2023届甘肃省通渭县高考数学全真模拟密押卷含解析.pdf

2023 年高考数学模拟试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数 z 满足(3)1izi，则 z 的虚部为（）Ai Bi C1 D1 2已知函数 xf xa（0a，且1a）在区间,2mm上的值域为,2mm，则a（）A2 B14 C116或2 D14或 4 3下图为一个正四面体的侧面展开图，G为BF的中点，则在原正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为（）A33 B63 C36 D336 4 cossinxef xx在原点附近的部分图象大概是（）A B C D 5在直角ABC中，2C，4AB，2AC，若32ADAB，则CD CB（）A18 B6 3 C18 D6 3 61777 年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针 2212 枚，与直线相交的有 704 枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（）A12 B3 C2 D1 7 在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，且|1,|2ABAC，120BAC，则|EB（）A194 B114 C32 D74 8设不等式组030 xyxy表示的平面区域为，若从圆C：224xy的内部随机选取一点P，则P取自的概率为（）A524 B724 C1124 D1724 9定义在R上的偶函数 f x，对1x，2,0 x ，且12xx，有 21210f xf xxx成立，已知lnaf，12bfe，21log6cf，则a，b，c的大小关系为（）Abac Bbca Ccba Dcab 10已知直线 yk（x1）与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点，直线 y2k（x2）与抛物线 D：y28x 交于 M，N两点，设|AB|2|MN|，则（）A16 B16 C120 D12 11若20192019012019111xaaxax，xR，则22019122019333aaa 的值为（）A20191 2 B20191 2 C201912 D201912 12复数2(1)ii的模为（）A12 B1 C2 D2 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13将底面直径为 4，高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为_.14已知函数2()xf xe，则过原点且与曲线 yf x相切的直线方程为_.15已知3sin,52，则tan4_。16在某批次的某种灯泡中，随机抽取 200 个样品.并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下：寿命（天）频数 频率 200,300 40 a 300,400 60 0.3 400,500 b 0.4 500,600 20 0.1 合计 200 1 某人从灯泡样品中随机地购买了*n nN个，如果这n个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样所得的结果相同，则n的最小值为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在ABC角中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若3asinBbcosA（1）求角 A；（2）若ABC的面积为2 35a，求ABC的周长 18（12 分）已知直线l的参数方程为cos1sinxtyt（0，t为参数），曲线C的极坐标方程为24cossin.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；(2)若直线l经过点(1,0)，求直线l被曲线C截得的线段的长.19（12 分）在ABC中，3 sincosaCcA（）求角A的大小；（）若3ABCS，22 3bc，求a的值 20（12 分）如图，在四棱柱CABEF中，平面ABEF 平面ABC，ABC是边长为 2 的等边三角形，/AB EF，90ABE，1BEEF，点M为BC的中点 （）求证：/EM平面ACF；（）求二面角EBCF的余弦值（）在线段EF上是否存在一点N，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121，若存在求出EN的长，若不存在说明理由 21（12 分）设实数,x y满足3xy.（1）若32xx y，求x的取值范围；（2）若0 x，0y，求证：1111xy.22（10 分）2018 年 9 月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达 52 亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的 50 个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：0,2000，(2000,4000，(4000,6000，(6000,8000，(8000,10000（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这 50 户并且损失超过 4000元的农户中随机抽取 2 户进行重点帮扶，设抽出损失超过 8000 元的农户数为X，求X的分布列和数学期望.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】利用复数的四则运算可得2zi ，即可得答案.【详解】(3)1izi，131izii，2zi ，复数z的虚部为1.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.2C【解析】对 a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.【详解】分析知，0m.讨论：当1a 时，22mmamam，所以2ma，2m，所以2a；当01a时，22mmamam，所以12ma，14m，所以116a.综上，116a 或2a，故选 C.【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.3C【解析】将正四面体的展开图还原为空间几何体，,A D F三点重合，记作D，取DC中点H，连接,EG EH GH，EGH即为EG与直线BC所成的角，表示出三角形EGH的三条边长，用余弦定理即可求得cosEGH.【详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中,A D F三点重合，记作D：则G为BD中点，取DC中点H，连接,EG EH GH，设正四面体的棱长均为a，由中位线定理可得/GHBC且1122GHBCa，所以EGH即为EG与直线BC所成的角，221322EGEHaaa，由余弦定理可得222cos2EGGHEHEGHEG GH 2223133444631222aaaaa，所以直线EG与直线BC所成角的余弦值为36，故选：C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.4A【解析】分析函数 yf x的奇偶性，以及该函数在区间0,上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】令sin0 x，可得,x xkkZ，即函数 yf x的定义域为,x xkkZ，定义域关于原点对称，coscossinsinxxeefxf xxx ，则函数 yf x为奇函数，排除 C、D 选项；当0 x时，cos0 xe，sin0 x，则 cos0sinxefxx，排除 B 选项.故选：A.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5C【解析】在直角三角形 ABC 中，求得12ACcos CABAB，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值【详解】在直角ABC中，2C，4AB，2AC，12ACcos CABAB，若32ADAB，则2CD CBADACABACAD ABAD ACAC ABAC（）（）223322ABAB ACAC ABAC 351164 2418222 故选 C.【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题 6D【解析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率.【详解】70412212.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.7A【解析】根据向量的线性运算可得3144EBABAC,利用22|BEBE及|1,|2ABAC，120BAC计算即可.【详解】因为11131()22244EBEAABADABABACABABAC ,所以22229311216441|6EBABABBACACE 22931111 2()2168216 1916，所以19|4EB，故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.8B【解析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】作出中在圆C内部的区域，如图所示，因为直线0 xy，30 xy的倾斜角分别为34，6，所以由图可得P取自的概率为3746224.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.9A【解析】根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解：对1x，2,0 x ，且12xx，有 21210f xf xxx f x在,0 x 上递增 因为定义在R上的偶函数 f x 所以 f x在0,x 上递减 又因为221loglog 626，1ln2，1201e 所以bac 故选：A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.10D【解析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244ABk，244ABk，然后计算，可得结果.【详解】设 1122,A x yB x y，联立2222212404yk xk xkxkyx（）则212222442kxxkk，因为直线1yk x经过 C 的焦点，所以12244xxkApB.同理可得228MNk，所以4 1612 故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。11A【解析】取1x，得到201902a，取2x，则2201901220193331aaaa ，计算得到答案.【详解】取1x，得到201902a；取2x，则2201901220193331aaaa .故22019201912201933312aaa .故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x 和2x 是解题的关键.12D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】解：2(1)22iii ，复数2(1)ii的模为22(2)22 2 故选：D【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。133【解析】由题意欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为 h，底面半径为 r，则323hr，将侧面积表示成关于r的函数，再利用一元二次函数的性质求最值.【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为 h，底面半径为 r，则323hr，所以332hr.232233(1)132Srhrrr侧，当1r 时，S侧的最大值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.142 -0e xy 【解析】设切点坐标为2,tt e，利用导数求出曲线 yf x在切点2,tt e的切线方程，将原点代入切线方程，求出t的值，于此可得出所求的切线方程【详解】设切点坐标为2,tt e，2xf xe，22xfxe，22tfte，则曲线 yf x在点2,tt e处的切线方程为222ttyeext，由于该直线过原点，则222ttete，得12t，因此，则过原点且与曲线 yf x相切的直线方程为2yex，故答案为20exy【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程 1517【解析】由已知求tan，再利用和角正切公式，求得tan4，【详解】因为352sin，所以 cos4354tan ，因此31114tan341714tantan.【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。1610【解析】先求出 a，b，根据分层抽样的比例引入正整数 k 表示 n，从而得出n的最小值.【详解】由题意得，a=0.2，b=80，由表可知，灯泡样品第一组有 40 个，第二组有 60 个，第三组有 80 个，第四组有 20 个，所以四个组的比例为 2:3:4:1，所以按分层抽样法，购买的灯泡数为 n=2k+3k+4k+k=10k(*kN)，所以n的最小值为 10.【点睛】本题考查分层抽样基本原理的应用，涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算，属于基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）3；（2）1.【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得 sinAsinB=3sinBcosA，求得 tanA=3，结合范围 A（0，），可求 A=3（2）利用三角形的面积公式可求 bc=8，由余弦定理解得 b+c=7，即可得解 ABC 的周长的值【详解】（1）由题意，在ABC中，因为3asinBbcosA，由正弦定理，可得 sinAsinB=3sinBcosA，又因为(0,)B，可得 sinB0，所以 sinA=3cosA，即：tanA=3，因为 A（0，），所以 A=3；（2）由（1）可知 A=3，且 a=5，又由 ABC 的面积 23=12bcsinA=34bc，解得 bc=8，由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA，可得：25=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-24，整理得（b+c）2=49，解得：b+c=7，所以 ABC 的周长 a+b+c=5+7=1【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18(1)曲线C表示的是焦点为(1,0)，准线为1x 的抛物线;(2)8.【解析】试题分析：（1）将曲线C的极坐标方程为24cossin两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）由直线l经过点1,0，可得tan的值，再将直线l的参数方程代入曲线C的标准方程，由直线参数方程的几何意义可得直线l被曲线C截得的线段C的长.试题解析：（1）由24cossin可得22sin4 cos，即24yx，曲线C表示的是焦点为1,0，准线为1x 的抛物线.（2）将1,0代入1xtcosytsin，得101tcostsin，tan1，0，34，直线l的参数方程为22212xtyt (t为参数).将直线l的参数方程代入24yx得26 220tt，由直线参数方程的几何意义可知，212121 247288ABttttt t.19(1)6A;(2)2a.【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到3sinsinsincosACCA消去公因式得到所以 3tan3A 进而得到角 A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到22 3bc，联立两式得到2a 解析：（I）因为3 sincosaCcA，所以cos0A，由正弦定理sinsinsinabcABC，得3sinsinsincosACCA 又因为 0,C，sin0C，所以 3tan3A 又因为 0,A，所以 6A （II）由11sin324ABCSbcAbc，得4 3bc，由余弦定理2222cosabcbcA，得2222cos6abcbc，即222238 312abcbcbcbc，因为22 3bc，解得 24a.因为 0a，所以 2a.20（）证明见解析；（）2 77；（）线段EF上是存在一点N，2|12EN ，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121.【解析】（）取AC中点P，连结MP、FP，推导出四边形EFPM是平行四边形，从而/FPEM，由此能证明/EM平面ACF;（）取AB中点O，连结CO，FO，推导出FO 平面ABC，OCAB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EBCF的余弦值；（）假设在线段EF上是存在一点N，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121，设ENt利用向量法能求出结果【详解】（）证明：取AC中点P，连结MP、FP，ABC是边长为 2 的等边三角形，/ABEF，90ABE，1BEEF，点M为BC的中点，/EFMP，四边形EFPM是平行四边形，/FPEM，EM 平面ACF，FP 平面ACF，/EM平面ACF（）解：取AB中点O，连结CO，FO，在四棱柱CABEF中，平面ABEF 平面ABC，ABC是边长为 2 的等边三角形，/ABEF，90ABE，1BEEF，点M为BC的中点，FO平面ABC，OCAB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，(0B，1，0)，(3C，0，0)，(0E，1，1)，(0F，0，1)，(3BC，1，0)，(0BE，0，1)，(0BF，1，1)，设平面BCE的法向量(nx，y，)z，则300n BCxyn BEz，取1x，得(1n，3，0)，设平面BCF的法向量(ma，b，)c，则300m BCabm BFbc ，取1a，得(1,3,3)m，设二面角EBCF的平面角为，则|42 7cos|747m nmn 二面角EBCF的余弦值为2 77（）解：假设在线段EF上是存在一点N，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121，设|ENt 则(0N，1 t，1)，(3CN ，1 t，1)，平面BCF的法向量(1,3,3)m，2|33|21|cos,|21|4(1)7CN mtCN mCNmt，解得212t ，线段EF上是存在一点N，2|12EN ，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21（1）3,（2）证明见解析【解析】（1）依题意可得31xxx，考虑到0 x，则有31xxx 再分类讨论可得；（2）要证明1111xy，即证11xyxy，即证14xy.利用基本不等式即可得证；【详解】解：（1）由32xx y及3xy，得31xxx，考虑到0 x，则有31xxx，它可化为 01,31,xxxx或1,31.xxx x 即201,30,xx 或21,230.xxx 前者无解，后者的解集为3x x，综上，x的取值范围是3,.（2）要证明1111xy，即证11xyxy，由3xy，得14xy，即证14xy.因为22141422xyxy（当且仅当1x，2y 时取等号）.所以14xy成立，故1111xy成立.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.22（1）3360 元；（2）见解析【解析】（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；（2）根据频率分布直方图计算随机变量 X 的可能取值，再求 X 的分布列和数学期望值【详解】（1）记每个农户的平均损失为 元，则 1000 0.33000 0.4x 5000 0.187000 0.069000 0.063360；（2）由频率分布直方图，可得损失超过 1000 元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）20005015（户），损失超过 8000 元的农户共有 0.000032000503（户），随机抽取 2 户，则 X 的可能取值为 0，1，2；计算 P（X0），P（X1），P（X2），所以 X 的分布列为；X 0 1 2 P 数学期望为 E（X）0+1+2【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题