2023届高考数学专项练习导数解密36专题aa专题27 单变量恒成立之参变分离后导函数零点可求型含答案.docx

2023届高考数学专项练习导数解密36专题27单变量恒成立之参变分离后导函数零点可求型 【方法总结】单变量恒成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)g(x)在xD上恒成立，则f(a)g(x)max；若f(a)g(x)在xD上恒成立，则f(a)g(x)min特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若ag(x)在xD上恒成立，则ag(x)max；若ag(x)在xD上恒成立，则ag(x)min利用分离参数法来确定不等式f(x，a)0(xD，a为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f1(a)f2(x)或f1(a)f2(x)的形式(2)求f2(x)在xD时的最大值或最小值(3)解不等式f1(a)f2(x)max或f1(a)f2(x)min，得到a的取值范围【例题选讲】例1已知f(x)xlnx，g(x)x3ax2x2(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x(0，)，2f(x)g(x)2恒成立，求实数a的取值范围解析(1)函数f(x)xln x的定义域是(0，)，f(x)ln x1令f(x)0，得ln x10，解得0x，f(x)的单调递减区间是令f(x)0，得ln x10，解得x，f(x)的单调递增区间是综上，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是(2)g(x)3x22ax1，2f(x)g(x)2恒成立，2xlnx3x22ax1恒成立x0，aln xx在x(0，)上恒成立设h(x)ln xx(x0)，则h(x)令h(x)0，得x11，x2(舍去)当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递减当x1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)maxh(1)2，若ah(x)在x(0，)上恒成立，则ah(x)max2，1故实数a的取值范围是2，)例2已知函数f(x)lnxx2(a1)x(1)若曲线yf(x)在x1处的切线方程为y2，求f(x)的单调区间；(2)若x>0时，<恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)由已知得f(x)ax(a1)，则f(1)0而f(1)1，曲线yf(x)在x1处的切线方程为y112，解得a2f(x)ln xx23x，f(x)2x3，由f(x)>0，得0<x<或x>1，由f(x)<0，得<x<1，f(x)的单调递增区间为和(1，)，单调递减区间为(2)由<，得x(a1)<x，即<在区间(0，)上恒成立设h(x)，则h(x)，由h(x)>0，得0<x<，因而h(x)在上单调递增，由h(x)<0，得x>，因而h(x)在上单调递减h(x)的最大值为h()，>，故a>21从而实数a的取值范围为例3(2020·全国)已知函数f(x)exax2x(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)x31，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)exx2x，f(x)ex2x1，由于f(x)ex20，故f(x)单调递增，注意到f(0)0，故当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增(2)由f(x)x31，得exax2xx31，其中x0，当x0时，不等式为11，显然成立，符合题意；2当x0时，分离参数a得a，记g(x)，g(x)，令h(x)exx2x1(x0)，则h(x)exx1，h(x)ex10，故h(x)单调递增，h(x)h(0)0，故函数h(x)单调递增，h(x)h(0)0，由h(x)0可得exx2x10恒成立，故当x(0，2)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(2，)时，g(x)0，g(x)单调递减因此，g(x)maxg(2)，综上可得，实数a的取值范围是【对点精练】1已知函数f(x)axex(a1)(2x1)(1)若a1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当x0时，函数f(x)0恒成立，求实数a的取值范围1解析(1)若a1，则f(x)xex2(2x1)即f(x)xexex4，则f(0)3，f(0)2，所以所求切线方程为3xy20(2)由f(1)0，得a0，则f(x)0对任意的x0恒成立可转化为对任意的x0恒成立设函数F(x)(x0)，则F(x)当0x1时，F(x)0；当x1时，F(x)0，所以函数F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以F(x)maxF(1)于是，解得a故实数a的取值范围是2已知函数f(x)ex(ax2xa)(a0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)ex(ax22x)1恒成立，求实数a的取值范围2解析(1)函数f(x)的定义域为R，且f(x)(axa1)(x1)ex，3当a0时，f(x)ex(x1)，当x>1时，f(x)>0，当x<1时，f(x)<0，所以函数f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(，1)当a>0时，f(x)a(x1)ex，则方程f(x)0有两根1，且1>所以函数f(x)的单调增区间为和(1，)，单调减区间为综上可知，当a>0时，函数f(x)的单调增区间为和(1，)，单调减区间为；当a0时，函数f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(，1)(2)函数f(x)ex(ax22x)1恒成立转化为ax在R上恒成立令h(x)x，则h(x)，易知h(x)在(0，)上为增函数，在(，0)上为减函数所以h(x)minh(0)1，则a1又由题设a0，故实数a的取值范围为0，13已知函数f(x)lnx(1)求函数g(x)f(x1)x的最大值；(2)若对任意x>0，不等式f(x)axx21恒成立，求实数a的取值范围3解析(1)f(x)ln x，g(x)f(x1)xln(x1)x(x>1)，g(x)1当x(1，0)时，g(x)>0，g(x)在(1，0)上单调递增；当x(0，)时，g(x)<0，g(x)在(0，)上单调递减g(x)在x0处取得最大值g(0)0(2)对任意x>0，不等式f(x)axx21恒成立，在x>0上恒成立，进一步转化为maxamin，设h(x)，则h(x)，当x(1，e)时，h(x)>0；当x(e，)时，h(x)<0，h(x)在xe处取得极大值也是最大值h(x)max要使f(x)ax恒成立，必须a另一方面，当x>0时，x2，当且仅当x1时等号成立，要使axx21恒成立，必须a2，满足条件的a的取值范围是4已知函数f(x)(x1)exax2(e是自然对数的底数)4(1)讨论函数f(x)的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x>0，f(x)exx3x，求实数a的取值范围4解析(1)f(x)xex2axx(ex2a)当a0时，由f(x)<0得x<0，由f(x)>0得x>0，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)有1个极值点；当0<a<时，由f(x)>0得x<ln (2a)或x>0，由f(x)<0得ln (2a)<x<0，f(x)在(，ln (2a)上单调递增，在(ln (2a)，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)有2个极值点；当a时，由f(x)0，f(x)在R上单调递增，f(x)没有极值点；当a>时，由f(x)>0得x<0或x>ln (2a)，由f(x)<0得0<x<ln (2a)，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，ln (2a)上单调递减，在(ln (2a)，)上单调递增，f(x)有2个极值点综上，当a0时，f(x)有1个极值点；当a>0且a时，f(x)有2个极值点；当a时，f(x)没有极值点(2)由f(x)exx3x得xexx3ax2x0当x>0时，exx2ax10，即a对任意的x>0恒成立设g(x)，则g(x)设h(x)exx1，则h(x)ex1x>0，h(x)>0，h(x)在(0，)上单调递增，h(x)>h(0)0，即exx1>0，g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(x)g(1)e2，ae2，实数a的取值范围为(，e2专题28单变量恒成立之参变分离后导函数零点可猜型 【方法总结】单变量恒成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)g(x)在xD上恒成立，则f(a)g(x)max；若f(a)g(x)在xD上恒成立，则f(a)g(x)min特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若ag(x)在xD上恒成立，则ag(x)max；若ag(x)在xD上恒成立，则ag(x)min利用分离参数法来确定不等式f(x，a)0(xD，a为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f1(a)f2(x)或f1(a)f2(x)的形式(2)求f2(x)在xD时的最大值或最小值(3)解不等式f1(a)f2(x)max或f1(a)f2(x)min，得到a的取值范围【例题选讲】例1已知函数f(x)exxlnx，g(x)extx2x，tR，其中e为自然对数的底数(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若g(x)f(x)对任意的x(0，)恒成立，求t的取值范围解析(1)由f(x)exxln x，知f(x)eln x1，则f(1)e1，而f(1)e，则所求切线方程为ye(e1)(x1)，即y(e1)x1(2)f(x)exxln x，g(x)extx2x，tR，g(x)f(x)对任意的x(0，)恒成立等价于extx2xexxln x0对任意的x(0，)恒成立，即t对任意的x(0，)恒成立令F(x)，则F(x)，令G(x)exeln x，则G(x)ex0对任意的x(0，)恒成立G(x)exeln x在(0，)上单调递增，且G(1)0，当x(0，1)时，G(x)0，当x(1，)时，G(x)0，即当x(0，1)时，F(x)0，当x(1，)时，F(x)0，F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，F(x)F(1)1，t1，即t的取值范围是(，16例2已知函数f(x)(x2)exax2ax(aR)(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当x2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围解析(1)当a0时，f(x)(x2)ex，f(0)(02)e02，f(x)(x1)ex，kf(0)(01)e01，所以切线方程为y2(x0)，即xy20(2)方法一()f(x)(x1)(exa)，当a0时，因为x2，所以x1>0，exa>0，所以f(x)>0，则f(x)在2，)上单调递增，f(x)f(2)0成立当0<ae2时，f(x)0，所以f(x)在2，)上单调递增，所以f(x)f(2)0成立当a>e2时，在区间(2，ln a)上，f(x)<0；在区间(lna，)上，f(x)>0，所以f(x)在(2，ln a)上单调递减，在(lna，)上单调递增，f(x)0不恒成立，不符合题意综上所述，a的取值范围是(，e2方法二当x2时，f(x)0恒成立，等价于当x2时，(x2)exax2ax0恒成立即a(x2)ex在2，)上恒成立 当x2时，0·a0，所以aR当x>2时， x2x>0，所以a恒成立设g(x)，则g(x)，因为x>2，所以g(x)>0，所以g(x)在区间(2，)上单调递增所以g(x)>g(2)e2，所以ae2 综上所述，a的取值范围是(，e2【对点精练】1已知函数f(x)(aR)(1)讨论f(x)的单调区间；(2)若f(x)ex11恒成立，求实数a的取值范围1解析(1)f(x)的定义域为(0，)，且f(x)令f(x)>0，得1aln x>0，解得0<x<e1a2令f(x)<0，得1aln x<0，解得x>e1a故f(x)的单调递增区间为(0，e1a)，单调递减区间为(e1a，)(2)因为f(x)ex11恒成立，即ex11对(0，)恒成立，所以axex1xln x1对(0，)恒成立，令g(x)xex1xln x1，则g(x)ex1xex11(x1)当x(0，1)时，g(x)<0，所以g(x)在(0，1)上单调递减当x(1，)时，g(x)>0，所以g(x)在(1，)上单调递增故当x1时，g(x)取到最小值g(1)1，所以a1故实数a的取值范围是(，12函数f(x)lnxx2ax(aR)，g(x)exx2(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)若对于任意x(0，)，总有f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围2解析：(1)由题意得f(x)xa(x>0)，令f(x)0，即x2ax10，a24当a240，即2a2时，x2ax10对x>0恒成立，即f(x)0对x>0恒成立，此时f(x)没有极值点当a24>0，即a<2或a>2时，若a<2，设方程x2ax10的两个不同实根为x1，x2，不妨设x1<x2，则x1x2a>0，x1x21>0，故x2>x1>0，当0<x<x1或x>x2时，f(x)>0；当x1<x<x2时f(x)<0，故x1，x2是函数f(x)的两个极值点若a>2，设方程x2ax10的两个不同实根为x3，x4，则x3x4a<0，x3x41>0，故x3<0，x4<0，当x>0时，f(x)>0，故函数f(x)没有极值点综上，当a<2时，函数f(x)有两个极值点；当a2时，函数f(x)没有极值点(2)f(x)g(x)exln xx2ax，因为x>0，所以a对于x>0恒成立，设(x)(x>0)，(x)，x>0，当x(0，1)时，(x)<0，(x)单调递减，当x(1，)时，(x)>0，(x)单调递增，(x)(1)e1，ae1，即实数a的取值范围是(，e133设函数f(x)lnx(a为常数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)不等式f(x)1在x(0，1上恒成立，求实数a的取值范围3解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当a0时，又x>0，xa>0，f(x)>0，f(x)在定义域(0，)上单调递增；当a>0时，若x>a，则f(x)>0，f(x)单调递增；若0<x<a，则f(x)<0，f(x)单调递减综上可知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a>0时，f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，)上单调递增(2)f(x)1lnx1ln x1axln xx对任意x(0，1恒成立令g(x)xln xx，x(0，1则g(x)ln xx·1ln x0，x(0，1，g(x)在(0，1上单调递增，g(x)maxg(1)1，a1，故a的取值范围为1，)4已知函数f(x)(1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围4解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以x1为函数f(x)的极大值点，且是唯一的极值点，所以0a1a，故a1，即实数a的取值范围为(2)由题意得，当x1时，k恒成立，令g(x)(x1)，则g(x)再令h(x)xln x(x1)，则h(x)10，所以h(x)h(1)1，所以g(x)0，4所以g(x)在1，)上单调递增，所以g(x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是(，25