2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第05讲：向量问题二含解析.docx

2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第05讲：向量问题二（解析版）第四讲：向量问题（二）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和钝角）.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。1、垂直当直线时，利用向量进行数量积的翻译，即,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情况）2、向量模长当时，通过平方推导，转化为，即翻译成垂直.3、定角求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译， 向量的数量积，即.4、直角，锐角和钝角当为直角时，则；当为锐角时，则；当为钝角时，则；【考点剖析】考点一：已知垂直求参例1已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交于、两点，且求直线的方程.变式训练1：已知椭圆标准方程为，椭圆的左右焦坐标分别为，离心率为，过点直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程.变式训练2：在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.变式训练3：已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）（1）求抛物线的方程；（2）直线：与抛物线交于，两点，若，求直线的方程考点二：垂直（证明）例1已知抛物线的焦点与椭圆：的一个焦点重合(1)求抛物线的方程；(2)若直线：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：变式训练1：已知椭圆：的左右顶点分别为，右焦点为，点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.变式训练2：已知抛物线：经过点.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：.变式训练3：已知抛物线：，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设点，过点作直线，与抛物线相切，切点分别为，证明：.考点三：向量模长相等（垂直）例1设椭圆的离心率为，点在椭圆上(1)求椭圆的方程；(2)设的右顶点为，若直线与椭圆交于两点（不是左右顶点）且满足，求原点到直线距离的最大值.变式训练1：设椭圆过两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程;(2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标.变式训练2：已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，到渐近线的距离为(1)求的方程；(2)若直线过，且与交于两点（异于的两个顶点），直线与直线的交点分别为是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由变式训练3：已知椭圆：，焦点为，过轴上的一点（）作直线交椭圆于两点.(1)若点在椭圆内，求多边形的周长；求的最小值的表达式；(2)是否存在与轴不重合的直线，使得成立？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.考点四：定角（直角）例1已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线分别与直线交于点，求的大小变式训练2：已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于、两点.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与圆相切，求的大小（为坐标原点）.变式训练:3：设分别是椭圆的左右焦点，是椭圆的上顶点，是等边三角形，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知分别为椭圆左右顶点，位于轴两侧的分别是椭圆和圆上的两个动点，且直线与轴平行，直线分别与轴交于，证明：.考点五：锐角和钝角例1已知点在椭圆上，的离心率为（1）求的方程；（2）设过定点的直线与交于不同的两点，且为锐角，求的斜率的取值范围变式训练1：已知椭圆的长轴长为，短轴长为2.（1）求椭圆的焦点坐标；（2）直线与椭圆相交于两点，点为椭圆的左焦点，若为锐角，求实数的取值范围.变式训练2：如图所示，椭圆：()的左右顶点分别为、，上下顶点分别为、，四边形的面积为，周长为直线：与椭圆交于不同的两点和（1）求椭圆的方程；（2）若，求的值（3）若为锐角，求的取值范围变式训练3：已知椭圆的短轴长为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线平行于直线，且与椭圆交于两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆，双曲线，抛物线的基本性质；（2）线段垂直的向量数量积点乘为零；（3）直角，锐角和钝角的向量表示；2、易错点：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1已知抛物线，点在抛物线上(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值2已知椭圆：经过点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.3已知抛物线过点，是抛物线的焦点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点.(1)求抛物线的方程和焦点的坐标；(2)抛物线的准线上是否存在点使，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由.4已知双曲线的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线与双曲线相交于两点.（1）求双曲线的方程；（2）若，求实数值.5已知抛物线：的焦点是圆与轴的一个交点.(1)求抛物线的方程;(2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点A、B，为坐标原点，证明：.6已知椭圆的左焦点，右顶点(1)求的方程(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：7已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆左、右顶点，、分别为椭圆上、下顶点，且四边形的面积为.（1）求椭圆的方程；2）过点的直线与椭圆相交于、（异于点、）两点，证明：.8设椭圆过，两点，O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程；(2)椭圆E的右顶点为D，直线与椭圆E交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若其满足，且直线l与以原点为圆心半径为的圆相切，求直线l的方程.9设椭圆的离心率为，点在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点到直线l距离的最大值.10已知椭圆经过一点，左、右焦点分别为，P是椭圆上一动点，当垂直于x轴时，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点，斜率为k的直线l交椭圆于两点，且为钝角（O为坐标原点），求k的取值范围.11如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为（1）求的值；（2）过点的直线与分别交于（均异于点），若为钝角，求直线的斜率的范围第四讲：向量问题（二）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和钝角）.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。1、垂直当直线时，利用向量进行数量积的翻译，即,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情况）2、向量模长当时，通过平方推导，转化为，即翻译成垂直.3、定角求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译， 向量的数量积，即.4、直角，锐角和钝角当为直角时，则；当为锐角时，则；当为钝角时，则；【考点剖析】考点一：已知垂直求参例1已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交于、两点，且求直线的方程.【答案】（1）；（2）.解析：（1）由题意可得：，即，又由，即，所以，所以，所以椭圆的方程为；（2）易知直线的斜率不为且可能不存在，故设直线的方程为，代入椭圆方程整理可得：，设、两点坐标为，则有， ，由，则有，整理可得：，所以，所以直线的方程为.变式训练1：已知椭圆标准方程为，椭圆的左右焦坐标分别为，离心率为，过点直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.解析：（1）由已知得所以椭圆标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线，得,，此时不满足；设直线方程为，设，联立方程组，所以，化简得，化简得，解得或，直线的方程是故直线的方程为或.变式训练2：在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或解析：(1)设点，由题意得，式子左右同时平方，并化简得，.所以曲线的方程为.(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与曲线的交点坐标为.所以与不垂直，即，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得由和，得.，因为，所以.所以，解得所以直线的方程为，即或.变式训练3：已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）（1）求抛物线的方程；（2）直线：与抛物线交于，两点，若，求直线的方程【答案】（1）；（2）解析：（1）由题意可得解得故抛物线的方程为（2）设，联立整理得由题意可知，则，因为，所以，则，即，整理得，解得故直线的方程为考点二：垂直（证明）例1已知抛物线的焦点与椭圆：的一个焦点重合(1)求抛物线的方程；(2)若直线：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：【答案】(1)；(2)证明见解析.解析：（1）椭圆：的焦点坐标为，即抛物线C的方程为：（2）联立方程组消去x，整理得，即,变式训练1：已知椭圆：的左右顶点分别为，右焦点为，点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析解析：（1）由题知：，将点代入方程得：，解得，椭圆C的标准方程为.（2）由(1)知，.设，则，直线的方程为，令，则，即，直线的方程为，令，则，即，即.变式训练2：已知抛物线：经过点.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：.【答案】（1）抛物线的方程为，其准线方程为；（2）证明见解析.解析：（1）由抛物线经过点，得，即.所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为.将代入，消去得，显然，设，则，.，是线段的中点，设，则，又轴，所以垂足的坐标为.则，所以，所以.变式训练3：已知抛物线：，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设点，过点作直线，与抛物线相切，切点分别为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.解析：（1）由抛物线：可得抛物线焦点，设直线的方程为：，、，由可得，所以，所以，即，解得，抛物线的方程为；（2）设直线过点且与抛物线相切，直线方程为：，由消去可得，由直线与抛物线相切可得：，即，解得或，因为，所以过点且与抛物线相切的直线.考点三：向量模长相等（垂直）例1设椭圆的离心率为，点在椭圆上(1)求椭圆的方程；(2)设的右顶点为，若直线与椭圆交于两点（不是左右顶点）且满足，求原点到直线距离的最大值.【答案】(1)；(2)解析：(1)依题意，因为，所以，将代入椭圆，则可解得，所以椭圆E的方程为(2)由（1）知，设，由知，即，当直线垂直轴时，且，故，故或2（舍去），此时点到的距离为；当直线的斜率存在时，设联立方程，得，由得，且，由得，将代入上式可得，即，所以（舍去）或，显然，则点到的距离，综上，点到的距离最大值为变式训练1：设椭圆过两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程;(2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，解析：(1)因为椭圆E: （a，b>0）过两点，所以，解得，得，所以椭圆E的方程为.(2)由（1）知，设由可知，所以，  即：所以  （）联立直线和椭圆方程，消去y，得：由所以  代入方程，可得，即得所以，所以，所以，直线l 的方程为所以，过定点或，根据题意，舍去 所以，直线过定点变式训练2：已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，到渐近线的距离为(1)求的方程；(2)若直线过，且与交于两点（异于的两个顶点），直线与直线的交点分别为是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)存在，解析：(1)双曲线一条渐近线方程为，焦点，则焦点到准线的距离，由F到渐近线的距离为可知：，由渐近线方程为知：，故，所以双曲线方程为：；(2)设直线l的方程为，联立，整理得：，设，而,则，所以，假设存在实数t，使得，则,故由方程：,令得，同理方程：,令得，所以，即，则，即，解得，故存在实数，使得.变式训练3：已知椭圆：，焦点为，过轴上的一点（）作直线交椭圆于两点.(1)若点在椭圆内，求多边形的周长；求的最小值的表达式；(2)是否存在与轴不重合的直线，使得成立？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)解析：（1）由椭圆：知，所以，根据椭圆的定义知，多边形的周长为：.设，则=，其中，令，当，即时，当即，当即，综上：.（2）存在直线l，使得成立.理由如下：设直线l的方程为，由得.，化简得.设，则，.若成立，即，等价于.所以.，化简得，即，代入中，恒成立，所以或，所以实数m的取值范围是.考点四：定角（直角）例1已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析解析：（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为：；（2）设直线的方程为：，则过原点的直线且与直线平行的直线为，因为是直线与的交点，所以，因为直线的方程与椭圆方程联立：，整理可得：，可得，即，因为，直线的方程为：，联立，解得：，由题意可得，所以，所以，即，所以，即为定值；变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线分别与直线交于点，求的大小【答案】(1)；(2)PFQ90°【分析】（1）由题意得求出a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程（2）当直线l的斜率不存在时，验证，即PFQ90°当直线l的斜率存在时，设l：yk（x1），其中k0联立得（4k2+3）x28k2x+4k2120由题意，知0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合直线MA的方程为求出、利用向量的数量积，转化求解即可(1)由题意得解得a2，c1，从而，所以椭圆C的方程为(2)当直线l的斜率不存在时，有，P（4，3），Q（4，3），F（1，0），则，故，即PFQ90°当直线l的斜率存在时，设l：yk（x1），其中k0联立得（4k2+3）x28k2x+4k2120由题意，知0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，直线MA的方程为，令x4，得，即，同理可得所以，因为0，所以PFQ90°综上，PFQ90°变式训练2：已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于、两点.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与圆相切，求的大小（为坐标原点）.【答案】(1)；(2).解析：(1)由已知可得，解得，故椭圆的方程为.(2)因为直线与圆相切，且直线的方程为，所以，即，联立，整理得，设、，则，.故，则，故.变式训练:3：设分别是椭圆的左右焦点，是椭圆的上顶点，是等边三角形，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知分别为椭圆左右顶点，位于轴两侧的分别是椭圆和圆上的两个动点，且直线与轴平行，直线分别与轴交于，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.解析：（1）是等边三角形，椭圆的方程为；（2）设点坐标，点坐标，直线方程为，坐标为，直线方程为，坐标为，分别在椭圆和圆上，.考点五：锐角和钝角例1已知点在椭圆上，的离心率为（1）求的方程；（2）设过定点的直线与交于不同的两点，且为锐角，求的斜率的取值范围【答案】（1）；（2）.解析：（1）点在椭圆上，又椭圆的离心率为，由解得，轨迹；（2）依题意可知，直线的斜率存在且不为零，设，化简整理有：，得或，且，由为锐角，或， 直线的斜率的范围是.变式训练1：已知椭圆的长轴长为，短轴长为2.（1）求椭圆的焦点坐标；（2）直线与椭圆相交于两点，点为椭圆的左焦点，若为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）解析：（1）椭圆的长轴长为，短轴长为2即可得：，焦点坐标为.（2）设AB坐标为，椭圆的左焦点F(-1,0),联立，消去的：为锐角，即解得：.实数的范围变式训练2：如图所示，椭圆：()的左右顶点分别为、，上下顶点分别为、，四边形的面积为，周长为直线：与椭圆交于不同的两点和（1）求椭圆的方程；（2）若，求的值（3）若为锐角，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）解析：（1）四边形的面积为，周长为，又，解得，故椭圆的方程为；（2）将代入椭圆方程，整理得，解得，设、，由方程，得，又，即，解得，显然满足，故；（3）由（2）知，为锐角，即，解得，又，变式训练3：已知椭圆的短轴长为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线平行于直线，且与椭圆交于两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围【答案】（1）；（2）解析：（1）由题意可得，所以，解得，所以椭圆的标准方程为（2）由于直线平行于直线，即，设直线在轴上的截距为，所以的方程为联立，得，因为直线与椭圆交于两个不同的点，所以，解得设，则，因为为钝角等价于，且，所以，即，且，所以直线在轴上的截距的取值范围：因为直线在轴上的截距，所以的取值范围是：【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆，双曲线，抛物线的基本性质；（2）线段垂直的向量数量积点乘为零；（3）直角，锐角和钝角的向量表示；2、易错点：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1已知抛物线，点在抛物线上(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值【答案】(1)；(2)解析：(1)点在抛物线上，即，抛物线的方程为；(2)设，联立，得，得，又，则，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，综上：的值为2已知椭圆：经过点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.【答案】（1）；（2）.解析：（1）由已知得，而，解得，椭圆的方程为；（2）设直线方程为代入得，化简得由，得，设，则，则设，则，则，所以在轴存在使.，所以在.3已知抛物线过点，是抛物线的焦点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点.(1)求抛物线的方程和焦点的坐标；(2)抛物线的准线上是否存在点使，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由.【答案】(1)抛物线的方程为，焦点坐标为；(2)存在，且解析：(1)将代入得，所以抛物线的方程为，焦点坐标为.(2)存在，理由如下：直线的方程为，或，即.抛物线的准线，设，即，所以.即存在点使.4已知双曲线的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线与双曲线相交于两点.（1）求双曲线的方程；（2）若，求实数值.【答案】（1）；（2）.解析：（1）由题意，抛物线的焦点，可得双曲线的，设双曲线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为.（2）由直线，联立方程组，可得，当时，即，解得且，由韦达定理：，设，由，可得，即，代入可得，整理得，解得.5已知抛物线：的焦点是圆与轴的一个交点.(1)求抛物线的方程;(2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点A、B，为坐标原点，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析解析：(1)由题意知，圆与轴的交点分别为，则抛物线的焦点为，所以，所以抛物线方程为；(2)证明：设直线为，联立方程，有，所以，所以，所以.6已知椭圆的左焦点，右顶点(1)求的方程(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：【答案】(1)；(2)证明见解析解析：（1）设椭圆的半焦距为因为椭圆的左焦点，右顶点，所以，所以，故C的方程为：；（2）设点，且，因为为线段的中点，所以，所以直线的方程为：，令，得，所以点，此时，所以，所以，所以7已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆左、右顶点，、分别为椭圆上、下顶点，且四边形的面积为.（1）求椭圆的方程；2）过点的直线与椭圆相交于、（异于点、）两点，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.解析：（1）由题设得，解得，因此，椭圆的方程为；（2）由于过点的直线与椭圆相交于、（异于点、）两点，则直线不与轴重合，可设直线的方程为，设点、，联立方程，化简得，显然点在椭圆的内部，.由韦达定理可得，又 ，同理，因此，.8设椭圆过，两点，O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程；(2)椭圆E的右顶点为D，直线与椭圆E交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若其满足，且直线l与以原点为圆心半径为的圆相切，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)或.解析：(1)椭圆过，两点，解得，椭圆E的方程为；(2)由题可得，设，由，得，即，整理得，即，解得或，满足，当时，过点D，不合题意，又直线l与以原点为圆心半径为的圆相切，或，直线l的方程为或.9设椭圆的离心率为，点在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点到直线l距离的最大值.【答案】(1)；(2)解析：(1)依题意，因为，所以，将代入椭圆，则可解得，所以椭圆E的方程为(2)由（1）知，设，由知，即，当直线垂直轴时，且，故，故或2（舍去），此时点到的距离为；当直线的斜率存在时，设联立方程，得，由得，且，由得，将代入上式可得，即，所以（舍去）或，显然，则点到的距离，综上，点到的距离最大值为10已知椭圆经过一点，左、右焦点分别为，P是椭圆上一动点，当垂直于x轴时，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点，斜率为k的直线l交椭圆于两点，且为钝角（O为坐标原点），求k的取值范围.【答案】（1）；（2）.解析：（1）由题意有，  解得  所以由题得椭圆方程为 （2），当直线斜率时，显然不合题意  当时，设直线： 联立直线与椭圆 有 设，   因为为钝角，所以.  ，且 综上，k的取值范围是.11如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为（1）求的值；（2）过点的直线与分别交于（均异于点），若为钝角，求直线的斜率的范围【答案】（1） （2）解析：（1）由上半椭圆和部分抛物公共点为，得，设的半焦距为，由及，解得；（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，易知，直线与轴不重合也不垂直，故可设其方程为，并代入的方程中，整理得：，由韦达定理得，又，得，从而求得，继而得点的坐标为，同理，由得点的坐标为，所以，最后由，与不共线，即且化为，即，且，解得，