2023年l带电粒子在电磁场中运动的科技应用63.pdf

带电粒子在电磁场中运动的科技应用 1加速器 带电粒子在电场中加速的科技应用主要是加速器。加速加速器直线加速器、回旋加速器、电子感应加速器有三种，在高考试题中，直线加速器往往不单独命题，常常与磁偏转和回旋加速器结合起来，考查单一问题的多过程问题；回旋加速器有时单独命题，也常常与直线加速器结合起来命题。例 1 1930 年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图 1 所示，这台加速器由两个铜质 D 形盒 D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是（）A离子由加速器的中心附近进入加速器 B离子由加速器的边缘进入加速器 C离子从磁场中获得能量 D离子从电场中获得能量 答案：AD 解析：离子由加速器的中心附近进入加速器，在电场中加速获得能量，在磁场中偏转时，洛伦兹力不做功，能量不变，由于进入磁场的速度越来越大，所以转动的半径也越来越大，故选项 AD 正确。例 2电子感应加速器工作原理如图 2 所示（上图为侧视图、下图为真空室的俯视图），它主要有上、下电磁铁磁极和环形真空室组成。当电磁铁绕组通以交变电流时，产生交变磁场，穿过真空盒所包围的区域内的磁通量随时间变化，这时真空盒空间内就产生感应涡旋电场。电子将在涡旋电场作用下得到加速。（1）设被加速的电子被“约束”在半径为 r 的圆周上运动，整个圆面区域内的平均磁感应强度为 B0，求电子所在圆周上的感生电场场强的大小与B0的变化率满足什么关系。（2）给电磁铁通入交变电流，一个周期内电子能被加速几次？（3）在（1）条件下，为了维持电子在恒定的轨道上加速，电子轨道处的磁场 Br应满足什么关系？解析：（1）设被加速的电子被“约束”在半径为 r 的圆周上运动，在半径为 r 的圆面上，通过的磁通量为，B0是整个圆面区域内的平均磁感应强度，电子所在圆周上的感生电场场强为。根据法拉第电磁感应定律得，感生电场的大小。（2）给电磁铁通入交变电流如图 3 所示，从而产生变化的磁场，变化规律如图 4所示（以图 2 中所标电流产生磁场的方向为正方向），要使电子能被逆时针（从上往下看，以下同）加速，一方面感生电场应是顺时针方向，即在磁场的第一个或第四个 1/4周期内加速电子；而另一方面电子受到的洛仑兹力应指向圆心，只有磁场的第一或第二个 1/4 周期才满足。所以只有在磁场变化的第一个 1/4 周期内，电子才能在感生电场的作用下不断加速。因此，一个周期内电子只能被加速一次。（3）设电子在半径为 r 的轨道上运动时，轨道所在处的磁感应强度为，而在半径为 r 的圆面区域内的平均磁感应强度为，维持电子在恒定的轨道上加速时，由牛顿第二定律得 在切线方向：，将代入得 在半径方向：化简得 将式对时间微分得 由得 即电子轨道处的磁感应强度为轨道内部平均磁感应强度的一半。2示波管 带电粒子在电场中偏转的科技应用主要有示波器、静电分选器、喷墨打印机。在近几年高考试题中，因为示波管问题只考查带电粒子在电场中的加速和偏转，单独命题较少，有时以选择题的形式呈现。但也有部分省份以该情景命制计算题。例 3 如图 5 所示为示波管的结构图，其中电极YY长 L1=5cm，间距 d1=2.5cm，其到荧光屏的距离x1=32.5 cm；电极 XX长 L2=10cm，间距 d2=2.5 cm,其到荧光屏的距离为 x2=25cm如果在电子枪上加1000V 加速电压，偏转电极 XX、YY上都没有加电压，电子束从金属板小孔射出后,将沿直线传播，打在荧光屏中心 O 点，在那里产生一个亮斑。当在偏转电极上加上电压后，试分析下面的问题：（1）在 YY电极上加 100V 电压，Y 接正；XX电极不加电压。在图中荧光屏上标出亮斑的大体位置 A。计算出 OA 的距离；（2）在 YY电极上加 100V 电压，Y 接正；XX电极上加 100V 电压，X 接正。在图中荧光屏上标出亮斑的大体位置 B。计算出 OB 的距离。解析：（1）设电子经过加速电压 U0后获得速度为 v0，由动能定理得 电子以 v0速度进入偏转电压为 U1的偏转电场，将做类平抛运动，设加速度为 a1，则有 ，设偏转角度为 1，则 由几何关系得电子的总偏移量 解得m 即 OA=3cm （2）电子在竖直方向总偏转量不变，仍为 Y，但在水平方向有偏转量，设总偏移为X，同理有m 故cm 点评：带电粒子在电场中的运动，综合了静电场和力学的知识，分析方法和力学的分析方法基本相同。先分析受力情况再分析运动状态和运动过程（平衡、加速、减速,直线或曲线），然后选用恰当的规律解题。解决这类问题的基本方法有两种，第一种利用力和运动的观点，选用牛顿第二定律和运动学公式求解；第二种利用能量转化的观点，选用动能定理和功能关系求解。3质谱仪 带电粒子在电场中加速和在磁场中偏转的科技应用主要是质谱仪，质谱仪有单聚焦质谱仪、双聚焦质谱仪、飞行时间质谱仪、串列加速质谱仪等多种，且质谱仪模型的变式较多，又能较好的考查考生的分析单一物体多过程问题的能力，为此深受命题者青睐，纵观近几年全国各地的高考试题，每年都以计算题的形式考查质谱仪模型及其变式，突显了物理与社会、科技、生活的联系，体现了新课程改革的精髓。例 4如图 6 是质谱仪的工作原理示意图。带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为 B 和 E。平板 S 上有可让粒子通过的狭缝 P 和记录粒子位置的胶片 A1A2。平板 S 下方有强度为 B0的匀强磁场。下列表述正确的是 A质谱仪是分析同位素的重要工具 B速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外 C能通过的狭缝 P 的带电粒子的速率等于 D粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝 P，粒子的荷质比越小 答案：ABC 解析：由粒子在电场中加速，可见粒子所受电场力向下，即粒子带正电，在速度选择器中，电场力水平向右，洛伦兹力水平向左，由左手定则判定，速度选择器中磁场方向垂直纸面向外，选项 B 正确；经过速度选择器时满足，可知能通过的狭缝 P的带电粒子的速率等于，带电粒子进入磁场做匀速圆周运动则有，可见当 v相同时，所以可以用来区分同位素，且 R 越大，比荷就越大，选项 D 错误。点评：此题考查了质谱仪的结构、原理和用途。难度较小，此类试题常常以选择题的形式呈现，考查考生的理解能力和推理能力。例 5如图 7 所示，板间距为、板长为的两块平行金属板 EF、GH 水平放置，在紧靠平行板右侧的正三角形区域内存在着垂直纸面的匀强磁场，三角形底边BC 与 GH 在同一水平线上，顶点 A 与 EF 在同一水平线上。一个质量为、电量为的粒子沿两板中心线以初速度水平射入，若在两板之间加某一恒定电压，粒子离开电场后垂直 AB 边从 D点进入磁场，并垂直 AC 边射出（不计粒子的重力），求：（1）上下两极板间的电势差；（2）三角形区域内磁感应强度；（3）若两板间不加电压，三角形区域内的磁场方向垂直纸面向里，要使粒子进入磁场区域后能从 AB 边射出，试求所加磁场的磁感应强度最小值。解析：（1）粒子以 v0速度进入偏转电压为 U 的偏转电场，做类平抛运动，设加速度为 a1，则有 ，解得 由几何关系得 故 由粒子带负电并且在电场中向下偏转可知，下极板带正电，板间场强的方向垂直平行板向上。所以上下两极板间的电势差 （2）如图 8 所示，垂直 AB 边进入磁场，由几何关系得，粒子离开电场时速度偏向角为，则 粒 子 离 开 电 场 时 瞬 时 速 度 的 大 小 为 由几何关系得：设在磁场中运动半径为，则 三角形区域内磁感应强度的大小为，由牛顿第二定律得，联立解得，方向为垂直纸面向外。（3）当粒子刚好与 BC 边相切时，磁感应强度最小值为，设粒子的运动半径为，如图 9 所示，由几何关系知：由牛顿第二定律得 解得，点评：此题是质谱仪的变式，将有界磁场变为三角形磁场，仍然突出考查单一物体的多过程问题。带电粒子在电场、磁场中的运动，涉及到电场、磁场的基本概念和规律，与力学中的牛顿运动定律和运动学公式、动能定理、平抛运动规律、匀速圆周运动规律等联系密切，综合性大，能充分考查考生的综合分析能力和应用数学处理物理问题的能力，历来是高考的热点。解此类问题的关键是做出带电粒子运动的轨迹图，抓住物理过程变化的转折点（列出对应的状态方程），找出粒子运动的半径与磁场边界的约束关系。4速度选择器 带电粒子在叠加场中运动的科技应用主要是速度选择器，速度选择器的变式较多，磁流体发动机、霍尔效应、电磁流量计等都可以看作是速度选择器的变式，这类变式能较好的考查考生的理解、推理、分析综合能力，纵观近几年全国各地的高考试题，每年都以计算题的形式考查速度选择器及其变式。例 6如图 10 所示的虚线区域内，充满垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场。一带电粒子 a（不计重力）以一定的初速度由左边界的 O 点射入磁场、电场区域，恰好沿直线由区域右边界的 O点（图中未标出）穿出。若撤去该区域内的磁场而保留电场不变，另一个同样的粒子 b（不计重力）仍以相同初速度由 O 点射入，从区域右边界穿出，则粒子 b（）A穿出位置一定在 O点下方 B穿出位置一定在 O点上方 C运动时，在电场中的电势能一定减小 D在电场中运动时，动能一定减小 答案：C 解析：a 粒子在电场和磁场的叠加场内做直线运动，则该粒子一定做匀速直线运动，故对粒子 a 有，即只要满足无论粒子是带正电还是负电，粒子都可以沿直线穿出复合场区，当撤去磁场只保留电场时，粒子 b 由于电性不确定，故无法判断从 O点的上方或下方穿出，故选项 AB 错误；粒子 b 在穿过电场区的过程中必然受到电场力的作用而做类似于平抛的运动，电场力做正功，其电势能减小，动能增大，故选项 C 正确 D 错误。点评：本题考查的是速度选择器，它有与被选择粒子的电性无关的特性和单向选择性。当速度大于时，粒子向洛伦兹力方向偏转，电场力做负功，电势能增加；当速度小于时，粒子向电场力方向偏转，电场力做正功，电势能减少。例 7法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究。实验装置的示意图可用图 11 表示，两块面积均为 S的矩形金属板，平行、正对、竖直地全部浸在河水中，间距为d。水流速度处处相同，大小为 v，方向水平。金属板与水流方向平行。地磁场磁感应强度的竖直分量为 B，水的电阻为，水面上方有一阻值为 R 的电阻通过绝缘导线和电建 K 连接到两金属板上。忽略边缘效应，求：（1）该发电装置的电动势；（2）通过电阻 R 的电流强度；（3）电阻 R 消耗的电功率。解析：（1）当水中流动的带电离子进入磁场后将在两板之间形成电势差，当所受到的电场力与洛伦兹力相平衡时达到稳定状态。由平衡条件得 解得该发电装置的电动势 （2）两板间河水的内阻 由闭合电路欧姆定律得 解得：（3）由电功率公式，联立解得 点评：此题是以磁流体发动机为背景的高考试题，求解发动机的电动势仍可利用解决速度选择器的方法，可见磁流体发动机为速度选择器的变式。解此类问题的关键是画出等效电路，求出电源的电动势和内阻、外电路的总电阻，然后选择恒定电流的概念和规律求解相关的电学参量。例 8利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域。如图 12 所示，将一金属或半导体薄片垂直置于磁场 B 中，在薄片的两个侧面 Ab间通以电流 I 时，另外两侧 Cf 间产生电势差，这一现象称为霍尔效应。其原因是薄片中的移动电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是 Cf 间建立起电场 EH，同时产生霍尔电势差 UH。当电荷所受的电场力与洛伦兹力处处相等时，EH和 UH达到稳定值，UH的大小与 I 和 B 以及霍尔元件厚度 d 之间满足关系式 UHRH，其中比例系数 RH称为霍尔系数，仅与材料性质有关。（1）设半导体薄片的宽度（Cf 间距）为 l，请写出 UH和 EH的关系式，若半导体材料是电子导电的，请判断图中 Cf 哪端的电势高；（2）已知半导体薄片内单位体积中导电的电子数为 n，电子的电荷量为 e，请导出霍尔系数 RH的表达式。（通过横截面积 S 的电流，其中 v 是导电电子定向移动的平均速率）；（3）图 13 是霍尔测速仪的示意图，将非磁性圆盘固定在转轴上，圆盘的周边等距离地嵌装着 m 个永磁体，相邻永磁体的极性相反。霍尔元件置于被测圆盘的边缘附近。当圆盘匀速转动时，霍尔元件输出的电压脉冲信号图像如图 14 所示。a若在时间 t 内，霍尔元件输出的脉冲数目为 P，请导出圆盘转速 N 的表达式。b利用霍尔测速仪可以测量汽车行驶的里程。除此之外，请你展开“智慧的翅膀”，提出另一个实例或设想。解析：（1）由场强与电势差关系知。导体或半导体中的电子定向移动形成电流，电流方向向右，实质是电子向左运动。由左手定则判断，电子会偏向 f 端面，使其电势低，同时相对的 c 端电势高 （2）当电场力与洛伦兹力平衡时，有 电流的微观表达式 由题意得 UHRH 解得 （3）a由于在时间 t 内，霍尔元件输出的脉冲数目为 P，则 解得圆盘转速为 b提出的实例或设想合理即可 点评：此题是以霍尔效应为背景的高考试题，求解霍尔效应中的电场强度仍可利用解决速度选择器的方法，可见霍尔效应为速度选择器的变式。解此类问题的关键是善于利用题目给定的有效信息，挖掘隐含条件，建立物理模型，真正体验“从生活走向物理，从物理走向社会”学习真谛。例 9单位时间内流过管道横截面的液体体积叫做液体的体积流量（以下简称流量）。有一种利用电磁原理测量非磁性导电液体（如自来水、啤酒等）流量的装置，称为电磁流量计。它主要由将流量转换为电压信号的传感器和显示仪表两部分组成。传感器的结构如图 15 所示，圆筒形测量管内壁绝缘，其上装有一对电极和 c，Ac 间的距离等于测量管内径 D，测量管的轴线与 Ac 的连接方向以及通电线圈产生的磁场方向三者相互垂直。当导电液体流过测量管时，在电极 Ac 间出现感应电动势 E，并通过与电极连接的仪表显示出液体流量 Q。设磁场均匀恒定，磁感应强度为 B。（1）已知m、T、m3/s，设液体在测量管内各处流速相同，试求 E 的大小（取 30）（2）一新建供水站安装了电磁流量计，在向外供水时流量本应显示为正值。但实际显示却为负值。经检查，原因是误将测量管接反了，即液体由测量管出水口流入，从入水口流出。因水已加压充满管道，不便再将测量管拆下重装，请你提出使显示仪表的流量指示变为正值的简便方法；（3）显示仪表相当于传感器的负载电阻，其阻值记为。Ac 间导电液体的电阻r 随液体电阻率的变化而变化，从而会影响显示仪表的示数。试以 E、R、r 为参量，给出电极 Ac 间输出电压 U 的表达式，并说明怎样可以降低液体电阻率变化对显示仪表示数的影响。解析：（1）画出测量管的截面图（从原图有左向右侧面看）如图 16 所示，正离子垂直于纸面向里运动，根据左手定则，受洛仑兹力指向 a；负离子垂直于纸面向里运动，根据左手定则，受洛仑兹力指向 c，则 a 边聚集正电荷，c 边聚集负电荷，形成电压，当电压稳定时，电场力与洛伦兹力平衡。由平衡条件得 由流量的定义，有 Q=Sv=联立解得 代入数据得 V （2）能使仪表显示的流量变为正值的方法简便，合理即可。如：改变通电线圈中电流的方向，使磁场 B 反向；或将传感器输出端 a 与 c 对调接入显示仪表。（3）传感器和显示仪表构成闭合电路，由闭合电路欧姆定律 又有 解得 输入显示仪表的是 a、c 间的电压 U，流量示数和 U 一一对应，E 与液体电阻率无关，而 r 随电阻率的变化而变化，由式可看出，r 变化相应地 U 也随之变化。在实际流量不变的情况下，仪表显示的流量示数会随 a、c 间的电压 U 的变化而变化，增大 R，使，则 UE，这样就可以降低液体电阻率变化对显示仪表流量示数的影响。点评：此题是以电磁流量计为背景的高考试题，求解电磁流量计中的电场强度仍可利用解决速度选择器的方法，可见电磁流量计为速度选择器的变式。解此类问题的关键一是善于利用降维策略，将立体图形平面化；二是读懂题意，将复杂的情景模型化，转化为电路问题。此题深刻考查了洛伦兹力中三个方向的关系，较好的考查了从科技情景建立物理模型的能力。