2023年bf高考物理第一轮复习教案第四章曲线运动万有引力与航天19.pdf

高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 66 第四章 曲线运动 万有引力与航天 一、知识网络 二、考纲要求 1运动的合成和分解 2抛体运动 3匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 4匀速圆周运动的向心力 5离心现象 6万有引力定律及其应用 7环绕速度 8第二宇宙速度和第三宇宙速度 9经典时空观和相对论时空观 三、复习提要 本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。（4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。四、命题热点与展望 本章内容在高考题中常有出现，考查重点是对概念和规律的理解和运用。内容主要集中在平抛运动和天体运动、人造卫星的运动规律等方面，且均有一定难度。本章的圆周运动经常与电磁场、洛仑兹力等内容结合起来考查。1 运动的合成与分解 平抛物体的运动 一、曲线运动 1曲线运动的条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。当物体受到的合力为恒力（大小恒定、方向不变）时，物体作匀变速曲线运动，如平抛运动。当物体受到的合力大小恒定而方向总跟速度的方向垂直，则物体将做匀速率圆周运动。如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化，是变速率圆周运动。合力的方向并不总跟速曲线运动 万有引力与航天 平抛运动 条件：只受重力，初速水平 研究方法：运动的合成和分解 规律：水平方向匀速直线运动 竖直方向自由落体运动 万有引力定律 行星的运动 万有引力定律其及在天文学上的应用 人造卫星、宇宙速度 曲线运动 条件：F合与初速v0不在一条直线上 方向：沿切线方向 匀速圆周运动 描述：v、T、a、n、f 条件：F合与初速v0垂直 特点：v、a大小不变，方向时刻变化 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 67 度方向垂直。2曲线运动的特点：（1）曲线运动中速度的方向沿曲线的切线方向，在曲线运动中速度方向是时刻改变的，所以曲线运动一定是变速运动。需要重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向均不变的曲线运动，叫匀变速曲线运动，如平抛运动，另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动。（2）曲线运动中合外力方向一定指向曲线的“凹”处。二、运动的合成与分解 1运动的合成（1）由已知的分运动求其合运动叫运动的合成。这既可能是一个实际问题，即确有一个物体同时参与几个分运动而存在合运动；又可能是一种思维方法，即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的运动合成的，通过对简单分运动的处理，来得到对于复杂运动所需的结果。运动的合成重点是判断合运动和分运动，这里分两种情况介绍：一种是研究对象被另一个运动物体所牵连，这个牵连指的是相互作用的牵连，如船在水上航行，水也在流动着。船对地的运动为船对静水的运动与水对地的运动的合运动。一般地，物体的实际运动就是合运动。第二种情况是物体间没有相互作用力的牵连，只是由于参照物的变换带来了运动的合成问题。如两辆车的运动，甲车以v甲8 ms的速度向东运动，乙车以v乙8 ms的速度向北运动。求甲车相对于乙车的运动速度v甲对乙。（2）描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量，运动的合成应遵循矢量运算的法则：如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的矢量取正，相反的矢量取负，矢量运算简化为代数运算。如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则。（3）合运动的性质取决于分运动的情况:两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动。一个匀速运动和一个匀变速直线的合运动是匀变速运动，二者共线时，为匀变速直线运动，二者不共线时，为匀变速曲线运动。两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当合运动的初速度与合运动的加速度共线时为匀变速直线运动，当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。2运动的分解（1）已知合运动求分运动叫运动的分解。（2）运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则。（3）将速度正交分解是常用的处理方法。（4）速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，常用的思想方法有两种：一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；另一种思想方法是先确定合运动的速度方向（物体的实际运动方向就是合速度的方向），然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向。3合运动与分运动的特征：（1）等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等。（2)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响。(3)等效性：合运动和分运动是等效替代关系，不能并存。(4)矢量性：加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 68 4运动的性质和轨迹 物体运动的性质由加速度决定（加速度得零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。物体运动的轨迹由物体的速度和加速度的方向关系决定：速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度与加速度方向不在同一条直线上时物体做曲线运动。两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，决定于它们的合速度与合加速度方向是否共线（如图所示）。注意：合运动一定是物体的实际运动：各分运动是互不相干的具有独立性；合运动与分运动具有等时性。常见的类型有：a=0：匀速直线运动或静止。a恒定：性质为匀变速运动，分为：v、a同向，匀加速直线运动；v、a反向，匀减速直线运动；v、a 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在 v、a 之间，和速度 v 的方向相切，方向逐渐向 a 的方向接近，但不可能达到。）a变化：性质为变加速运动。5船过河问题 如图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v决定，即vdt，与v1无关，所以当v2垂直岸时，过河所用时间最短，最短时间为2vdt 也与v1无关。过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当 v1v2时，最短路程为 d；当v1v2时，最短路程为dvv21（如图所示）。船的实际运动是水流的运动和船对水的运动的合运动。6连带运动问题 物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和沿着绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。例 1 如图所示，汽车甲以速度 v1拉汽车乙前进，乙的速度为 v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1v2 解：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cos，两者应该相等，所以有v1v2=cos1 例2 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a、b 间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为 时，求两小球实际速度之比vavb 解：a、b沿杆的分速度分别为vacos和vbsin vavb=tan1 三、抛体运动 1定义：将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所做的运动叫做抛体运动。2特征：初速不为零；只受重力。v1 v a1 a o v2 a2 v2 v1 v1 v2 v v1 甲 乙 v1 v2 va vb 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 69 3根据初速度的方向，可以将抛体运动分为:竖直上抛运动、竖直下抛运动、平抛运动、斜抛运动（斜上抛和斜下抛）；4抛体运动的轨迹可以是直线也可以是曲线。四、平抛运动 当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。1特点：（1）初速度水平；只受重力 （2）轨迹：抛物线（3）平抛运动是物体只在重力作用下的曲线运动，加速度a=g，方向竖直向下。平抛运动是匀变速曲线运动。2研究方法化曲为直 研究曲线运动的一般方法就是正交分解。将复杂的曲线运动分解为两个互相垂直方向上的直线运动。将平抛运动分解水平方向：以为速度的匀速直线运动竖直方向：自由落体运动v0 3运动规律 （1）速度vvvgtxy0速度大小 vvgtt022()方向：0tanvgt 为速度方向与水平方向的夹角 （2）相对于抛出点的位移：sv tv tsgtsv tgtxxy 0202221212位移大小()()位移方向：002221 tanvgttvgt 为位移方向与水平方向的夹角（3）轨迹方程：2202xvgy 4几点说明：（1）平抛物体经一段时间，其速度方向和位移方向是不相同的，即，其关系是tan=2tan （2）平抛运动的两分运动是各自独立的。（3）平抛物体在相同的时间内，速度变化量相同，vg t，而且方向为竖直向下。（4）广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。（5）飞行时间 ght2 0vxt 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 70（6）竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。例3 如图所示，长斜面OA的倾角为，放在水平地面上，现从顶点O以速度v0平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，求小球在飞行过程中离斜面的最大距离x多少？解析：为计算简便，本题也可不用常规方法来处理，而是将速度和加速度分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向进行分解。如图，速度v0沿垂直斜面方向上的分量为v1=v0 sin，加速度g在垂直于斜面方向上的分量为a=g cos，根据分运动各自独立的原理可知，球离斜面的最大距离仅由v1和a决定，当垂直于斜面的分速度减小为零时，球离斜面的距离才是最大。22201sin22 cosvvxag。点评：运动的合成与分解遵守平行四边形定则，有时另辟蹊径可以收到意想不到的效果。例4 如图所示，一足够长的固定光滑斜面与水平面的夹角为53，物体A以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体 B 在斜面上距顶端 L=20m 处同时以速度 v2沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（cos53=0.6，sin53=0.8，g=10 m/s2）Av1=15m/s，v2=4 m/s，t=4s Bv1=15 m/s，v2=6 m/s，t=3s Cv1=18 m/s，v2=4 m/s，t=4s Dv1=18m/s，v2=6 m/s，t=3s 解析：物体A做平抛运动，有（x2+L）sin=212gt（x2+L）cos=v1t 代入解得：将各选项中的时间t和速度v1代入上式，只有A项能使关系式有解。故正确答案为A。点评：本题考查考点“平抛运动”，涉及到运动的合成与分解、匀变速直线运动等知识。本题重在考查对“物体 A 和物体 B 在斜面上相遇”这一条件的理解应用能力。本题不仅考查对平抛运动规律的应用，同时考查应用多种方法解决问题的能力。如果不采用代入法而自接推导会复杂得多。例5雨伞边缘半径为r，且离地面高为h。现让雨伞以角速度 绕伞柄匀速旋转，使雨滴从边缘甩出并落在地面上形成一圆圈，试求此圆圈的半径R。解析：所述情景如图所示，设伞柄在地面上的投影为O，雨滴从伞的边缘甩出后将做平抛运动，其初速度为v0=r，落地时间为t，故221gth。雨滴在这段时间内的水平位移为 s=v0 t。由图可知，22srR=ghr221。点评：解本题的关键在于把题中所述情景与所学物理知识联系起来，同时注意立体图与平面图的联系。s r R O s O r g a v1 v0 O A 201112tan 532gtgtvtv1415vt高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 71 例6如图甲所示，水平传送带的长度L=5m，皮带轮的半径R=0.1m，皮带轮以角速度顺时针匀速转动。现有一小物体（视为质点）以水平速度 v0从 A 点滑上传送带，越过 B 点后做平抛运动，其水平位移为 s。保持物体的初速度v0不变，多次改变皮带轮的角速度，依次测量水平位移s，得到如图乙所示的s图像。回答下列问题：（1）当010rad/s时，物体在A、B之间做什么运动？（2）B端距地面的高度h为多大？（3）物块的初速度v0多大？解：（1）物体的水平位移相同，说明物体离开 B 点的速度相同，物体的速度大于皮带的速度，一直做匀减速运动。（2）当=10rad/s时，物体经过B点的速度为 1RvBm/s 平抛运动：221gth tvsB 解得：t=1s，h=5m （3）当30rad/s时，水平位移不变，说明物体在AB之间一直加速，其末速度 3tsvBm/s 根据2202tvvas 当010rad/s时，2202BgLvv 当30rad/s时，2022vvgLB 解得：05m/sv 点评：本题以传送带上物体的运动为背景，涉及到直线运动、牛顿定律、圆周运动、平抛运动等较多知识点，过程多，情景复杂，对综合应用能力要求较高。例7 平抛小球的闪光照片如图。已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，求：v0、g、vc 解：水平方向：Tav20 竖直方向：22,TaggTs 先求C点的水平分速度vx和竖直分速度vy，再求合速度vc：412,25,20TavTavTavvcyx 例8 已知排球网高H，排球场半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距A B C D E 图乙/rad/s/3 1 31图甲 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 72 离s、求：水平扣球速度v的取值范围。解：假设运动员用速度vmax扣球时，球刚好不会出界，用速度vmin扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得：hgsLghsLv2)(2/max )(2)(2/minHhgsgHhsv 实际扣球速度应在这两个值之间。5一个有用的推论 平抛物体任意时刻速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t，shvv2tanxy，所以有2tanshs 例9 从倾角为=30的斜面顶端以初动能E=6J向下坡方向水平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E/为_J。解：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD，可以证明末速度vt的反向延长线必然交AB于其中点O，由图中可知ADAO=23，由相似形可知vtv0=73，因此很容易得出结论：E/=14J。本题也能用解析法求解。列出竖直分运动和水平分运动的方程，注意到倾角和下落高度和射程的关系，有：mgBCEECDBCtvCDgtBC02.tan,21 同样可求得：E/=14J 例 10 如图所示，在竖直平面的xoy坐标系内，oy表示竖直向上方向。该平面内存在沿x轴正向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点沿oy方向竖直向上抛出，初动能为4J，不计空气阻力。它达到的最高点位置如图中M点所示。求：小球在M点时的动能E1。在图上标出小球落回x轴时的位置N。小球到达N点时的动能E2。解：在竖直方向小球只受重力，从O M速度由v0减小到0；在水平方向小球只受电场力，速度由0增大到v1，由图知这两个分运动平均速度大小之比为23，因此v0v1=23，所以小球在M点时的动能E1=9J。由竖直分运动知，O M和M N经历的时间相同，因此水平位移大小之比为13，故N点的横坐标为12。小球到达N点时的竖直分速度为v0，水平分速度为2v1，由此可得此时动能E2=40J。五、斜上抛运动 v0 vt v0 vy A O B D C v0 vt vx vy h s s/o y/m x/m M v0 v1 3 2 1 2 4 6 8 10 12 14 16 N h s L v 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 73(1)定义：将物体用一定的初速度沿斜上方抛出去，仅在重力作用下物体所做的运动。(2)条件：初速度不为零，且与水平方向斜向上成一定角度(90)；只受重力作用。(3)分解：斜上抛运动可以看作是一个水平方向上的匀速直线运动和一个竖直方向上的竖直上抛运动的合运动。(4)运动规律：以抛出点为坐标原点，竖直向上为Oy轴，水平方向为Ox轴，抛体就在Oxy平面上做具有恒定加速度的曲线运动，如图所示。设抛体的初速度为v0，抛射角为，则可把v0在所建立的坐标系中分解为水平方向的分速度vx=v0cos和竖直方向的分速度vy=v0sin。位置坐标：在抛出后t秒末的时刻，物体的位置坐标为：水平位移：x=v0tcos 竖直位移：y=v0tsin-212gt 在抛出后t秒末的时刻，物体的速度为 水平速度：vxv0cos 竖直速度：vyv0singt 合速度：大小22xyvvv，合速度方向跟水平方向的夹角由tan=yxvv 决定。(5)射程、射高与飞行时间 在斜抛运动中，从物体被抛出的地点到落地点的水平距离叫射程。从抛出点的水平面到物体运动轨迹最高点的高度叫射高。从物体被抛出到落地所用的时间叫飞行时间。当斜上抛的落地点与抛出点在同一水平面时：飞行时间：斜抛物体从被抛出到落地，在空中的飞行时间T可以根据位置坐标方程求得，因为当t=T时，y=0，则v0Tsin212gT=0解得T=2v0sin/g。射高：用Y表示，显然射高等于竖直上抛分运动的最大高度，即Y=v02sin2/2g。射程：用X表示，由水平方向分运动的位移公式，可得射程为X=v0cosT，即X=v02sin2/g。以上三式表明，斜上抛物体飞行时间、射高和射程均由抛射的初始量v0、所决定。只要初速度v0的大小和方向已经确定，那么该斜抛物体的飞行时间T、射高Y、射程X也就惟一确定了。2 圆周运动 一、匀速圆周运动 1特点 （1）轨迹：圆周或圆周的一部分。（2）速率、周期、角速度等保持不变。2描述匀速圆周运动的物理量 O v0 x xmax y v0 v0y x ymax 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 74 （1）线速度方向时刻变化特点：大小保持不变，计算：大小：方向：沿圆弧切线方向)3)2)12 TRvtsvvs为弧长，t为通过s所用时间 描述质点沿圆周运动的快慢（2）角速度角速度不变的曲线运动特点：匀速圆周运动是计算：大小：为所用时间为半径转过的角度RvT，tt2,描述质点绕圆心转动的快慢 单位：弧度/秒（rad/s）（3）周期T和频率f（转速n）做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做转速，也叫频率，是描述质点转动快慢的物理量。v、T、f关系：nfTnfT22211，注：Tf、三个量中任一个确定，其余两个也就确定了，而v还和r有关。（4）向心加速度a 方向时刻变化方向：总是指向圆心，大小：vRTRRva22224 描述线速度方向改变的快慢 特点：匀速圆周运动中，加速度大小保持不变，方向时刻变化。（5）向心力F 圆心方向：总是沿半径指向大小：个力的合力某一个力的分力，或几来源：可以是一个力或小，是效果力不改变线速度大，只改变线速度方向，作用：产生向心加速度RfmRTmRmRvmF22222244 特点：做匀速圆周运动物体的向心力由合外力提供。向心力大小保持不变，方向时刻变化（总指向圆心），是变力。“向心力”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力。“向心力”不一定是物体所受合外力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变。3一般的圆周运动（非匀速圆周运动）速度的大小有变化，向心力(合外力沿半径方向的分力)和向心加速度的大小也发生变化。利用公式求在圆周上某点的向心力和向心加速度的大小时，必须用该点的瞬时速度值。高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 75 二圆周运动问题解题方法 1解题步骤：（1）明确研究对象并受力分析 注意分析性质力、向心力是效果力。（2）根据题意确定物体的运动轨道平面和圆心。（3）列方程：从运动学、牛顿第二定律及机械能守恒定律三个方面根据题目中条件分析应列的方程来解决问题。注意：做匀速圆周运动物体所受的外力的合力为向心力 研究圆周运动问题，首要的问题是确定运动物体所受到的向心力。“向心力”是一种效果力，不要以为运动物体除了受其它力外，还受额外的一个向心力作用。一般地说，当做圆周运动物体所受的外力的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相对应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：Fn=man在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用RTmRmRmv2222或或等各种形式）。如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将将沿曲线做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将沿切线与圆周之间的一条曲线做离心运动，半径将增大。如卫星沿椭圆轨道运行时，在远地点和近地点的情况。2竖直平面内的圆周运动经过最高点的临界问题：（1）弹力只能向下，如图所示物理模型。受力分析：小球只能受到绳子或轨道指向圆心方向的弹力。RvmmgT2 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用（即T=0或N=0）mgmvR2 注意：若小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛仑兹力的合力作为向心力，此时vgR临 能通过最高点的条件：vgR 当vgR时绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。不能通过最高点的条件：vgR（实际上小球还没到最gRv临R 杆 O v v R 绳 v O v0 v 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 76 高点时就脱离了轨道）（2）弹力只能向上，如车过桥。在这种情况下有：否则车将离开桥面做曲线运动。（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：当v 0时，Nmg（N为支持力）当0vgR时，N为支持力，v增大，N减小，且mgN 0 vgR时，N 0 vgR时，N为拉力，v增大，N增大。例 11如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：(1)小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?(2)小球落地点C与B点水平距离s是多少?解析：(1)小球由AB过程中，根据机械能守恒定律有：mgR221Bmv gRvB2 小球在B点时，根据牛顿第二定律有；RvmmgFBN2 mgRvmmgFBN32 根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为3mg (2)小球由BC过程，水平方向有：s=vBt 竖直方向有：221gtRH 解得RRHs)(2 例 12如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为m的小球以初速度v0从A点进入轨道，当小球将要从轨道口B点飞出时，轨道的压力恰好为零。求：（1）小球在A点时对轨道的压力？（2）小球落地点C距A处多远?解：（1）在A点根据牛顿第二定律有 gRvmgRmvFmg,2高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 77 RvmmgNA20 得：RvmmgNA20（2）在B点，根据牛顿第二定律有 RvmmgB2 小球做平抛运动，2212gtR tvSBAC 联立得：RSAC2 例 13一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是_。解析：这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的题。A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下，若要此时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对B球的压力一定是竖直向下的。由机械能守恒定律，B球通过圆管最高点时的速度v满足方程 20222221221vmRgmvm 根据牛顿运动定律 对于A球，RvmgmN20111 对于B球，RvmgmN2222 又 N1=N2 解得 0)5()(212021gmmRvmm 例 14 如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，一带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的34，圆环半径为R，斜面倾角为=530，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所示。可知F1.25mg，方向与竖直方向左偏下37，从图中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。由圆周运动知识得：RvmFD2 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 78 即：RvmmgD225.1 由动能定理有：221)37sin2cot(43)37cos(DmvRRhmgRRhmg 联立、可求出此时的高度h=10R。例 15如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度。解析：设圆周的半径为R，则在C点：mg=mRvC2 离开C点，滑块做平抛运动，则2Rgt22 vCtsAB 由B到C过程：mvC2/2+2mgRmvB2/2 由A到B运动过程：vB22asAB 由式联立得到：a=5g4 在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量之间的关系。凡是直接用皮带传动（包括链条传动、齿轮传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。例16 如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。解：va=vc，而vbvcvd=124，所以va vbvcvd=2124；ab=21，而b=c=d，所以abcd=2111；再利用a=v，可得aaabacad=4124 例17 如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）解：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2nr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮间和轮轴的原理相同，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1n2=2175 例18 杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，在最高点处，杆对球的弹力大小为mgF21，求这时小球的即时速度大小。解：小球所需向心力向下，本题中mgF21mg，弹力方向可能向上也可能向下。a b c d 大齿轮 小齿轮 车轮 小发电机 摩擦小轮 链条 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 79 F向上，2,2gLvLmvFmg F向下，23,2gLvLmvFmg 本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。若小球在杆的带动下做匀速圆周运动，则小球机械能不守恒，这两类题务必分清。3圆锥摆类型的在水平面内的匀速圆周运动 圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力平衡）。例19 小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。解：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示有：22sinsintanmRRmvmg，由此可得：ghgRTgRv2cos2,sintan，（式中h为小球轨道平面到球心的高度）。可见，越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。3 万有引力定律及其应用 一、开普勒运动定律(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。二、万有引力定律 1万有引力定律 万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。公式：221rmmGF，其中2211kg/mN1067.6G，叫万有引力恒量。适用条件：公式适用于质点间的相互作用，两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，r是两质点间的距离。质量均匀分布的球体可视为质点，r是两球心间的距离。2万有引力定律的应用 特点：轨道平面过天体中心；万有引力等于向心力也等于所在位置重力 在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万N G F 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 80 有引力，即222rvmrMmGrTm224rm2；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G2RmM mg从而得出GMR2g。圆周运动的有关公式：T2，v=r。（1）由rvmrMmG22，得：rGMv 即rv1；（r越大v越小）（2）由rmrMmG22，得：3rGM即31r；（r越大越小）（3）由rTmrMmG2224，得：GMrT324即3rT；（r越大T越大）（4）由rfmrMmG2224，得：324rGMf即31rf（r越大f越小）需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。测中心天体的质量：测出绕中心天体M作匀速圆周运动的星体的运动半径r和运行周期T，则：rTmrMmG2224 2324GTrM（M即中心天体质量）测中心天体的密度，测出绕中心天体M作匀速圆周运动的半径r，周期T和中心天体的半径R。23322334343rMrGTVGT RR 若卫星绕中心天体作近地运行时，即rR时，则 203GT 天体表面上某一高处重力加速度g 的表达：当h=0时 2MgGR 22()()MmmgGRhMgGRh 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 81 双星问题。宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星，（其他星体对它们的影响忽略不计），围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必定相同，因此周期也必然相同。由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mr2可得mr1，于是有 2112mrLmm，1212mrLmm 列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的R表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心，可以认为它是固定不动的。例20两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。解析：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得M1：G221RMMM1（T2）2 l1 M221224GTlR 对M2：G221RMMM2（T2）2 l2 M122224GTlR 两式相加得M1M22224GTR（l1l2）2324GTR。3万有引力和重力 重力是万有引力引起的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力。另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而地球表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大。在赤道处，物体的万有引力分解的两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有：mgFF向，所以22GMmmgFFmRR向自因地球自转角速度很小，22GMmmRR自，所以2GMmmgR。如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小，就不能再认为重力等于万有引力了。如果星球自转速度相当大，使得它在赤道上的物体所受的万有引力恰好等于该物体随 f F G m N 高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天 张建设编写 82 星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。例21某行星自转周期是6h，在该行星赤道上称得某物体的重力是同一物体在两极称得的重力的90%，求该行星的平均密度。解：由已知，该星球赤道上物体所受的向心力是万有引力的10%，22210TmRRGMm，而星球质量334RM，由以上两式可得=3.03103kg/m3 例22中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=301s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.671011m3/kg.s2)解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为，质量为M，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为m，则有 RmRGMm22 T2 334RM 由以上各式得23GT