初二数学---面积法解题.pdf

-.初二数学初二数学-面积法解题面积法解题【本讲教育信息本讲教育信息】【讲解容】怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题【教学目标】1.使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。2.培养学生分析问题、解决问题的能力。【重点、难点】：重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。难点：灵活运用所学知识证明面积问题。【教学过程】一证明面积问题常用的理论依据1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的局部。2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的局部。4.同底等底的两个三角形面积的比等于高的比。同高或等高的两个三角形面积的比等于底的比。5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。二证明面积问题常用的证题思路和方法1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。2.作平行线法：通过平行线找出同高或等高的三角形。3.利用有关性质法：比方利用中点、中位线等的性质。4.还可以利用面积解决其它问题。16.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。417.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。4【典型例题】【典型例题】一怎样证明面积问题1.分解法例 1.从ABC 的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：DEF 的面积2ABC 的面积。FEA分析：分析：从图形上观察，DEF 可分为三局部，其中是ADE，它与 ADB 同底等BDC高，故SADE SADB-优选-.三是AEF，只要再证出它与ABC 的面积相等即可由 SCFESCFB故可得出 SAEFSABC证明：AD/BE/CFADB 和ADE 同底等高SADBSADE同理可证：SADCSADFSABCSADE+SADF又SCEFSCBFSABCSAEFSAEF+SADE+SADF2SABCSDEF2SABC2.作平行线法例 2.：在梯形 ABCD 中，DC/AB，M 为腰 BC 上的中点二是ADF，和上面一样，SADF SADC求证：SADM分析：分析：由 M 为腰 BC 的中点可想到过 M 作底的平行线 MN，那么 MN 为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h1SABCD2DCNMABSAMD SDMN SAMN证明：证明：过 M 作 MN/ABM 为腰 BC 的中点MN 是梯形的中位线设梯形的高为 h11MN h SABCD22DC AB2则SABCD MN hMN 又SAMD SAMN SMNDSADM1SABCD21MN h2二用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到以下性质：性质 1：等底等高的三角形面积相等性质 2：同底等高的三角形面积相等性质 3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半-优选-.性质 4：等高的两个三角形的面积比等于底之比性质 5：等底的两个三角形的面积比等于高之比1.证线段之积相等例 3.设 AD、BE 和 CF 是ABC 的三条高，求证：ADBCBEACCFABAFEBDC分析：分析：从结论可看出，AD、BE、CF 分别是 BC、AC、AB 三边上的高，故可联想到可用面积法。证明：证明：AD、BE、CF 是ABC 的三条高SABC2.证等积问题例 4.过平行四边形 ABCD 的顶点 A 引直线，和BC、DC 或其延长线分别交于 E、F，求证：SABFSADEADBECFAD BCBE ACCF AB222 ADBC BE AC CF AB分析：分析：因为 AB/DF，所以ABF 与ABC 是同底 AB 和等高的两个三角形，所以这两个三角形的面积相等。证明：证明：连结 ACCF/ABSABF SABC又CE/AD1S平行四边形ABCD21S2平行四边形ABCDSADE SACDSABF SADE3.证线段之和例 5.ABC 中，ABAC，P 为底边 BC 上任一点，PEAB，PFAC，BHAC，求证：PE+PFBH-优选-.AHFEBPC分析：分析：有垂线，就可看作三角形的高，连结AP，那么故 PE+PFBH证明：证明：连结 AP，那么11AB PE AC PF221又由AB AC，所以SABCAC(PE PF)21又SABCAC BH2SABC SABP SAPCABAC，PEAB，PFACSABC SABP SAPCSABC又BHAC111AB PE AC PF AC(PE PF)222SABC1AC BH2PE+PFBH4.证角平分线例 6.在平行四边形 ABCD 的两边 AD、CD 上各取一点 F、E，使 AECF，连 AE、CF 交于 P，求证：BP 平分APC。DECFP11AC(PE PF)AC BH22分析：分析：要证 BP 平分APC，我们可以考虑，只要能证出B 点到 PA、PC 的距离相等即可，也就是ABE 和BFC 的高相等即可，又由 AEFC 可联想到三角形的面积，因此只要证出 SABESBCF即可由平行四边形 ABCD 可得 SABESABC，SBFCSABC所以 SABESBFC，因此问题便得解。证明：证明：连结 AC、BE、BF四边形 ABCD 是平行四边形SABESABCSBFCSABC-优选AB-.SABESBFC又AECF而ABE 和BFC 的底分别是 AE、CFABE 和BFC 的高也相等即 B 到 PA、PC 的距离相等B 点在APC 的平分线上PB 平分APC【模拟试题】答题时间：25 分钟1.在平行四边形 ABCD 中，E、F 点分别为 BC、CD 的中点，连结AF、AE，求证：SABESADFDFCEAB2.在梯形 ABCD 中，DC/AB，M 为腰 BC 上的中点，求证：SADM SDCM SABMDCMAB111a2b2h23.RtABC 中，ACB90，a、b 为两直角边，斜边 AB 上的高为 h，求证：CbahADB4.：E、F 为四边形 ABCD 的边 AB 的三等分点，G、H 为边 DC 的三等分点，求证：SEFGH1SABCD3DAGEFHBC-优选-.CE15.在ABC 中，D 是 AB 的中点，E 在 AC 上，且AC3，CD 和 BE 交于 G，求ABC和四边形 ADGE 的面积比。ADGEBC【试题答案】1.证明：连结 AC，那么SABC SADC又E、F 分别为 BC、CD 的中点SABE12SABCS1ADF2SADCS S2.ABE证明：过ADFM 作 MN/DC/ABDCNMABM 为腰 BC 上的中点DCM 和ABM 的高相等，设为 h1S111DCM SABM又DMN 与AMN2DCh1的高也为2ABh1h2(DC AB)h11SADM SDMN SAMN12MN h112MN h112MN(h1 h1)MN h1MN 为梯形的中位线MN 12(AB CD)S3.证明：在ADM SDCM SRtABCABM中，ACB90，CDABS1ABC2ab 12ABhab ABh-优选-.a2b2 AB2h2(a2b2)h2两边同时除以ab得：224.证明：连结 FD、FG、FCDAGEFHBMC111a2b2h2那么由可得作 DM/AB，设它们之间的距离为h，G 到 DM 的距离为 a，那么由可得H、C 到 DM 的距离分别为 2a、3aSFGH1SDFC31EF(h a)211SAFD SBFCAF h BF(h 3a)2213 EF h EF h EF a2233EF h EF a2211 3(EF h EF a)221 3EF(h a)2 3SEFG1SEFG(SAFD SBFC)3即SEFG+得：5.证明：作 DF/AC 交 BE 于 FADGEFBCSEFGH1SABCD3可得DFGCEGSCEG SDFG1 1ABE4 2-优选-.141223S1ABC12SABC而S115ADGE2SABC12SABC12SABCABC 和四边形 ADGE 的面积比是 12：5-优选