 3 上单调递减，所以3421ee22，化简得，12e2；（2）3()2exg x 等价于3()e2xg x，当1a，因为0,3x，所以2cos0exax，3e0 x，所以3333222coscoscos()eee2e2 e coseeexxxxxxxxaxxxg xx，由（1）得，2 e cos2 12xx，所以3()e2xg x；当1a 时，3 0(0)e12ga，即0 x 时，3()e2xg x 不成立，即3()2exg x 不成立，综上，实数 a 的取值范围为1,.