2022-2023学年天津市五校联考高二上学期期中考试数学试题(含答案).pdf
2022-2023 学年天津市五校联考高二上学期期中考试 一、选择题（每小题 4 分，共 36 分）1.在空间直角坐标系中，已知点),3,6,4(,5,2,2BA）（则线段 AB 的长度是 A.62 B.34 C.24 D.4 2.已知圆心为（1，-1），半径为 2 的圆的方程为 A.2)1()1(22yx B.2)1()1(22yx C.4)1()1(22yx D.4)1()1(22yx 3.在空间直角坐标系Oxyz中，点)3,2,1(A在坐标平面Oyz的射影坐标是 A.（0，-2,3）B.（1,0,3）C.（1，-2,0）D.（1,0,0）4.两条平行直线043:,1043:21yxlyxl之间的距离为 A.52 B.2 C.52 D.4 5.设Ra,直线,1:1 yaxl与直线112:2yaxl）（垂直，则a A.-2 B.1 C.-2 或 1 D.31 6.若过点)1,2(P,且与圆122 yx相切的直线方程为 A.052 yx B.1052yyx或 C.0534 yx D.10534yyx或 7.在棱长为 1 的正方体1111DCBAABCD 中，点 B 到直线 AC1距离是 A.33 B.31 C.36 D.32 8.点)1,2(P到直线)(,042)1()31(:Ryxl的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为 A.02;13 yx B.04311 yx；C.013213 yx；D.013211 yx；9.已知直线:1l xy与圆22:2210 xyxy 相交于,A C两点,点,B D分别在圆上运动,且位于直线l两侧,则四边形ABCD面积的最大值为（）A.30 B.302 C.51 D.512 二填空题（每小题 4 分，共 24 分）10.已知空间向量)2,1,1(),3,2,1(ba，则bba）（2=.11.已知点 P（1,2）到直线0134 yxl；的距离为 .12.设空间向量)1,1,0(),3,2,1(ba，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 。13.若圆422 yx与圆0124422yxyx的公共弦的长为_ 14.直三棱柱111CBAABC 中，90BCA，11,FD分别是1111CABA，的中点，1CCCABC,则11AFBD 与所成角的余弦值为 15.已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点(0,5)M在圆C 上，且圆心到直线20 xy的 距离为4 55，则圆 C 的方程为_.三解答题（本大题满分 60 分）16.（本小题满分 12 分）如图，棱长为 2 的正方体1111DCBAABCD 中，E,F,G 分别是11,BBBDDD，的中点，（1）求证：CFEF;（2）求点 G 到平面 EFC 的距离。17.（本小题满分 12 分）已知ABC的顶点2,4,4,6,5,1ABC.(1)求AB边上的中线所在直线的方程；(2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程.18.（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，90BAC点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，4PAAC，2AB （1）求证：MN平面BDE；（2）求平面 PAC 与平面 EMN 所成角的余弦值。19.（本小题满分 12 分）已知圆C过点2,6A，且与直线1:100lxy相切于点6,4B (1)求圆C的方程；(2)过点6,24P的直线2l与圆 C 交于 M,N 两点，若CMN为直角三角形，求直线2l的方程；20.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD-中，PA底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，ABAC，且3PAAB，2AC，E是棱PD的中点.（1）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（2）在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得平面 MAC 与平面 ACE 所成角的余弦值为1010？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.2022-2023 学年天津市五校联考高二上学期期中考试 参考答案：一ACABD DCCA 二10.5；11.51；12.），（21210;13.22;14.1030；15.22(2)9.xy 三 16.解析：建立以D为原点，分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴，.则E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),G(2,2,1)(1)00)1()1(111),0,1,1(),1,1,1(CFEFCFEF,CFEFCFEF,(2)1,2,0(CE.设平面 CEF 的法向量为)(zy,x,n，则有,CFCEnn(1,1,2),1,002,00nnnyyxzyCFCE令即，)1,0,2(CG,所以点 G 到平面 CEF 的距离为：332|211211012|222|n|nCGd 17.（1）线段AB的中点为)1,1(D，则中线CD所在直线方程为：151)1(1)1(xy，即230 xy.（2）设两坐标轴上的截距为 a,b，若 a=b=0 则直线经过原点，斜率40220k ，直线方程为2yx，即20 xy；若0ab，则设直线方程为1xyaa，即0 xya，把点(2,4)A 代入得240a，即2a，直线方程为20 xy；综上，所求直线方程为20 xy或20 xy 18.如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得(0,0,0)A，(2,0,0)B，(0,4,0)C，(0,0,4)，(0,0,2)D，(0,2,2)E，(0,0,1)M，(1,2,0)N（1）证明：DE=(0,2,0)，DB=(2,0,2).设(,)x y zn，为平面BDE的法向量，则00DEDBnn，即20220yxz.不妨设1z，可得(1,0,1)n.又MN=（1，2，1），可得0MN n.因为MN 平面 BDE，所以 MN/平面 BDE.（2）易知1(1,0,0)n为平面 CEM 的一个法向量.设2(,)x y zn为平面 EMN 的法向量，则2200EMMNnn，因为(0,2,1)EM，(1,2,1)MN，所以2020yzxyz 不妨设1y，可得2(4,1,2)n.设平面 PAC 与平面 EMN 所成角为，21214|,|,cos|cos212121nn|nnnn 所以，平面 PAC 与平面 EMN 所成角的余弦值为21214.19.（1）设圆心坐标为,a b，则22224162664baabab，解得：11ab，圆的半径22645 2rab，圆 C 的方程为：221150 xy.（2）CMN为直角三角形，CMCN，CMCN，则圆心 C 到直线2l的距离252dr；当直线2l斜率不存在，即2:6lx 时，满足圆心 C 到直线2l的距离5d；当直线2l斜率存在时，可设2:246lyk x，即6240kxyk，21 62451kkdk，解得：125k，21248:055lxy，即125480 xy；综上所述：直线2l的方程为6x 或125480 xy.20.（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为.，即1 不妨取，得 又.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为（3）假设在线段上(不含端点)存在一点，使得平面 MAC 与平面 ACE 所成角的余弦值为.连接.设，得.设平面的法向量为.，即 不妨取，得 设平面 MAC 与平面 ACE 所成角为，AAC，ABAP，xyz(0 0 0)A，(0 3 0)B，(2 0 0)C，(23 0)D，(0 0 3)P，33(1)2 2E，AEC()x y zn，33(1)(2 0 0)22AEAC，00n AEn AC，3302220.xyzx，1y(0 1 1)n，(2 03)PC，PCAEC3 26sincos26PCPCPCnnn，PCAEC3 2626PBM1010AMMC，(01)PMPB(0 333)M，MAC()x y zm，(0 333)(2 0 0)AM AC，00m AMm AC，3(33)020.yzx，1z 1(0 11)m，则.化简得，解得，或.二面角的余弦值为，.在线段上存在一点，且，使得二面角的余弦值为.21210coscos1012(1)1m nmnmn，299201323MACE101013PBM13PMPBMACE1010
