湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题含答案.pdf

湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考高一数学试卷（共 4 页）第 1 页湖湖北省湖北省重点高中智学联盟重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考年秋季高一年级期末联考 高高一数学一数学试试题题 一、一、单项选择题（本大题共有单项选择题（本大题共有 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的最符合题目要求的.注意：答在试卷上无效）注意：答在试卷上无效）1.已知集合 Ax|x1|2，集合 Bx|x2log2，则 AB（）Ax|1x3 Bx|0 x4Cx|1x4 Dx|0 x3 2.下列函数既是奇函数又在（1，3）上单调递增的是（）Ayx2x By2x Cysin x Dyx33x3.设 a1.010.99，b0.991.01，c01.1log99.0，则 a，b，c 的大小关系为（）Aabc Bbac Cacb Dcba 4.若 sin cos 137(0)，则 tan（）A512B512C125D1255.若不等式 ax2bxc0 的解集为1，3，则不等式bcxcax0 解集为（）A（，334，）B（，3（34，）C3，34 D3，34）6.“2A”是“tan2A1”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7.已知正数 a，b 满足 a2b3 恒成立，则11ab2的最小值为（）A23B49C2 D3 8.已知函数 f(x)3)1()2(22xaxa的值域为（0，），g(x)lg(x210 x5b)的值域为1，），则 ab（）A7 B8 C9 D10 二、二、多项选择题（本大题共有多项选择题（本大题共有 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得要求，全部选对得 5 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.注意：答在试卷上无效）注意：答在试卷上无效）9.已知函数 f(x)3sin(2x3)，则下列说法正确的是（）Af(x)在（12，12）上单调递增 Bf(x)图象的对称中心为（2k65，0）（kZ）C直线 x6是 f(x)图象的一条对称轴 Df(x)的最小正周期为 湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考高一数学试卷（共 4 页）第 2 页10.已知 f(x)是定义在 R 的奇函数，且 x0 时，f(x)x22x，则下列结论正确的是（）Ax0 时，f(x)x22xBf(x)有 3 个零点 Cf(x)增区间为（，1）（1，）Dxf(x)0 的解集为（2，0）（0，2）11.若关于 x 的方程 4xa 2x190 在区间0，4上有两个不等的实根，则 a 的可能取值为（）A3 B4 C5 D6 12.已知函数 f(x)144)66sin(440log2xxxx，若方程 f(x)m 有四个不等的实根 x1，x2，x3，x4，且 x1x2x3x4，则下列结论正确的是（）A0m2 Bx1x21 Cx3x416 Dx1x3取值范围为（0，5）三、三、填空题（本大题共有填空题（本大题共有 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的合题目要求的.注意：答在试卷上无效）注意：答在试卷上无效）13.已知扇形的圆心角为 4 rad，周长为 12，则扇形的面积为 14.若 tan 3，则222cos3cossin2sincos2 15.若x（1，1），x2ax2a0，则 a 的取值范围为 16.已知 3aln a3，ln(2b)3b3，则 a3b 四、四、解答题（本大题共有解答题（本大题共有 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤注意：注意：答在试卷上无效）答在试卷上无效）17.（本小题满分 10 分）计算：（1）632231)25.0(32)827(；（2）lg67lg421lg49lg153log25518.（本小题满分 12 分）已知对数函数 f(x)(a23a3)xalog，（1）求 f(21)的值；（2）解不等式 f(m1)f(2m1)湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考高一数学试卷（共 4 页）第 3 页 湖 19.（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)sin(322x)（1）求 f(x)的单调递增区间；（2）求 f(x)在区间3，4上的值域 20.（本小题满分 12 分）如图，某市计划在一块空地上划出一块矩形区域用于修建“双子星”地标建筑，其底面为两个相同的矩形，每个底面占地面积为 300 m2，在底面外周及两底面之间修建宽为 2 m 的过道，设地标建筑的底面一边长为 x m，地标建筑及过道的总建筑面积为 f(x)m2，由于地形限制，要求图中 x 不少于 25 m.过道过道过道双子星双子星xx（1）求 f(x)的解析式并指出 x 的取值范围；（2）为了节约土地，地标建筑及其周围过道的总建筑面积应尽可能小，地标建筑的底面的尺寸怎样设计时，总建筑面积 f(x)最小？最小总建筑面积是多少？4431)2cos(4)cos()sin()2cos()2sin(2)14(log2x5log2 湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考高一数学试卷（共 4 页）第 4 页 3234过道过道过道双子星双子星xx 21.（本小题满分 12 分）已知关于 x 的方程 25x2ax120 的两根为 sin 和 cos，其中（4，43），（1）求 a 的值；（2）求1)2cos(4)cos()sin()2cos()2sin(2的值 22.（本小题满分 12 分）已知 f(x)14(log2xkx 为偶函数（1）求 k 的值；（2）解不等式 f(2x1)5log21；（3）若关于 x 的方程f(x)2mf(x)40 有 4 个不相等的实根，求 m 的取值范围 湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考高一数学参考答案（共 6 页）第 1 页湖北湖北省重点高中智学联盟湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考年秋季高一年级期末联考 高高一数学参考答案一数学参考答案 选择题选择题 18 CDAB BABC 9AD 10BD 11BC 12ABC 填空题填空题 138 1447 15（，1 164 解答题解答题 17.（1）9；（2）10.18.（1）f(21)1；（2）不等式 f(m1)f(2m1)的解集为（21，1）.19.（1）（k125，k12）（kZ）；（2）23，1.20.（1）f(x)6xx2400624（x25）；（2）当地标建筑的底面长为 25 m，宽为 12 m 时，总建筑面积最小，最小总建筑面积为 870 m2.21.（1）a35；（2）10522.22.（1）k1；（2）不等式 f(2x1)5log21 的解集为（0，1）；（3）4m5.详细解答详细解答 1.解不等式|x1|2 得1x3，故集合 Ax|1x3，解不等式x2log2 得 0 x4，故集合 Bx|0 x4，从而 ABx|1x4，故选 C.2.易知，函数 yx2x 与 y2x不是奇函数，函数 ysin x 是奇函数但在（1，3）上不单调，函数 yx33x 是奇函数且在 R 上单调递增，从而在（1，3）上递增，故选 D.3.由指数函数与对数函数的单调性易知 a1.010.991.0101，b0.991.010.9901，c01.1log99.01log0.990，由指数函数的值域知 b0.991.010，从而 a1b0c，故选 A.4.由 sin cos 137得 cos 137sin，又 sin2cos21，于是(137sin)2sin21，解得 sin 1312或 sin 135，又由于 0，所以 sin 0，于是 sin 1312，cos 135，从而 tan 512，故选 B.5.由不等式 ax2bxc0 的解集为1，3知 a0，方程 ax2bxc0 的两根为 1 和 3，由根与系数的关系得ab4，ac3，于是不等式bcxcax0 即433xx0，即(x3)(3x4)0 且 3x40，解得 x3 或 x34，故选 B.6.2A 时，42A2，于是 tan2A1，而 tan2A1 时，k42Ak2（kZ），从而 2k211ab211ab242)1(ba41ba)1(212ab49ba)1(212ab31343)1()2(22xaxa12123262631212121232k6322k12522，0)(0 xfx，0)(0 xfxt9t9t9，00)16(0)1(1ffa北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考高一数学参考答案（共 6 页）第 2 页4721m1211251223x2400105225log2x2log01.1log99.01log0.9913713713713121351312135512abacbcxcax433xx34242A22A2A42A22A2k（kZ），故选 A.7.由 a2b3 得(a1)2b4，于是11ab2(11ab2)42)1(ba4114ba)1(212ab49，当且仅当ba)1(212ab即 a31，b34等号成立，故选 B.8.由函数 f(x)3)1()2(22xaxa的值域为（0，）得函数 y(a2)x2(a1)x3 的值域为 R，从而 a20，a2；由 g(x)lg(x210 x5b)的值域为1，）得函数 yx210 x5b 的值域为10，），将 yx210 x5b 配方得 y(x5)25b25，于是 5b2510，b7，所以 ab9，故选 C.9.x（12，12）时，2x3（2，6），由 y3sin t 在（2，6）上单调递增及 t2x3在（12，12）上递增，知 f(x)在（12，12）上单调递增，A 正确；令 2x3k（kZ），得 x2k6（kZ），B 错误；令 2x3k2（kZ），得 x2k125（kZ），C 错误；f(x)的最小正周期 T22，D 正确.故选 AD.10.由 f(x)是定义在 R 的奇函数知 f(0)0.x0 时，x0，故 x0 时，f(x)f(x)(x)22(x)x22x，A 错误；由 f(x)的图象易知 f(x)有 3 个零点，B 正确；由 f(x)的解析式知 f(x)在（，1）和（1，）上均单调递增，但单调区间不能用“”连接，C错误；xf(x)0，0)(0 xfx或，0)(0 xfx解得2x0 或 0 x2，D 正确.故选 BD.11.解法解法 1：令 t2x，则方程 4xa 2x190 变为 t22at90，于是 2att9，由 x0，4得 t2x1，16，由关于 x 的方程 4xa 2x190 在区间0，4上有两个不等的实根知关于 t 的方程 2att9在区间1，16上有两个不等的实根，即直线 y2a 与函数 ytt9（t1，16）的图象有两个不同的交点，结合图象知 2a（6，10，a（3，5，故选 BC.解法解法 2：令 t2x，则方程 4xa 2x190 变为 t22at90，由 x0，4得 t2x1，16，由关于x 的方程 4xa 2x190 在区间0，4上有两个不等的实根知关于 t 的方程 t22at90 在区间1，16上有两个不等的实根，记 f(t)t22at9，则，00)16(0)1(1ffa解得 3a5，故选 BC.12.画出的图象，如图所示，由方程 f(x)m 有四个不等的实根得 0m2，A 正确；湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考高一数学参考答案（共 6 页）第 3 页 湖北 1x24581114xym2x1x3x4 由图可知，x3x416，41x11，1x24，4x35，11x412，且 x1，x3同增同减，从而 x1x3（1，5），故 C 正确，D 错误；由|12log x|22logx|及21x11，1x24 得12log x22logx，于是 x1x21，B 正确.故选 ABC.13.扇形半径 r2C24122，于是扇形面积 S21r28.14.222cos3cossin2sincos222222cos3cossin2sincos)cos(sin23tan2tan3tan22247.15.解法解法 1：x（1，1）时，2x（1，3），所以 x2ax2a0a(2x)x2axx22，令 2xt(1t3)，则xx22tt2)2（4(tt4)，当 1t3 时，tt14，5），从而 4(tt4)（1，0，故 a1，即 a 的取值范围为（，1.解法解法 2：令 f(x)x2ax2a，则x（1，1），x2ax2a0，0)1(0)1(ff，01301aa，解得 a1，故 a 的取值范围为（，1.16.记 f(x)3xln x，则 f(x)在（0，）上单调递增，观察知 f(1)3，故 a1，由 ln(2b)3b3 得 ln(2b)63b3，即 f(2b)3，故 2b1，b1，所以 a3b4.632231)25.0(32)827(6522123224967213log255679log5567xalog，101332aaaax2log21x2logm1m121m1213232323212512125123433653233423x300 x2400 x240044325a251225a 北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考高一数学参考答案（共 6 页）第 4 页 1x24581114xym2x1x3x44112log x22logx2112log x22logx2C241221222cos3cossin2sincos222222cos3cossin2sincos)cos(sin23tan2tan3tan22247xx22xx22tt2)2（t4t1t4，0)1(0)1(ff，01301aa17.解：（1）632231)25.0(32)827(652212322499.（2）lg67lg421lg49lg153log255lg67lg4lg7lg159log55lg(674715)9lg10910.18.解：（1）函数 f(x)(a23a3)xalog是对数函数，101332aaaa解得 a2，f(x)x2log，f(21)1.（2）f(x)x2log在定义域（0，）上单调递增，f(m1)f(2m1)m12m10，解得21m1，不等式 f(m1)f(2m1)的解集为（21，1）.19.解：f(x)sin(322x)sin(322x)sin(2x3)，（1）令 2k22x32k2（kZ）得 k125xk12（kZ），f(x)的单调递增区间为（k125，k12）（kZ）.（2）x3，4时，2x33，65，sin(2x3)23，1，f(x)在区间3，4上的值域为23，1.20.解：（1）依题意，f(x)(x4)(2x3006)6xx2400624（x25），（2）x25 时，f(x)6xx2400624 单调递增，f(x)min f(25)870，当地标建筑的底面长为 25 m，宽为 12 m 时，总建筑面积最小，最小总建筑面积为 870 m2.21.解：（1）由（4，43）得 sin 0，方程 25x2ax120 的两根为 sin 和 cos，sin cos 25a，sin cos 25120，于是 cos 0，进而25a0，即 a0，湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考高一数学参考答案（共 6 页）第 5 页 湖北 由 sin2cos21，得(25a)225241，解得 a35.（2）原方程即 25x235x120，两根为 x153，x154，由（4，43）得 sin cos，于是 cos 53，sin 54，1)2cos(4)cos()sin()2cos()2sin(21sin4)cos()sin(sincos215162512545610522.22.（1）函数 f(x)14(log2xkx 的定义域为 R，f(x)14(log2xkx 为偶函数，f(x)f(x)恒成立，即)14(log2xkx)14(log2xkx 恒成立，而)14(log2xkx)141(log2xkxxx414log2kx)14(log2x2xkx，)14(log2x2xkx)14(log2xkx 即 2kx2x 恒成立，比较系数得 k1.（2）f(x)14(log2xx)14(log2xx2log2xx214log)212log(xx x0，）时，函数 t2x单调递增且 t1，），t1，）时，函数 utt1单调递增且 u2，），u2，）时，函数 yu2log单调递增且 y1，），x0，）时，f(x)单调递增，值域为1，），f(x)为偶函数，f(x)在（，0单调递减，f(x)的值域为1，）.f(2x1)5log21 f(2x1)f(1)12x1102x20 x1，不等式 f(2x1)5log21 的解集为（0，1）.（3）解法解法 1：令 tf(x)，则原方程可化为 t2mt40，由（2）知 tf(x)1 且方程 f(x)1 仅有一根，当 t1 时，方程 tf(x)有两个不相等的实根，关于 x 的方程f(x)2mf(x)40 有 4 个不相等的实根 关于 t 的方程 t2mt40 在（1，）上有 2 个不相等的实根，0120)1(mg，0162052mmmt4t4t4北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高一年级期末联考高一数学参考答案（共 6 页）第 6 页25a2524535444353541)2cos(4)cos()sin()2cos()2sin(21sin4)cos()sin(sincos215162512545610522)14(log2x)14(log2x)14(log2x)14(log2x)14(log2x)141(log2xxx414log2)14(log2x)14(log2x)14(log2x)14(log2x)14(log2xx2log2xx214log)212log(xxt1u2log5log25log2记 g(t)t2mt4，则，0120)1(mg即，0162052mmm解得 4m5.解法解法 2：令 tf(x)，则原方程可化为 t2mt40，由（2）知 tf(x)1 且方程 f(x)1 仅有一根，当 t1 时，方程 tf(x)有两个不相等的实根，由 t2mt40 得 mtt4，关于 x 的方程f(x)2mf(x)40 有 4 个不相等的实根关于 t 的方程 t2mt40 在（1，）上有 2 个不相等的实根，直线 ym 与函数 ytt4（t1）有两个交点，结合函数 ytt4（t1）的图像可知 4m5.