2022-2023学年上海高二数学上学期同步知识点讲练第03讲异面直线所成的角含详解.pdf

第 03 讲异面直线所成的角（核心考点讲与练）求异面直线所成的角的三步曲 异面直线所成角的概念及辨析 一、单选题 1（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）已知异面直线 a、b 所成角为80，P为空间一定点，则过P 点且与 a、b 所成角都是50的直线有且仅有（）条 A2 B3 C4 D6 2（2021上海市延安中学高二期中）已知正方体1111ABCDABC D，P为1CC中点，对于下列两个命题：（1）过点 P有且只有一条直线与直线 AB，11AD都相交；（2）过点 P有且只有一条直线与直线 AB，11AD都成 45角则以下判断正确的是（）A（1）为真命题；（2）为真命题 B（1）为真命题；（2）为假命题 C（1）为假命题；（2）为真命题 D（1）为假命题；（2）为假命题 二、填空题 3（2021上海位育中学高二阶段练习）空间中三条直线abc、两两垂直，若直线d与直线abc、所成角都为，则cos_4（2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知直线a如果直线b同时满足条件：a与b异面；a与b成定角；a与b的距离为定值那么这样的直线b有_条 考点考向 方法技巧 5（2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）若两异面直线a、b所成的角为60，过空间内一点P作与直线a、b所成角均是60的直线l，则所作直线l的条数为_ 证明异面直线垂直 一、单选题 1（2017上海交大附中高二期中）如图，点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异于点 C，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成SAE，使得平面 SAE平面 ABCE，则下列说法中正确的有（）存在点 E 使得直线 SA平面SBC；平面 SBC 内存在直线与 SA 平行 平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行；存在点 E 使得 SEBA A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题 2（2022上海长宁高二期末）如图是一个边长为 2 的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是_.直线AF与直线CN垂直；直线BM与直线CN相交；直线ME与直线CN平行；直线AB与直线CN异面；求异面直线所成的角 1（2022上海复旦附中高二期中）如图所示，在三棱锥DABC中，2ACBD，E、F分别为AD与BC的中点，2EF，则异面直线AC与BD所成角的大小是_ 2（2021上海市徐汇中学高二期中）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，,M N分别是,AB PC的中点，若2,2 3MNBCPA，则异面直线PA与MN所成角的大小为_.3（2021上海市进才中学高二阶段练习）在正方体上，a，b是两条异面直线的面对角线，则它们所成的角大小可能为_ 4（2021上海市南洋模范中学高二阶段练习）正方体1111ABCDABC D的面对角线中，与1AD所成角为60的有_条.5（2021上海华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）在正方体1111ABCDABC D中，与1AD成60角的面对角线的条数是_ 6（2021上海师范大学第二附属中学高二期末）空间内有三条直线，其中任意两条都不相交但相互垂直，若直线l与这三条直线所成的角的大小都是，则tan_ 7（2021上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C为底面弧AB的中点，D为母线PB的中点，则异面直线PA和CD所成角的大小为_ 三、解答题 8（2021上海浦东新高二期中）在三棱锥PABC中，M，N分别是PA，BC的中点，已知2ACPB，3MN，求异面直线AC，PB所成角的大小.由异面直线所成的角求其他量 一、填空题 1（2021上海市控江中学高二期中）异面直线 a、b所成角为3，直线 c与 a、b垂直且分别交于 A、B，点C、D分别在直线 a、b上，若1AC，2AB，3BD，则CD _ 2（2021上海市洋泾中学高二期中）已知异面直线,a b所成角为3，过空间一点P有且仅有2条直线与,a b所成角都是，则的取值范围是_.3（2021上海市建平中学高二阶段练习）在空间四边形ABCD中，8ABCD，MN分别是对角线ACBD的中点，若异面直线ABCD所成角的大小为30，则MN的长为_.4（2021上海市行知中学高二阶段练习）已知四面体ABCD中，4ABCD，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为3，则EF _.5（2019上海市嘉定区第二中学高二期中）空间四边形 ABCD，AB=CD=8，MNP分别为 BDACBC的中点，若异面直线 AB 和 CD所成的角为 60，则线段 MN 的长为_.6（2021上海华师大二附中高二开学考试）如图，空间四边形 ABCD的对角线 AC=BD=8，M、N分别为AB、CD的中点，且ACBD，则 MN等于_ 7（2021上海市徐汇中学高二期中）空间四边形两对角线的长分别为 6 和 8所成的角为 60，连接各边中点所得四边形的面积是_.8（2021上海市宝山中学高二阶段练习）若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对.二、解答题 9（2021上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为正方形，边长为 3，PD平面 ABCD.(1)若 PC=5，求四棱锥 P-ABCD 的体积；(2)若直线 AD与 BP的夹角为 60，求 PD 的长.10（2020上海交大附中高二期中）如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点.（1）求证：BC与SA不可能垂直；（2）设圆锥的高为 4，异面直线AD与BC所成角的余弦值为26，求圆锥的体积.一、单选题 1（2021上海市延安中学高二期中）如图，已知正方体1111ABCDABC D中，F为线段1BC的中点，E为线段11AC上的动点，则下列四个结论正确的是（）A存在点E，使EFBD B存在点E，使EF 平面11ABC D CEF与1AD所成的角不可能等于 60 巩固提升 D三棱锥1BACE的体积随动点E变化而变化 2（2021高二阶段练习）如图，在正方体1111ABCDABC D中，过点 A 作平面1ABD的垂线，垂足为点 H，给出以下命题：H 是1ABD的垂心；AH垂直于平面11CB D；AH的延长线过点1C；直线AH和1BB所成角的大小为45，其中正确的命题个数为（）A1 B2 C3 D4 3（2021上海市松江二中高二期中）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点，设P是CE上的一点，且APBE，则AG与BP所成角的大小为（）A45 B15 C30 D0 4（2021上海市市西中学高二期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与 ED平行；CN与 BE是异面直线；CN与 BM 成 60；DM 与 BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）A B C D 二、填空题 5（2021上海交大附中闵行分校高二阶段练习）如图甲，将三棱锥 PABC沿三条侧棱剪开后，展开成如图乙所示的形状，其中点 P1，A，P3共线，点 P1，B，P2共线，点 P2，C，P3共线，且 P1P2=P2P3，则在如图甲所示的三棱锥 PABC中，PA 与 BC所成角的大小为_.6（2021上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图已知 A 是BCD所在平面外一点，ADBC，EF 分别是ABCD、的中点，若异面直线AD与BC所成角的大小为3，则AD与EF所成角的大小为_.7（2021上海交大附中高二期中）在长方体1111ABCDABC D中，11AAAD，2AB，则直线AC与1A D所成的角的余弦值等于_ 8（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）在四面体ABCD中，8AB，6CD，M、N分别是BC、AD的中点，且5MN，则AB与CD所成角的大小是_.三、解答题 9（2022上海复旦附中高二期中）在长方体1111ABCDABC D中，AB1，AD2，14AA，E、F分别为线段 BC、1CC上的点，且 CE1，CF1(1)求证：EF 平面11ADD A；(2)求异面直线 EF与1A D所成角的余弦值 10（2021上海市洋泾中学高二阶段练习）已知边长为 1 的正方形ABCD绕BC边旋转一周得到圆柱体(1)求该圆柱体的表面积；(2)正方形ABCD绕BC边逆时针旋转2至11ABCD，求证：1ADAC 11（2021上海市南洋模范中学高二期中）在长方体1111ABCDABC D中，2ABBC，过1A1CB三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCDAC D，且这个几何体的体积为 10.(1)求棱1AA的长；(2)若11AC的中点为1O，求异面直线1BO与11AD所成角的余弦值.12（2021上海大学附属南翔高级中学高二期中）如图，在正方体1111ABCDABC D中，EF，分别为11AD和1CC的中点.（1）画出由 A，E，F 确定的平面截正方体所得的截面，（保留作图痕迹，使用铅笔作图）；（2）求异面直线EF和AC所成角的大小.13（2021上海浦东新高二期中）在长方体1111ABCDABC D中（如图），2AB，11ADAA，点E是棱AB的中点.(1)求异面直线1AD与EC所成角的大小；(2)九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体1DCDE是否为鳖臑？并说明理由.14（2021上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱柱111ABCABC中，1ABCB是底面边长为 2 的正三棱锥（1）求证：1ACCC；（2）若异面直线1AB与1CC所成的角为3，求三棱锥1BACC的体积 15（2021上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图所示，在长方体1111ABCDABC D中，1AB，2BC，15CC，M为棱1CC上一点（1）若132C M，求异面直线1AM和11C D所成角的正切值；（2）若11C M 试证明：BM 平面11A B M 16（2021上海市进才中学高二期中）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11ACC A 底面ABC，BCAC（1）求证：11/BC平面1ABC；（2）求证：平面1ABC 平面11ACC A（3）若12ABBC，求异面直线1A B与11BC所成角的大小 第 03 讲异面直线所成的角（核心考点讲与练）求异面直线所成的角的三步曲 异面直线所成角的概念及辨析 一、单选题 1（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）已知异面直线 a、b 所成角为80，P为空间一定点，则过P 点且与 a、b 所成角都是50的直线有且仅有（）条 A2 B3 C4 D6【答案】B【分析】在空间取一点P，经过点 P 分别作,/aa bb，分析直线PM满足它的射影PQ在,a b所成角的平分线上时的情况可得出答案.【详解】在空间取一点P，经过点 P 分别作,/aa bb，设直线,a b确定平面，当直线PM满足它的射影PQ在,a b所成角的平分线上时，PM与a所成的角等于PM与b所成的角，因为直线 a、b 所成角为80，得,a b所成锐角为80，所以当直线PM的射影PQ在,a b所成锐角的平分线上时，PM与,a b所成角的范围是40,90，这种情况下，过 P 点有 2 条直线与 a、b 所成角都是50；当直线PM的射影PQ在,a b所成钝角的平分线上时，PM与,a b所成角的范围是50,90，这种情况下，过 P 点有且仅有 1 条直线（即PM时）与 a、b所成角都是50；综上所述，过 P点且与 a、b所成角都是50的直线有 3 条.考点考向 方法技巧 故选：B.2（2021上海市延安中学高二期中）已知正方体1111ABCDABC D，P为1CC中点，对于下列两个命题：（1）过点 P有且只有一条直线与直线 AB，11AD都相交；（2）过点 P有且只有一条直线与直线 AB，11AD都成 45角则以下判断正确的是（）A（1）为真命题；（2）为真命题 B（1）为真命题；（2）为假命题 C（1）为假命题；（2）为真命题 D（1）为假命题；（2）为假命题【答案】B【分析】作出过P与两直线相交的直线EF判断；通过平移直线AB，11AD，结合异面直线所成角的概念判断【详解】解：直线AB与11AD 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取1BB的中点Q，则11/PQAD，且11PQAD，设1AQ与AB交于E，则点1A、1D、Q、E、P共面，直线EP必与11AD 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与AB、11AD都相交，故为真命题；分别平移AB，11AD，使AB与11AD均经过P，则有两条互相垂直的直线,PM PN与AB，11AD，都成45角，故为假命题 为真命题，为假命题 故选：B 二、填空题 3（2021上海位育中学高二阶段练习）空间中三条直线abc、两两垂直，若直线d与直线abc、所成角都为，则cos_【答案】33【分析】因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体1111ABCDABC D中同一顶点D的三条棱DA，DC，1DD，由此能够求出cos【详解】因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体1111ABCDABC D中同一顶点D的三条棱DA，DC，1DD，如图：直线d与这三条直线所成的角都为，1111ADBB DDCDB ，从而13cos3ADDB故答案为：33 4（2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知直线a如果直线b同时满足条件：a与b异面；a与b成定角；a与b的距离为定值那么这样的直线b有_条【答案】无数【分析】作出两个平行平面，两条异面直线分别在两个平面上判断.【详解】如图所示：/,ab，,a b异面，则平面内任意一条与b平行的直线都满足要求，故答案为：无数 5（2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）若两异面直线a、b所成的角为60，过空间内一点P作与直线a、b所成角均是60的直线l，则所作直线l的条数为_【答案】3【分析】利用异面直线所成的角的概念，平移两直线a、b，可知当l为120的角平分线符合题意，把60的角平分线旋转可得符合题意的两条直线，即可求解.【详解】如图，将直线a平移与直线b相交于点P，因为直线a、b所成的角为60，则其补角为120，当直线l过点P且为其补角120的角平分线时，直线l与a、b所成角均是60，设60的角平分线为c，把c绕点P旋转，且在旋转的过程中保持与a、b所成角均是，上下旋转各能得到一个位置，使得与a、b所成角均是60，所以共有3条直线符合题意，故答案为：3.证明异面直线垂直 一、单选题 1（2017上海交大附中高二期中）如图，点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异于点 C，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成SAE，使得平面 SAE平面 ABCE，则下列说法中正确的有（）存在点 E 使得直线 SA平面SBC；平面 SBC 内存在直线与 SA 平行 平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行；存在点 E 使得 SEBA A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】A【分析】本题考查空间中的折叠问题，涉及线面垂直，面面垂直，线面平行，线线平行垂直的判定与性质，属综合性题目，难度中上.【详解】对于命题,若直线 SA平面 SBC,则 SABC,又平面 SAE 平面 ABCE,故在平面 ABCE 中作 BHAE 与 H,则 BH平面 SAE,BHSA,又BHBC=H,BH、BC平面 ABCE,SA平面 ABCE,SAAE,即SAE 是直角,但是SAE 即折叠之前的DAE,在折叠前后保持不变,始终是锐角,所以命题不正确；若 SEBC,同样由于 BH平面 SAE,可得 BHSE,进而同上得到 SE平面 ABCE,得到SEA 为直角，SEA 即为折叠之前的DEA,在折叠过程中保持不变，始终是锐角，命题错误；对于命题,因为平面SBC直线SAS,故平面SBC内的直线与SA相交或异面,所以命题不正确；对于命题,在平面 ABCE 中作 CFAE,交 AB 于 F,如图所示：由线面平行的判定定理可得 CF平面 SAE,所以命题正确,综上,正确的命题个数为 1 个,故选A.考点：1、线面垂直的判定定理；2、线面平行的判定；考点：平面与平面垂直的性质 二、填空题 2（2022上海长宁高二期末）如图是一个边长为 2 的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是_.直线AF与直线CN垂直；直线BM与直线CN相交；直线ME与直线CN平行；直线AB与直线CN异面；【答案】【分析】画出正方体，CNBE，AFBE，故AFCN，正确，根据相交推出矛盾得到 错误，根据CNBE，BE与ME相交得到 错误，排除共面的情况得到 正确，得到答案.【详解】如图所示的正方体中，CNBE，AFBE，故AFCN，正确；若直线BM与直线CN相交，则,B M C N四点共面，即B在平面CMN内，不成立，错误；CNBE，BE与ME相交，故直线ME与直线CN不平行，错误；ABMN，MN与CN不平行，故AB与CN不平行，若AB与CN相交，则,A B C N四点共面，N在平面ABC内，不成立，故直线AB与直线CN异面，正确；故答案为：.求异面直线所成的角 1（2022上海复旦附中高二期中）如图所示，在三棱锥DABC中，2ACBD，E、F分别为AD与BC的中点，2EF，则异面直线AC与BD所成角的大小是_【答案】2【分析】取AB的中点M，分别连接,ME MF，把异面直线AC与BD所成的角即为直线ME与MF所成的角，在MEF中，根据222MEMFEF，即可求解.【详解】如图所示，取AB的中点M，分别连接,ME MF，因为E、F分别为AD与BC的中点，可得/,/MEBD MFAC，且111,122MEBDMFAC，所以异面直线AC与BD所成的角即为直线ME与MF所成的角，在MEF中，因为1,1,2MEMFEF，所以222MEMFEF，所以MEMF，即直线ME与MF所成的角为2，所以异面直线AC与BD所成的角2.故答案为：2.2（2021上海市徐汇中学高二期中）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，,M N分别是,AB PC的中点，若2,2 3MNBCPA，则异面直线PA与MN所成角的大小为_.【答案】6【分析】连接 AC，取 AC的中点 G，连接 MG，NG，根据,M N分别是,AB PC的中点，得到/,/MGBC NGPA，则MNG是异面直线PA与MN所成的角，然后利用余弦定理求解.【详解】如图所示：连接 AC，取 AC 的中点 G，连接 MG，NG，又因为,M N分别是,AB PC的中点，所以/,/MGBC NGPA，所以MNG是异面直线PA与MN所成的角，因为2,2 3MNBCPA，所以1,3MGNG，则 222222313cos222 23MNNGMGMNGMN NG，因为(0,2MNG，所以6MNG，故答案为：6 3（2021上海市进才中学高二阶段练习）在正方体上，a，b 是两条异面直线的面对角线，则它们所成的角大小可能为_【答案】90或60【分析】通过求异面直线1AD与1BC和异面直线1AD与11AC所成角即可.【详解】解：正方体的面对角线成异面直线的，分平行的面和相交的面两类 如图找两对代表进行计算：1.异面直线1AD与1BC，其所成的角即为直线1AD与1A D所成的角，90；2.异面直线1AD与11AC，其所成的角即为直线1AD与AC所成的角，60.故答案为：90或60.4（2021上海市南洋模范中学高二阶段练习）正方体1111ABCDABC D的面对角线中，与1AD所成角为60的有_条.【答案】8【分析】根据1ADC，11AD B，11ABC，1DBC是等边三角形判断.【详解】如图所示：因为1ADC，11AD B是等边三角形，所以1111,AC DC D B AB与1AD所成角为60，又11ABC，1DBC是等边三角形，所以1111,AC A B DC DB与1BC所成角为60，因为11/ADBC，所以1111,AC A B DC DB与1AD所成角为60，所以与1AD所成角为60的面对交线有 8 条，故答案为：8 5（2021上海华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）在正方体1111ABCDABC D中，与1AD成60角的面对角线的条数是_【答案】4【分析】分别连接1111,AB D B BD C D，结合正方体的结构特征和异面直线所成角的定义，即可求解.【详解】如图所示，连接111,AB D B，可得11AB D为等边三角形，所以11160DABAD B，所以111,AB D B与1AD所成的角为60，连接1,BDCD，可得1111/,/BDB D C DAB，则1,BDCD与1AD所成的角为60，综上可得，与1AD成60角的面对角线的条数为4条.故答案为：4.6（2021上海师范大学第二附属中学高二期末）空间内有三条直线，其中任意两条都不相交但相互垂直，若直线l与这三条直线所成的角的大小都是，则tan_【答案】2【分析】在空间任取一点O，分别作三条直线的平行线OA，OB，OC，构造一个正方体，则直线l即直线OD与OA、OB、OC所成的角相等均为，由此即可求出tan【详解】解：在空间任取一点O，分别作三条直线的平行线OA，OB，OC，构造一个正方体如右图所示，则直线l即直线OD与OA、OB、OC所成的角相等均为，即COD，设正方体的棱长为 1，则2CD，则tantan2CDCODOC 故答案为：2.7（2021上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C为底面弧AB的中点，D为母线PB的中点，则异面直线PA和CD所成角的大小为_【答案】4【分析】如下图所示，连接 OP，OC，过点 D 作DH 底面于 H，连接 CH，根据中位线定理得/OD PA，所以ODC（或其补角）就是异面直线PA和CD所成的角，设2PAPBAB，解三角形可求得答案.【详解】如下图所示，连接 OP，OC，过点 D 作DH 底面于 H，连接 CH，因为D为母线PB的中点，所以/OD PA，所以ODC（或其补角）就是异面直线PA和CD所成的角，设2PAPBAB，则313,22PODHOH，所以2252CHOCOH，所以222235222DCDHCH，又1ODOC，所以满足222ODOCDC，所以4ODC，所以异面直线PA和CD所成角为4，故答案为：4.三、解答题 8（2021上海浦东新高二期中）在三棱锥PABC中，M，N分别是PA，BC的中点，已知2ACPB，3MN，求异面直线AC，PB所成角的大小.【答案】60【分析】取AB中点Q，连接QM，QN，可得/QMBP，/QNAC，从而可得MQN就是异面直线AC，PB所成的角或其补角，从而可的答案.【详解】解：取AB中点Q，连接QM，QN，Q是AB中点，N是BC中点，/QNAC，112QNAC，同理，/QMBP，112QMPB，所以 在MQN中，1QMQN，3MN，22211(3)1cos1202 1 12MQNMQN ，异面直线AC，PB所成的角的大小为60.由异面直线所成的角求其他量 一、填空题 1（2021上海市控江中学高二期中）异面直线 a、b所成角为3，直线 c与 a、b垂直且分别交于 A、B，点C、D分别在直线 a、b上，若1AC，2AB，3BD，则CD _【答案】11或17【分析】过 B作 BE/AC 且过 D 作 DEBE于 E，连接 BE、CE，要注意 E、C在 AB的同侧或异侧两种情况，结合已知有3DBE，再过 C作 CFBE于 F，求出 DE、EC的长度，在 RtDEC 中应用勾股定理求CD.【详解】由题意，过 B 作 BE/AC且过 D作 DEBE于 E，连接 BE、CE，如下示意图，由题设知：面 ABEC 为直角梯形且3DBE，过 C 作 CFBE于 F，则 CF=AB=2，3BD，可得 DE=3 32，BE=32，如图 1，易得 EF=12，则 EC=172，在 RtDEC 中，CD=2211DEEC.如图 2，易得 EF=52，则 EC=412，在 RtDEC 中，CD=2217DEEC.故答案为：11或17 2（2021上海市洋泾中学高二期中）已知异面直线,a b所成角为3，过空间一点P有且仅有2条直线与,a b所成角都是，则的取值范围是_.【答案】,6 3 【分析】将直线,a b平移交于点P，并作a Pb及其外角的角平分线；根据过空间一点P有且仅有2条直线与,a b所成角都是，可知1l方向上有两条，2l方向上不存在，由此可得范围.【详解】将直线,a b平移交于点P，设平移后的直线为,a b，过点P作a Pb及其外角的角平分线12,l l，则3a Pb；在1l方向，要使过空间一点P的直线，且与,a b所成角都是的直线有两条，则6；在2l方向，要使过空间一点P的直线，且与,a b所成角都是的直线不存在，则3；综上所述：,6 3.故答案为：,6 3.3（2021上海市建平中学高二阶段练习）在空间四边形ABCD中，8ABCD，MN分别是对角线ACBD的中点，若异面直线ABCD所成角的大小为30，则MN的长为_.【答案】32 16 3【分析】取BC的中点P，连接,NP MP，利用三角形中位线定理可得NPCD,MPAB，由异面直线所成角的定义，异面直线AB，CD所成的角即为MPN或其补角，在MPN中，利用余弦定理求解即可【详解】解：取BC的中点P，连接,NP MP，因为8ABCD，MN分别是对角线ACBD的中点，所以NPCD,MPAB，114,422NPCDMPAB,所以，异面直线AB，CD所成的角即为MPN或其补角，因为异面直线ABCD所成角的大小为30，所以30MPN或150，当30MPN时，在MPN中，由余弦定理可得 222cos30MNNPMPNP MP223442 4 42 32 16 3当150MPN时，在MPN中，由余弦定理可得 222cos150MNNPMPNP MP223442 4 42 3216 3综上，MN的长为32 16 3，故答案为：32 16 3 4（2021上海市行知中学高二阶段练习）已知四面体ABCD中，4ABCD，E、F 分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为3，则EF _.【答案】2或2 3【分析】取AC中点M，先通过平行关系分析异面直线AB与CD所成的角为EMF或其补角，然后通过分类讨论结合角度以及长度、余弦定理求解出EF的长度.【详解】取AC中点M，连接,ME MF，因为,E F分别为,BC AD的中点，所以1/,22MEAB MEAB，1/,22MFCD MFCD，所以异面直线AB与CD所成的角即为EMF或其补角，当异面直线AB与CD所成的角为EMF时，3EMF，且2MEMF，所以MEF为等边三角形，所以2EF；当异面直线AB与CD所成的角为EMF的补角时，23EMF，且2MEMF，所以2222cosEFMEMFMF MEEMF，所以222222 2 2 cos2 33EF ，综上可知，EF长为2或2 3，故答案为：2或2 3.5（2019上海市嘉定区第二中学高二期中）空间四边形 ABCD，AB=CD=8，MNP分别为 BDACBC的中点，若异面直线 AB 和 CD所成的角为 60，则线段 MN的长为_.【答案】4 或4 3【分析】先根据异面直线AB和CD成60的角，则60MPN或120，然后利用余弦定理求出MN的长即可【详解】解：8ABCD，M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，连接MN，MP，NP 4NPMP，/NP AB，/MP CD，所以MPN为异面直线AB和CD所成的角或补角，因为异面直线AB和CD成60的角，60MPN或120 当60MPN时，4MN 当120MPN时，222cos4 3MNPNPMPN PMMPN 故答案为：4 或4 3 6（2021上海华师大二附中高二开学考试）如图，空间四边形 ABCD的对角线 AC=BD=8，M、N分别为AB、CD的中点，且ACBD，则 MN等于_【答案】4 2【分析】取 BC中点 P，连接 MP，NP，由中位线的性质及ACBD，利用直角三角形求解.【详解】取 BC中点 P，连接 MP，NP，又因为 AC=8，BD=8，M，N 分别为 AB，CD的中点，所以/PMAC，142PMAC，/PN BD，142PNBD.又因为异面直线 AC与 BD所成的角为 90，所以90MPN，所以222224432MNPMPN，所以4 2MN.故答案为：4 2 7（2021上海市徐汇中学高二期中）空间四边形两对角线的长分别为 6 和 8所成的角为 60，连接各边中点所得四边形的面积是_.【答案】6 3【分析】空间四边形ABCD中，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，则连接各边中点所得四边形的面积是2FEHEFGHSS四边形，由此能求出结果【详解】如图，空间四边形ABCD中，两对角线的长AC、BD的长分别为 6 和 8，所成的角为60，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，则EFGHAC/，且132EFGHAC，/EHGFBD，且142EHGFBD，60HEF或120HEF，连接各边中点所得四边形的面积是：1223 4 sin6 32FEHEFGHSSHEF 四边形 故答案为：6 3 8（2021上海市宝山中学高二阶段练习）若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对.【答案】24【分析】由异面直线的定义和正方体的对称性，以AC为例，与之构成黄金异面直线的直线有 4 条，从而计算得到答案.【详解】正方体如图所示，若要出现所成角为60的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有A B，BC，A D，BC这 4 条，而正方体的面对角线有 12 条，所以所求的黄金异面直线对共有124242对（每一对被计算两次，所以要除以 2），故答案为：24.【点睛】本题主要考查异面直线及其所成的角，考查学生分析转化问题的能力，属于基础题.二、解答题 9（2021上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为正方形，边长为 3，PD平面 ABCD.(1)若 PC=5，求四棱锥 P-ABCD 的体积；(2)若直线 AD与 BP的夹角为 60，求 PD 的长.【答案】(1)12(2)3 2【分析】(1)由锥体体积求四棱锥 P-ABCD 的体积；(2)由直线 AD与 BP 的夹角为 60可得60PBC,由此可求PB，再解三角形求 PD的长.(1)PD平面 ABCD，CD 平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为PD，PDCD，5PC，3CD,4PD，底面 ABCD为正方形，边长为 3，底面 ABCD的面积为 9，四棱锥 P-ABCD的体积19 4123V ，(2)ADBC，直线 AD与 BP的夹角的平面角为PBC，直线 AD与 BP的夹角为 60，60PBC，设PDx，则29PCx，218PBx，在PBC中，29PCx，218PBx，3BC，由余弦定理可得222cos2BPBCPCPBCBP BC 21812618x，3 2x.10（2020上海交大附中高二期中）如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点.（1）求证：BC与SA不可能垂直；（2）设圆锥的高为 4，异面直线AD与BC所成角的余弦值为26，求圆锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）163【解析】（1）假设BCSA，得到ABBC，不成立，得到证明.（2）如图所示：延长CO与圆交于点E，连接AE，D在底面的投影为OC中点F，易知/BC EA，故DAE为异面直线AD与BC所成角，根据余弦定理解得2r，计算得到体积.【详解】（1）假设BCSA，易知SO 平面ABC，BC 平面ABC，故SOBC，故BC 平面SOA，AB平面SOA，故ABBC，不成立，故假设不成立.BC与SA不可能垂直.（2）如图所示：延长CO与圆交于点E，连接AE，D在底面的投影为OC中点F，易知/BC EA，故DAE为异面直线AD与BC所成角，设底面半径为r，在ADE中：2AEr，2944DEr，2222544DAOFOAFOr.根据余弦定理：2222cosDEDAAEDA AEDAE，计算得到2r.故体积211633Vrh.【点睛】本题考查了线线位置关系，异面直线夹角，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.一、单选题 1（2021上海市延安中学高二期中）如图，已知正方体1111ABCDABC D中，F为线段1BC的中点，E为线段11AC上的动点，则下列四个结论正确的是（）A存在点E，使EFBD B存在点E，使EF 平面11ABC D CEF与1AD所成的角不可能等于 60 D三棱锥1BACE的体积随动点E变化而变化【答案】B【分析】根据题意，结合线面平行的判定、线面垂直的判定、异面直线夹角的求法以及锥体的体积公式，一一判断即可.巩固提升【详解】根据题意，如图所示，连接1A B.对于选项 A，EF 平面11A BC，BD 平面11A BC，若EF/BD，一定有BD/平面11A BC，又BD与平面11A BC相交，不存在点E，使EF/BD，故 A 错；对于选项 B，当E为中点时，易知EF/1A B，在正方体1111ABCDABC D中，11ABAB，1ADAB，且1ADABA，1AB 平面11ABC D，即EF 平面11ABC D，故 B 正确；对于选项 C，当E为中点时，易知EF/1A B，1AD/1BC，在正方体1111ABCDABC D中，1111ABBCAC，1A B与1BC所成的角为60，即EF与1AD所成的角为60，故 C 错；对于选项 D，设正方体边长为 2，因为AC/11AC，1AA/1BB，所以三棱锥1BACE的体积11111114323BACEE ACBAACBB A ACA ACBDVVVVS，故 D 错.故选：B.2（2021高二阶段练习）如图，在正方体1111ABCDABC D中，过点 A 作平面1ABD的垂线，垂足为点 H，给出以下命题：H 是1ABD的垂心；AH垂直于平面11CB D；AH的延长线过点1C；直线AH和1BB所成角的大小为45，其中正确的命题个数为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】首先，判断三棱锥1ABA D为正三棱锥，然后，得到1BAD为正三角形，得到H为A在平面1ABD内的射影，然后，根据平面1ABD 平面1BC D，得到正确，最后，结合线面角和对称性求解【详解】解：对于，111,ABAAAD BABDAD，三棱锥1ABA D为正三棱锥，点 H 是1ABD的垂心，故为真命题；对于，11/BDB D,11/ABDC,且BD 平面1BDA,1BA 平面1BDA,平面1ABD与平面11BCD平行，又AH 平面1ABD，AH垂直平面11CB D，故为真命题；对于，连接1AC，1AB,则有11BAB A，根据正方体的性质可知，111BCBA,又1111BCB AB，所以1BA 平面11AB C,又1AC 平面11AB C,所以11ACBA,同理可得1ACBD,又1BABDB，所以1AC 平面1ABD,又AH 平面1ABD,且过平面外一点作平面的垂线有且只有一条，故1AHC、三点共线,故为真命题.对于，11/AABB，1A AH就是直线AH和1BB所成角，在直角三角形1AHA中，112361,2323AAAH，16sin3A AH，故为假命题；故选：C.3（2021上海市松江二中高二期中）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点，设P是CE上的一点，且APBE，则AG与BP所成角的大小为（）A45 B15 C30 D0【答案】C【分析】根据APBE可得BE平面ABP，进而得到BEBP，再在平面EBC内找到AG的平行线，进而得出AG与BP所成角即可【详解】因为APBE