上海市华东模范中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷含答案.pdf

2022-2023 学年上海市静安区华东模范中学九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1（4 分）下列图形中一定相似的是（）A直角三角形都相似 B等腰三角形都相似 C矩形都相似 D等腰直角三角形都相似 2（4 分）已知 RtABC 中，A90，则是B 的（）A正切 B余切 C正弦 D余弦 3（4 分）如图，在ABC 中，D、E 两点分别在 AB、AC 边上，DEBC，若 AD：DB3：2，则 SADE：SABC为（）A3：5 B9：4 C9：25 D3：2 4（4 分）已知非零向量、和，下列条件中不能判定 （）A ，B 2，C 5 D|5（4 分）如图，已知 D 是 AB 上一点，如果 DEBC，DFAC，点 E，F 分别在 AC，BC上，那么下列比例式中正确的是（）A B C D 6（4 分）下列五幅图均是由边长为 1 的 16 个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的ABC相似的个数有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7（4 分）如果在比例尺为 1：1 000 000 的地图上，A、B 两地的图上距离是 3.4 厘米，那么A、B 两地的实际距离是 千米 8（4 分）若点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，AB2，则 AP （保留根号）9（4 分）计算：2（）10（4 分）如图，如果，那么 ADBECF，这个命题是 命题（填“真”或“假”）11（4 分）若（x，y，z 均不为 0），则的值为 12（4 分）已知在ABC 中，ABAC5，BC8，点 G 为重心，那么 GA 13（4 分）如果两个相似三角形的面积的比等于 16：9，那么它们的对应边上的高的比等于 14（4 分）如图，在ABC 中，ACB90，AC4，BC3，O 是边 AB 的中点，过点O 的直线 l 将ABC 分割成两个部分，若其中的一个部分与ABC 相似，则满足条件的直线 l 共有 条 15（4 分）在ABC 中，|cosA|+（1cotB）20，则ABC 的形状是 16（4 分）如图，已知ABCCDB90，AC5cm，BC4cm，如果图中的两个直角三角形相似，那么 BD 17（4 分）已知在 RtABC 中，ACB90，CD 是 AB 上的中线，BC，cosACD，则 CD 18（4 分）在ABC 中，AB3，AC4，ABC 绕着点 A 旋转后能与ABC重合，那么ABB与ACC的周长之比为 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19（10 分）sin60（cos245）+20（10 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，E 是 CD 的中点，且 ECAB，AC 与 BE交于点 F（1）若，请用，来表示、；（2）请直接在图中画出在，方向上的分向量 21（10 分）如图，已知ABC 中，DEBC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，点 M 在 BC 边上，AM 交 DE 于点 F 求证：22（10 分）如图，ABC 中，PC 平分ACB，PBPC，（1）求证：APCACB；（2）若 AP2，PC4，SABC12，求 SAPC 23（12 分）已知点 A（1，0）和点 B（5，0），点 C 在 x 轴的负半轴上，且 ACAB，点 D的坐标为（0，3），直线 l 经过点 C、D（1）求直线 l 的表达式；（2）点 P 是直线 l 在第三象限上的点联结 AP、BP，若线段 CP 是线段 CA、CB 的比例中项 求证：CPACBP；求 tanCPA 的值 24（12 分）已知：如图，梯形 ABCD 中，DCAB，ADBCDC，AC、BD 是对角线，E是 AB 延长线上一点，且BCEACD，联结 CE（1）求证：四边形 DBEC 是平行四边形；（2）求证：AC2ADAE 25（14 分）已知：如图，在等腰直角ABC 中，ACBC，斜边 AB 的长为 4，过点 C 作射线 CPAB，D 为射线 CP 上一点，E 在边 BC 上（不与 B、C 重合），且DAE45，AC 与 DE 交于点 O（1）求证：ADEACB；（2）设 CDx，tanBAEy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果COD 与BEA 相似，求 CD 的值 2022-2023 学年上海市静安区华东模范中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1（4 分）下列图形中一定相似的是（）A直角三角形都相似 B等腰三角形都相似 C矩形都相似 D等腰直角三角形都相似【分析】根据相似图形的定义一一判断【解答】解：直角三角形，等腰三角形，矩形不一定相似，等腰直角三角形一定相似 故选：D【点评】本题考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义，属于中考常考题型 2（4 分）已知 RtABC 中，A90，则是B 的（）A正切 B余切 C正弦 D余弦【分析】根据题意画出直角三角形，根据锐角三角函数的定义便可直接解答【解答】解：如图，tanB 故选：A 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 3（4 分）如图，在ABC 中，D、E 两点分别在 AB、AC 边上，DEBC，若 AD：DB3：2，则 SADE：SABC为（）A3：5 B9：4 C9：25 D3：2【分析】由 DEBC，根据相似三角形的判定方法得到ADEABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解【解答】解：AD：DB3：2，AD：AB3：5，DEBC，ADEABC，SADE：SABC（）2（）29：25 故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方 4（4 分）已知非零向量、和，下列条件中不能判定 （）A ，B 2，C 5 D|【分析】根据平面向量的性质即可判断【解答】解：，故 A 能判定 ，不符合题意；2，与 方向相同，故 B 能判定 ，不符合题意；5，与 方向相反，故 C 能判定 ，不符合题意；|不能确定 与 的方向，不能判定向量 与向量 平行，故 D 不能判定 ，符合题意 故选：D【点评】本题考查了平面向量，掌握向量平行的判定是解题关键 5（4 分）如图，已知 D 是 AB 上一点，如果 DEBC，DFAC，点 E，F 分别在 AC，BC上，那么下列比例式中正确的是（）A B C D【分析】由相似三角形的判定，可得ADEABC，BDFBAC；又由相似三角形的对应边成比例与平行线分线段成比例定理，可得 B 正确【解答】解：DEBC，DFAC，ADEABC，BDFBAC，故 A 错误；，故 B 正确；，故 C 错误；，故 D 错误；故选：B【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证 6（4 分）下列五幅图均是由边长为 1 的 16 个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的ABC相似的个数有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题【解答】解：观察可以发现 AC，BC2，AB，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为 2，且为直角三角三角形，第 1 个图形中，有两边为 2，4，且为直角三角三角形，第 2，3 图形中，两边不具备 2 倍关系，不可能相似，第 4 个图形中，有两边为，2，且为直角三角三角形，只有第 1，4 个图形与左图中的ABC 相似 故选：B【点评】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7（4 分）如果在比例尺为 1：1 000 000 的地图上，A、B 两地的图上距离是 3.4 厘米，那么A、B 两地的实际距离是 34 千米【分析】实际距离图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离【解答】解：根据题意，3.43400000（厘米）34（千米）即实际距离是 34 千米 故答案为：34【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换 8（4 分）若点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，AB2，则 AP 1 （保留根号）【分析】根据黄金分割点的定义，知 AP 是较长线段；则 APAB，代入数据即可得出 AP 的长【解答】解：由于 P 为线段 AB2 的黄金分割点，且 AP 是较长线段；则 APAB21 故答案为1【点评】本题考查了黄金分割的概念应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的 9（4 分）计算：2（）2 【分析】先去括号，然后合并同类项【解答】解：2（）2 2 （2）2 2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样适用于平面向量的计算过程中 10（4 分）如图，如果，那么 ADBECF，这个命题是 假 命题（填“真”或“假”）【分析】当 B 是 AC 的中点，E 是 DF 的中点时比例成立但不一定平行，由此得出是假命题【解答】解：当 B 是 AC 的中点，E 是 DF 的中点时比例成立但不一定平行，则这是假命题；故答案为：假【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理和命题的真假，注意找准对应关系，得出正确答案 11（4 分）若（x，y，z 均不为 0），则的值为 1 【分析】首先根据比例的等比性质与已知得出，然后将化为：+2，再代入求值【解答】解：已知（x，y，z 均不为 0），由比例的性质得：，则+2+11，故答案为：1【点评】此题考查的知识点是比例的性质，关键是准确掌握其性质进行运算 12（4 分）已知在ABC 中，ABAC5，BC8，点 G 为重心，那么 GA 2 【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出 AD 的长，再利用重心的性质即可求出 GA 的长【解答】解：ABAC5，BC8，点 G 为重心，ADBC，CDBC84，AD3，GA2 故答案为：2 【点评】此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握，解答此题的关键是明确等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一此题难度不大，属于基础题 13（4 分）如果两个相似三角形的面积的比等于 16：9，那么它们的对应边上的高的比等于 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答【解答】解：两个相似三角形的面积之比为 16：9，相似比是 4：3，又相似三角形对应高的比等于相似比，对应高线的比为 4：3，即 故答案为：【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解题关键 14（4 分）如图，在ABC 中，ACB90，AC4，BC3，O 是边 AB 的中点，过点O 的直线 l 将ABC 分割成两个部分，若其中的一个部分与ABC 相似，则满足条件的直线 l 共有 3 条 【分析】由于三角形 ABC 是直角三角形，所以必须保证直线 l 与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似【解答】解：三角形 ABC 是直角三角形，只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件；当 LBC 时，可得三角形相似；当 LAC 时，亦可得三角形相似；当 LAB 时，三角形也相似，故满足题中的直线 L 共有 3 条【点评】本题主要考查了相似三角形的判定问题，应熟练掌握 15（4 分）在ABC 中，|cosA|+（1cotB）20，则ABC 的形状是 钝角三角形 【分析】先根据非负数的性质求出 cosA 及 cotB 的度数，再根据特殊角的三角函数值得出A 及B 的度数，进而可判断出ABC 的形状【解答】解：在ABC 中，|cosA|+（1cotB）20，cosA，cotB1，A30，B45，C1803045105，ABC 是钝角三角形 故答案为：钝角三角形【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 16（4 分）如图，已知ABCCDB90，AC5cm，BC4cm，如果图中的两个直角三角形相似，那么 BD cm 或cm 【分析】由ABC 与ADB 中，ABCADB90，AC5cm，BC4cm，可求得AB 的长，然后分别从ABCADB 或ABCBDA，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案【解答】解：ABCADB90，AC5cm，BC4cm，AB3（cm），若ABCADB，则，即，解得：BD（cm）若ABCBDA，则，即，解得：BD（cm）综上所述BD 的长为：cm 或cm【点评】此题考查了相似三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用 17（4 分）已知在 RtABC 中，ACB90，CD 是 AB 上的中线，BC，cosACD，则 CD 3 【分析】易得 CDAD，那么AACD，则可得 AC 与 AB 之比为 2：3，利用勾股定理可得 BC 的份数，进而可得 BA 的长，除以 2 即为 CD 的长【解答】解：RtABC 中，ACB90，CD 是 AB 上的中线，CDABAD，AACD，cosAcosACD，设 AC 为 2x，则 AB3x，BCx，BC，x2，AB3x6，CDAB3，故答案为 3 【点评】考查解直角三角形的知识；突破点是得到A 的余弦值；用到的知识点为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 18（4 分）在ABC 中，AB3，AC4，ABC 绕着点 A 旋转后能与ABC重合，那么ABB与ACC的周长之比为 3：4 【分析】旋转的性质：对应点与旋转中心的连线长度相等，夹角为旋转角，旋转角相等 可知BAB与CAC是顶角相等的两个等腰三角形，易证它们相似，利用相似三角形的性质解题【解答】解：由旋转的性质可知，ABAB，ACAC，旋转角BABCAC，所以，BABCAC，相似比 AB：AC3：4，根据相似三角形的周长比等于相似比可知，ABB与ACC的周长之比为 3：4，故答案为：3：4【点评】本题利用旋转的性质，证明相似三角形，再用相似三角形的性质求周长的比 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19（10 分）sin60（cos245）+【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案【解答】解：原式（）2+【点评】此题主要考查了实数的运算、特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 20（10 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，E 是 CD 的中点，且 ECAB，AC 与 BE交于点 F（1）若，请用，来表示、；（2）请直接在图中画出在，方向上的分向量 【分析】（1）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可；（2）利用平行四边形法则画出图形即可【解答】解：（1）CDAB，ECAB，E 是 CD 的中点，2，ECAB，AFAC，+，+；（2）过点 C 作 CTAD 交 AB 于点 T，即为所求 【点评】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型 21（10 分）如图，已知ABC 中，DEBC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，点 M 在 BC 边上，AM 交 DE 于点 F 求证：【分析】由 DEBC，将问题分解为 DFBM，FEMC，分别利用平行线分线段成比例定理，利用“中间比”过渡，得出新的比例式，再变形即可【解答】证明：DEBC，【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理关键是利用中间比过渡，得出新的比例 22（10 分）如图，ABC 中，PC 平分ACB，PBPC，（1）求证：APCACB；（2）若 AP2，PC4，SABC12，求 SAPC 【分析】（1）证明BACP，结合AA，即可解决问题（2）由APCACB，得到，利用 AP2，PC4，AB6，即可解决问题 【解答】解：（1）PBPC，BPCB；PC 平分ACB，ACPPCB，BACP，AA，APCACB（AA）（2）APCACB，AP2，PC4，AB6，AC APCACB，SABC3SACP，SACP 【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握相似三角形的判定及其性质是灵活运用、解题的基础和关键 23（12 分）已知点 A（1，0）和点 B（5，0），点 C 在 x 轴的负半轴上，且 ACAB，点 D的坐标为（0，3），直线 l 经过点 C、D（1）求直线 l 的表达式；（2）点 P 是直线 l 在第三象限上的点联结 AP、BP，若线段 CP 是线段 CA、CB 的比例中项 求证：CPACBP；求 tanCPA 的值 【分析】（1）根据 A（1，0），B（5，0），求得 OA1，AB4，得到 C（3，0）设直线 l 的表达式为 ykx+b，解方程组即可得到答案；（2）根据线段 CP 是线段 CA、CB 的比例中项，得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；过 P 作 PHx 轴于 H，根据等腰直角三角形的性质得到DCO45，求得PCH45，根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：（1）A（1，0），B（5，0），OA1，AB4，ACAB 且点 C 在点 A 的左侧，AC4，C（3，0）设直线 l 的表达式为 ykx+b，C（3，0），D（0，3）在直线上，解得：，直线 l 的表达式为 yx+3；（2）线段 CP 是线段 CA、CB 的比例中项，又PCB 是公共角，CPACBP；，CA4，CP8，CP4，CPACBP，CPACBP，过 P 作 PHx 轴于 H，OCOD3，DOC90，DCO45，PCH45，PHCHCPsin454，H（7，0），OH7，BH12，P（7，4），在 RtBHP 中，tanHBP，tanCPA 【点评】本题考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得CPACBP 是解题的关键 24（12 分）已知：如图，梯形 ABCD 中，DCAB，ADBCDC，AC、BD 是对角线，E是 AB 延长线上一点，且BCEACD，联结 CE（1）求证：四边形 DBEC 是平行四边形；（2）求证：AC2ADAE 【分析】（1）由等腰梯形的性质得出ADCBCD，由 SAS 证明ADCBCD，得出ACDBDC，由等腰三角形的性质和已知条件得出BCECBD，证出 BDCE，即可得出结论；（2）证出 CEAC，证明EACEBC，得出对应边成比例，即可得出结论 【解答】证明：（1）梯形 ABCD 中，DCAB，ADBCDC，ADCBCD，在ADC 和BCD 中，ADCBCD（SAS），ACDBDC，BCDC，CBDBDC，CBDACD，BCEACD，BCECBD，BDCE，又DCAB，四边形 DBEC 是平行四边形；（2）由（1）得：四边形 DBEC 是平行四边形，EBDC，DCAB，BACACD，BCEACD，BACBCEE，CEAC，又BB，EACEBC，即，AC2ADAE【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键 25（14 分）已知：如图，在等腰直角ABC 中，ACBC，斜边 AB 的长为 4，过点 C 作射线 CPAB，D 为射线 CP 上一点，E 在边 BC 上（不与 B、C 重合），且DAE45，AC 与 DE 交于点 O（1）求证：ADEACB；（2）设 CDx，tanBAEy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果COD 与BEA 相似，求 CD 的值 【分析】（1）首先利用两角对应相等，证明ACDABE，进而证明ADEACB；（2）如答图 1 所示，过点 D 作 DFAC 于点 F，则DCF 为等腰直角三角形；分别求出 CF、DF、AF 的长度，然后利用 tanBAEtanCAD 求解；（3）首先确定CODBEA，然后证明 AE 为角平分线；如答图 3，作辅助线，利用角平分线与等腰直角三角形的性质，求出 CD 的长度【解答】（1）证明：由题意可知CAD+CAECAE+BAE45，CADBAE；CPAB，ACDCAEB45 ACDABE，即，又DAECAB45，ADEACB （2）解：等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长为 4，ACBC 如答图 1，过点 D 作 DFAC 于点 F，则DCF 为等腰直角三角形，DFCFCDx，AFACCFx，tanCAD 由（1）知，BAECAD，tanBAEtanCAD，y，定义域 0 x2 （3）解：在COD 与BEA 中，DCOB45，DOC 与AEB 均为钝角，如果COD 与BEA 相似，只能是CODBEA，12 AECAED+345+3，AECB+245+2，32，123，CECD CPAB，DCE+B180，DCE180B135，123（180DCE）22.5，2CAB，即 AE 为角平分线 如答图 2，过点 E 作 EGAB 于点 G，则 EGCE，且BEG 为等腰直角三角形 EGBGCECD，BEEGCD BCCE+BECD+CD2，CD42【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、平行线、角平分线、相似三角形等几何知识点本题着重考查几何基础知识，难度不大