2023届高考数学19高分突破智取压轴小题19 解析几何中的范围问题含答案.doc

2023届高考数学19高分突破，智取压轴小题19解析几何中的范围问题一方法综述圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；利用基本不等式求出取值范围；利用函数的值域的求法，确定取值范围二解题策略类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围【例1】已知，分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）ABCD【来源】山东省滨州市2021届高三二模（5月）数学试题【答案】A【解析】在中，由正弦定理得，又点是双曲线上在第一象限内的一点，所以，所以，在中，由，得，即，所以，又，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：求解离心率取值范围的关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，本题是利用点是双曲线上在第一象限内的一点，结合三角形两边之和大于第三边，构造不等式.【举一反三】1（2020·河南高考模拟（理）设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点若，则该双曲线的离心率的取值范围是ABCD【答案】B【解析】试题分析：由双曲线方程可知其渐近线方程为，将代入上式可得即因为，由图形的对称性可知，即因为，所以，即因为，所以故B正确2（2020·湖北高考模拟（理）设椭圆与双曲线在第一象限的交点为为其共同的左右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的取值范围为ABCD【答案】D【解析】依题意有m24a2+4，即m2a2+8， ，解得 .故选D3.（2020六安市第一中学模拟）点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】设椭圆的左焦点为，则故要求的最小值，即求的最小值，圆的半径为2所以的最小值等于，的最小值为，故选D.类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围【例2】（2020·玉林高级中学高考模拟（理）已知椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得， 设点的坐标为，则 ，又且，或，故的取值范围为选D【举一反三】1.抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为_【答案】【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或当时，故舍去，所以抛物线方程为，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，设点（为参数），则， 2.（2020哈尔滨师大附中模拟）已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（ ）ABCD【答案】A【解析】由，得.设，则， .又到直线的距离，则的面积 ，当且仅当，即时，的面积取得最大值.此时，. 故选A.类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例3】（2020·安徽马鞍山二中高考模拟）已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】的圆心为，可得椭圆的，圆与轴的交点为，可得椭圆的，可得，即有椭圆方程为，设椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，设两点的坐标为，由，得，设的中点，则，中点在上，即，得故选【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力【举一反三】1.（2020河南省天一大联考）已知抛物线：，定点，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】作出抛物线，如图所示. 由图可知，当直线与抛物线相切时，最大.设直线的方程为，联立得.令，得，此时，所以.2.（2020四川省内江模拟）若直线xmy+m0与圆（x1）2+y21相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（1，0）D（2，0）【答案】D【解析】圆与直线联立，整理得图像有两个交点方程有两个不同的实数根，即得.圆都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.，解得，故选D项.【指点迷津】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，是否关注“判别式”大于零是易错点.类型四 利用基本不等式求范围【例4】（2020·辽宁高考模拟（理）已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于点，若与直线的斜率的乘积为，则的最小值为（ ）A14B16C18D20【答案】B【解析】【分析】设出直线的斜率，得到的斜率，写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，根据弦长公式求得的值，进而求得最小值.【详解】抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有，有，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查利用基本不等式求最小值.【举一反三】1.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ） A B C D 【答案】C【解析】由题意得，即为圆的圆心，准线方程为由抛物线的定义得，又，所以同理当直线与x轴垂直时，则有， 当直线与x轴不垂直时，设直线方程为，由消去y整理得，当且仅当时等号成立综上可得选C【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件2.（2020河南省安阳市一模）已知双曲线的一个焦点恰为圆：的圆心，且双曲线C的渐近线方程为点P在双曲线C的右支上，分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，（）A2B4C6D8【答案】B【解析】由圆：的圆心（2，0），可得焦点，双曲线C的渐近线方程为，可得，且，解得，设，可得，当且仅当时取等号，可得故选：B3.（2020四川省凉山州市高三第二次诊断）已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为_【答案】8【解析】设，设直线为,联立直线和抛物线得到，两根之和为：,同理联立直线和抛物线得到 由抛物线的弦长公式得到 代入两根之和得到，已知，类型五 构建目标函数，确定函数值范围或最值【例5】（2020·江西高考模拟（理）已知，为圆上的动点，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )ABCD【答案】A【解析】【分析】设P（），则Q（2，），当0时，求出两直线方程，解交点的横坐标为，利用|x0|范围，得|x|范围，当0时，求得|x|1即可求解.【详解】设P（），则Q（2，2），当0时，kAP，kPM，直线PM：y（x），直线QB：y0（x），联立消去y得x，由|1得x21，得|x|1，当0时，易求得|x|1，故选：A【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决【举一反三】1.（2020上海市交大附中模拟）过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为_【答案】【解析】点为直线上的任意一点，可设，则过的圆的方程为，化简可得，与已知圆的方程相减可得的方程为，由直线的方程为，联立两直线方程可解得，故线段的中点，点到直线的距离，即故答案为：2.已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为 【答案】【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，所以，故由可得，整理得 ，显然函数在上单调递增，所以，即故选A3.（2020山东师范大学附属中学模拟）已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是_【答案】【解析】解：设双曲线的左焦点为，连接，可得四边形为矩形，设，即有，且，由，可得，则，可得，即有，则，即有故答案为：类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例6】（云南省保山市2019年高三统一检测）已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是_【答案】【解析】根据题意，直线，即，则有，解可得，则直线恒过点设，又由与直线垂直，且为垂足，则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，所以；即的取值范围是；故答案为：【指点迷津】1.本题根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案2.此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；【举一反三】1.已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F，延长B1F与AB2交于点P，若B1PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_【答案】【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，（c=）可得B1PA等于向量与的夹角，A（a，0），B1（0，b），B2（0，b），F2（c，0）=（a，b），=（c，b），B1PA为钝角，与的夹角大于，由此可得0，即ac+b20，将b2=a2c2代入上式得：a2acc20，不等式两边都除以a2，可得1ee20，即e2+e10，解之得e或e，结合椭圆的离心率e（0，1），可得e1，即椭圆离心率的取值范围为（，1）故答案为（，1）2（2020·湖北高考模拟（理）已知是双曲线：上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是 【答案】【解析】【分析】用两点间的距离公式表示，根据点M在双曲线上化简变形，即可得到所求范围.【详解】因为，所以，所以，又，消去得，所以.三强化训练1（2020·福建高考模拟（文）已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切于点，则的最小值为 ( )ABCD【答案】B【解析】与的内切圆切于点，,由双曲线定义= ,当且仅当A,B,共线时取等，故选：B2已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，直线过A点且与x轴垂直，P为直线上的任意一点，若，则的取值范围是（ ）ABCD【来源】数学-学科网2021年高三5月大联考（广东卷）【答案】A【解析】由题意可知，直线的方程为，设直线，的倾斜角分别为，由椭圆的对称性，不妨设点P为第二象限的点，即，则，当且仅当，即时取等号.，且满足，则，则的最大值为，故的最大值是.当P为第二或第四象限的点时，的取值范围是；当P为x轴负半轴上的点时，.综上可知，的取值范围为，故选：A.3（2020·黑龙江高考模拟）在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为是平行四边形，因此且，故，代入椭圆方程可得，所以因，所以即，所以即，解得，故选A4已知椭圆的焦点分别为、，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是（ ）ABCD【来源】江西省九江市2021届高三三模数学（文）试题【答案】D【解析】不妨设椭圆的焦点在轴上，则，椭圆的标准方程为，以为直径的圆的方程为，联立，可得，所以，可得，因此，椭圆短轴长的取值范围是.故选：D.5.（2020河北省石家庄市第二中学）已知实数满足，则的最大值为（ ）AB2CD4【答案】D【解析】设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，作直线于点，直线于点，取的中点，作直线于点，由梯形中位线的性质可知，当直线时，直线方程为，两平行线之间的距离：，由圆的性质，综上可得：的最大值.本题选择D选项.6设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（ ）ABCD【来源】内蒙古赤峰市2021届高三二模 数学（文）试题【答案】D【解析】设，则，那么，两式相减得：，整理得：，即 ，又因为双曲线的离心率为，所以，所以，故，其中，所以故选：D.7已知是椭圆的左焦点，直线与该椭圆相交于两点，是坐标原点，是线段的中点，线段的中垂线与轴的交点在线段上该椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题【答案】A【解析】设的中点为，中垂线与轴交于点，设，由得：，直线方程为：，令，解得：，即，在线段上，整理可得：，即，又椭圆离心率，即椭圆离心率的取值范围为.故选：A.8已知抛物线，过其焦点的直线与其交于两点，若，则直线的倾斜角的最大值为（ ）ABCD【来源】河南省商丘市新乡市部分学校2021届高三5月联考文科数学试题【答案】D【解析】由已知得焦点，当直线的斜率不存在时，.满足要求.当直线的斜率存在时，设其方程为)，与抛物线方程联立，得，设，由抛物线定义知，所以解得或，所以直线倾斜角的范围是或，所以直线的倾斜角的最大值为，故选：D.9（2020·河北衡水中学高考模拟（理）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且，抛物线的准线与轴交于，于点，且四边形的面积为，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，则点的横坐标的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】过B作BB1l于B1，设直线AB与l交点为D，由抛物线的性质可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，设BD=m，BF=n，则=，即=，m=2n又=，=，n=，DF=m+n=2p，ADA1=30°，又AA1=3n=2p，CF=p，A1D=2p，CD=p，A1C=p，直角梯形AA1CF的面积为（2p+p）p=6，解得p=2，y2=4x，设M（x1，y1），N（x2，y2），=，y1=y2，设直线l：x=my1代入到y2=4x中得y24my+4=0，y1+y2=4m，y1y2=4，x1+x2=m（y1+y2）2=4m22，由可得4m2=+2，由12可得y=+2递增，即有4m2（4，即m2（1，又MN中点（2m21，2m），直线MN的垂直平分线的方程为y2m=m（x2m2+1），令y=0，可得x0=2m2+1（3，故选：A10（2020·山东省实验中学西校区高考模拟（理）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C的渐近线,设点P(m,n),则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到OB的距离为,由,解得,又,又, ,双曲线C的方程为,即,又,解得或,所以点P的横坐标m的取值范围为,故选A.11已知椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，点，直线的斜率为，为坐标原点设过点的直线与椭圆交于，两点，则面积的最大值为（ ）AB2CD1【来源】河南省济源平顶山许昌2021届高三三模数学（理）试题【答案】D【解析】设，由条件知，得又，所以，故的方程依题意当轴不合题意，故设直线，设，将代入，得，当，即时，从而又点到直线的距离，所以的面积，设，则，当且仅当，等号成立，且满足，故的面积的最大为1故选：12已知椭圆：的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD【来源】河南省开封市2021届高三三模文科数学试题【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得,又由，即，即,设点，可得，则，解得，由椭圆的几何性质可得，即，整理得，解得或，又由，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：C.13（2020·广东高考模拟（理）设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则周长的取值范围是 【答案】【解析】根据椭圆对称性得周长等于,(为右焦点),由得，即周长的取值范围是.14（2020北京市大兴区高三一模）已知点，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_【答案】【解析】设点P(x,y),（x1），所以，因为，当y0时，y=,所以，由于函数在1，+）上都是增函数，所以函数在1，+）上是增函数，所以当y0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)1.当y0时，y=,所以，由于函数在1，+）上都是增函数，所以函数在1，+）上是减函数，所以当y0时函数k(x)0.综上所述，的取值范围是.15设直线与双曲线的右支交于两点，是坐标原点，是等腰直角三角形，若这样的直线恰有两条，则双曲线离心率的取值范围是_.【来源】浙江省2021届高三下学期水球高考命题研究组方向性测试数学试题【答案】【解析】由题意，直线与双曲线的右支交于两点，是坐标原点，如图：其中是等腰直角三角形，且这样的直线有两条，由对称性知，直线l不能垂直于x轴，否则这样的直线是奇数条，l不垂直于x轴，即点O不能为直角顶点，则双曲线两条渐近线所成的含x轴的对顶角不大于，则只能是以点P或Q为直角顶点的两种情况，且点P，Q分别在x轴的上方和下方，不妨以Q为直角顶点，则有，而，所以双曲线的渐近线的倾斜角有，而，则，离心率.故答案为：16.（2020北京市顺义区高三期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点交抛物线的准线于点C，满足：若，则_；若，则的取值范围为_【答案】3 【解析】解：由题意，抛物线的准线为，所以另一种情况同理所以AF的斜率为，方程为，代入抛物线方程可得，所以可得，因为：，所以，设直线AB的方程为，代入到，可得，由，可得，解得故答案为：3，17（2020·河南高考模拟）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为 【答案】【解析】由题得直线AB的方程为即y=x-1,设A，联立所以，|AB|=所以AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4.所以该圆E的方程为.所以点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E上存在点P,Q，使得DPDQ，显然当DP,DQ与圆E相切时，PDQ最大，此时应满足PDQ，所以，整理得.解之得.18已知是抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，当取最小值时，_【来源】安徽省芜湖市2021届高三下学期5月教育教学质量监控理科数学试题【答案】【解析】由题意得，抛物线的准线方程方程为，点在准线上，如图所示，过向抛物线的准线作垂线，垂足为，根据抛物线的定义知，所以，即问题转化为当直线的倾斜角的正弦值最小时，求的值；设，当直线与抛物线相切时，倾斜角的正弦值最小.联立，判别式时，解得，此时，.故答案为：.19已知抛物线，斜率小于0的直线交抛物线于、两点，点是线段的中点，过点作与轴垂直的直线，交抛物线于点，若点满足，则直线的斜率的最大值为_【来源】江西省重点中学盟校2021届高三第二次联考数学（理）试题【答案】【解析】设：，代入得，由韦达定理知：，由知，.当且仅当“”即时，等号成立.故答案为：.20已知点F为双曲线的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若（点O为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率，则a的取值范围为_【来源】天一大联考2021届高三阶段性测试（六）理科数学试题【答案】【解析】由题意可知：点F到渐近线的距离等于，从而即，又，所以，则，又，所以，解得.故答案为：.解析几何中的定值与定点问题一方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。二解题策略类型一 定值问题【例1】（2020青浦区一模）过抛物线y22px（p0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）ABC2pD【答案】D【解析】抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为yk（x），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y（x），所以，整理得，所以：|CD|p+（p+2k2p），所以，则则+故选：D【点评】求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020华阴市模拟）已知F是抛物线y24x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x1）2+y21交于不同的两点B，C（如图），则|AB|CD|的值是（）A2B2C1D【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y24x的焦点为F（1，0），准线方程为x1，圆（x1）2+y21的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|x1+11x1，|CD|x2+11x2，即有|AB|CD|x1x2，设直线方程为xmy+1，代入抛物线方程y24x，可得y24my40，则y1y24，x1x21，故选：C2（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为k1，k2若k1k2为定值，则（）ABCD【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：yk（xa），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x22a3k2x+a4k2a2b20，令4a6k44（b2+a2k2）（a4k2a2b2）0，化为：（a2a2）k2b2，k1k2，取P（0，b），设切线方程为：ykx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x22kba2x+a2b2（1）0，令4k2b2a44（b2+a2k2）a2b2（1）0，化为：a2k2b2（1），k1k2，又k1k2为定值，解得故选：C3（2020公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k30）若直线OD、OE、OF的斜率之和为1（O为坐标原点），则【答案】2【解析】椭圆的离心率为，则，得又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，两式作差得，则，即，同理可得，2×（1）2类型二 定点问题【例2】（2020渝中区高三模拟）已知抛物线C：x24y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线ll，且l与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A（0，1）B（0，2）C（1，0）D（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），抛物线C：x24y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，|BF|AF|n1m2+1nm2+2直线l的斜率k直线ll，直线l的斜率为k，设点D（a，a2），yx2，yx，ka，a，a直线AD的斜率为，直线AD的方程为ym2（xm），整理可得yx+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关【举一反三】1（2020·全国高考模拟（理）已知抛物线，过点作该抛物线的切线，切点为，若直线恒过定点，则该定点为（ ）ABCD【答案】C【解析】设的坐标为，的方程为，由，可得，切线都过点，故可知过，两点的直线方程为，当时，直线恒过定点，故选2（2020·重庆高考模拟（理）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（ ）A B C D【答案】B【解析】设是圆的切线， 是圆与以为直径的两圆的公共弦，可得以为直径的圆的方程为， 又 ， -得，可得满足上式，即过定点，故选B.3（2020大理一模）已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为_【答案】【解析】 由，同理，,取，由对称性可知，直线MN经过轴上的定点.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy中，过椭圆上一定点A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，当为非零常数时，直线MN经过定点.三强化训练1（2020·黑龙江高三模拟）直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率，满足，则的横截距（ ）A为定值 B为定值 C为定值 D不是定值 【答案】A【解析】设直线的方程为，由题意得，则得；设A，B两点的坐标为，则得，；又因为，即，所以 ，则得，直线的方程为；当时，所以直线的横截距为定值.故选A.2（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文）如果直线（，）和函数（，）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数，恒过定点.将点代入，可得.由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以.又由解得或，所以点在以和为端点的线段上运动，当取点时，取点时，所以的取值范围是.3（2020·全国高三模拟）过轴上的点的直线与抛物线交于两点，若为定值，则实数的值为（ ）A. B. C D【答案】D【解析】设直线的方程为，代入，得，设，则.，同理，为定值，是与无关的常数，故选D4（2020越城区高三期末）已知A、B是抛物线y24x上异于原点O的两点，则“0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的（）A充分非必要条件B充要条件C必要非充分条件D非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A、B是抛物线y24x上异于原点O的两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），若“0”，则设直线AB方程为xmy+b，将直线AB方程代入抛物线方程y24x，可得y24my4b0，则y1+y24m，y1y24b，若0，则x1x2+y1y2（）+y1y2+y1y2b24b0，解可得：b4或b0，又由b0，则b4，则直线AB的方程为xmy+4，即myx4，则直线AB恒过定点（4，0），“0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB恒过定点（4，0），设直线AB的方程为xmy+4，将直线AB方程代入抛物线方程y24x，可得y24my160，则有y1y216，此时x1x2+y1y2（）+y1y2+y1y20，故“0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B5（2020·湖北高考模拟）设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（ ）A定值B定值C定值D不确定，随点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T，是F1PF2的角分线TF1是的垂线，是TF1的中垂线，|PF1|PT|，P为双曲线1上一点，|PF1|PF2|2a，|TF2|2a，在三角形F1F2T中，QO是中位线，|OQ|a 故选：A6（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点是圆上任意一点，若为定值，则的值可能为（ ）ABCD【答案】D【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，直线与圆相切时，当时，圆在直线上方，当时，圆在直线下方，若为定值，则，因此只有D满足故选：D.7（2020·湖北高考模拟（理）已知圆： ，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线， 为切点，则直线经过定点（ ）A B C D【答案】A【解析】设 则 即因此、在直线上，直线方程为，又，所以即，直线经过定点，选A.8（2020·全国高三期末（理）已知圆O：，直线l：y=kx+b(k0)，l和圆O交于E，F两点，以Ox为始边，逆时针旋转到OE，OF为终边的最小正角分别为