2023年上海高一下学期数学同步讲义第13讲向量的应用含详解.pdf

第 13 讲 向量的应用 知识梳理 1、平面向量分解定理：如果21,ee是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量,a有且只有一对实数21,，使2211eea 我们把不平行的向量21,ee叫做这一平面内所有向量的一组基 注意：（1）基底不共线；（2）将任一向量a在给出基底21,ee的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，21,是被,a21,ee唯一确定的数量 几何角度证明：如图，在平面内取一点 O，作 OAa，OBb，OCc，再作直线 OA、OB 设点 C 不在直线 OA 和 OB 上，过点 C 分别作直线 OA、OB 的平行线，由于向量,a b不平行，可知所作两直线分别与直线 OB、OA 有唯一的交点，记为 N、M 作向量OM、ON 因为/OMa，所以存在唯一的实数 x，使 OMxa 因为/ONb，所以存在唯一的实数 y，使 ONyb 而四边形 OMCN 是平行四边形，因此OCOMONxayb 即=cxayb 如果点 C 在直线 OA 或 OB 上，那么/,ca或/cb 这时得0cxaxab或0cybayb所以c关于a、b 的分解式总是确定的 代数角度：证明唯一性：（1）当0a时，21000ee（2）当0a时，假设1122aee，则有1 122ee=1122ee,111222()()0ee 由于21,ee不平行，故1122()0,()0，即1122,2、重要结论 设 OA OB、不平行，点P在AB上存在实数，使得OPOAOB1()R且，证明：如图，设向量,APABPBAB，1APPBAB OPOAAPOAABOAOBOA1OAOB OAOB【,的正负可以给学生讲一下】3、平面向量和三角形四心（1）0GCGBGAG是ABC的重心 证法 1：设),(),(),(),(332211yxCyxByxAyxG 0GCGBGA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx 33321321yyyyxxxx G是ABC的重心 证法 2：如图GCGBGA02GDGA GDAG2 DGA、三点共线，且G分AD为 2：1 G是ABC的重心 （2）设a,b,c是三角形的三条边长，I是ABC 的内心OICcIBbIAa0为ABC的内心 证明：0ICcIBbIAa 0)(ACcABbIAcba cbabcAI（bACcAB)bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC,IA为ABC中A的角平分线，同理可证IB为ABC中B的角平分线，IC为ABC中A的角平分线。点 I为ABC的内心。（3）HAHCHCHBHBHAH为ABC的垂心 证明：如图所示H是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足 0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB 同理BCOA，ABOC （4）OCOBOAO为ABC的外心。（5）四心重要的结论：、外心（外接圆圆心O 中垂线的交点）ROCOBOA（R为外接圆半径）推广：（D为BC的中点，G为ABC的重心）*圆心角是圆周角的两倍*02sin2sin2sinOCCOBBOAA、重心（G 中线的交点）0GAGBGC 1()3OGOAOBOC or 若112233,A x yB xyC x y，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG 重心分每条中线分为 2：1 的两短、内心（内切圆圆心I 角平分线的交点）()(0)|ACABAIABAC 注：表示为A的角平分线 0c ICa IAb IB 、垂心（H 角平分线的交点）HA HBHB HCHC HA*0tantantanHCCHBBHAA 4、运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系 例题解析 1、平面向量的分解定理 例 1.华师大二附中高二（上）期中12下列有关平面向量分解定理的四个命题中：一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；平面向量的基向量可能互相垂直；一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合 正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4 例 2位育中学期中13平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为 120，OA与OC的夹角为 30，且|OA|OB|1，|OC|2 3，若OCOAOB(，R)，则的值为_ 例 3.普陀区晋元中学期中16如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OCmOAnOB，则mn的取值范围是()A(0,1)B(1，)C(，1)D(1,0)例 4.如图，在ABC中，AF13AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E若ABa，ACb，且CExayb，则xy_ 例 5.如图，设向量OA(3，1)，OB(1，3)，若OCOAOB，且1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是()例 6.华师大二附中期中18已知M为ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设ACyAQABxAP，记)(xfy （1）求函数)(xfy 的表达式；（2）求ABCAPQSS的取值范围 例 7.在OAB 中,C 为 OA 上的一点,且是 BC 的中点,过点 A 的直线 OD,P是直线 上的动点,则=_ 例 8.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为 90如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动若OCxOAyOB，其中x、yR，则xy的最大值是_ 例 9.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O，其中x、y分别为点O到两个顶点的向量；若将点O到正六角星 12 个顶点的向量，都写成axby的形式，则ab的最大值为()A 3 B 4 C 5 D 6 【巩固训练】1建平中学期中6已知直角坐标平面内的两个向量1 2a(,)、13bmm(-,)使得平面内的任意一个向量c都可以唯一分解成cab，则m的取值范围是 2莘庄中学等四校联考期中10如图，在中，、分别为边、的中点 为边上的点，且，若，则的值为 ABCDEBCACFAB3ABAFADxAFyAE,x yRxy 3位育中学监控考试11在ABC中，ACmABAM41，向量AM的终点M在ABC的内部(不含边界)，则实数m的取值范围是_ 4若直线l上不同的三个点A，B，C与直线l外一点O，使得x2OAxOB2BC成立，则满足条件的实数x的集合为()A1，0 B 1 52，1 52 C 1 52，1 52 D 1 5普陀区晋元中学期中16如图，在ABC中，13AMAB，14ANAC，BN与CM交于点E，若AExAByAC，则xy_ 6复旦大学附属中学期中21如图，数轴,x y的交点为O，夹角为，与x轴、y轴正向同向的单位向量分别是12,e e。由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量OP，存在唯一的有序实数对,x y，使得12OPxeye，我们把,x y叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系xOy中的坐标）（1）若90，OP为单位向量，且OP与1e的夹角为120，求点P的坐标；（2）若45，点P的坐标为1,2，求向量OP与1e的夹角 ENABCM7（1）在OAB中，点PQ、分别在OAOB、上，线段PQ过三角形ABO的重心G，设OAa，OBb，OPma，OQnb，试求mnmn的值（2）在ABC中，点M是AB的中点，点N是AC上一点，且13ANAC，BN与CM相交于点E，设ABa，ACb，试用ab、表示AE 8 如图，在ABC中，BO为边AC上的中线，2BGGO，设CDAG，若15ADABAC()R，则的值为 9在直角ABC 中，C是直角，CA=4，CB=3，ABC 的内切圆交 CA，CB 于点 D，E，点 P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）若CEyCDxCP，则yx的值可以使()A 1 B 2 C 4 D 8 10如图所示，在边长为 2 的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为 1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量(,APmABnAF m n为实数），则mn的最大值为_ ABCDOG 2、平面向量与“四心”一、单选题 例 1（2020湖北武汉市第十一中学高一月考）已知O是ABC所在平面内的一定点，动点P满足,(0,)|ABACOPOAABAC，则动点P的轨迹一定通过ABC的（）A内心 B外心 C重心 D垂心 例 2（2021上海金山区高三一模）已知ABC的外接圆圆心为O，120A，若AOxAByAC(x，yR)，则xy的最小值为（）A12 B23 C32 D2 例 3（2021全国高三专题练习）已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC，0NANBNC，且PA PBPB PCPC PA，则点O，N，P依次是ABC的_（填三角形的四心）例 4（2021全国高三专题练习）已知O是平面上一定点，满足()|cos|cosABACOPOAABBACC，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的_（外心、垂心、重心、内心）例 5（2020上海徐汇区位育中学高二月考）设H是ABC的垂心，且3450HAHBHC，则cosABC_.例 6.已知 O 是面上一定点，CBA、是面上ABC的三个顶点，CB ,分别是边ABAC,对应的角 动点P满足OAOPPCPB，则ABC的 心一定在满足条件的P点集合中 动点P满足OAOP)0)(ACACABAB，则ABC的 心一定在满足条件的P点集合中 动点P满足OAOP)0)(sinsin(CACACBABAB，则ABC的 心一定在满足条件的P点集合中 动点P满足OAOP)0)(coscos(CACACBABAB，则ABC的 心一定在满足条件的P点集合中 动点P满足则的 心一定在满足条件的P点集合中 例 7.已知点O是ABC的重心，内角ABC、所对的边长分别为abc、，且2 3203a OAb OBc OC，则角C的大小是 例 8.已知是ABC内心，若2155AOABAC，则cosBAC=例 9.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|AC|AC|)BC=0 且AB|AB|AC|AC|12，则ABC为()A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 例 10.位育中学监控考试21 已知ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设APQ的面积为1S，ABC的面积为2S，PBpAP，QCqAQ，(1)求GCGBGA；(2)求qppq的值；(3)求21SS的取值范围【巩固训练】1已知点 O、N、P 在所在平面内，且，则点 O、N、P 依次是的（）A重心、外心、重心 B重心、外心、内心 C外心、重心、重心 D外心、重心、内心 2已知ABC的外接圆的圆心为O，半径为 1，若 3OA4OB5OC0，则AOC的面积为()A25 B12 C310 D65 3 已 知中，是重 心，且，则 4设G是ABC重心，且0)sin35()sin40()sin56(GCCGBBGAA，则B_ 5设A，B，C为直线l上不同的三点，O为直线l外一点若pOAqOBrOC0(p，q，rR)，则pqr()A1 B0 C1 D3 6 上海实验学校期中 9已知满足，是的外心，则的面积是 7（徐汇一模）已知O是锐角ABC的外心，1tan2A，若，则实数 ；备选题：与三角形“四心”相关的向量问题 题 1：已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足|ABACOPOAABAC,0,)则 P 点的轨迹一定通过ABC 的()A.外心 B 内心 C 重心 D 垂心 题 2：已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()OPOAABAC,0,)则 P 点的轨迹一定通过ABC 的()A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 题 3：已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()|sin|sinABACOPOAABBACC,0,),则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A 重心 B 垂心 C 外心 D 内心 题 4：已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()|cos|cosABACOPOAABBACC,0,),则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A 重心 B 垂心 C 外心 D 内心 题 5：已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()2|cos|cosOBOCABACOPABBACC,0,),则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()ABC|3AB|4AC OABC12AOABAC()RABCA.重心 B 垂心 C 外心 D 内心 题 6：三个不共线的向量,OA OB OC满足()|ABCAOAABCA=(|BAOBBA+|CBCB)=()|BCCAOCBCCA=0，则 O 点是ABC 的()A 垂心 B 重心 C 内心 D 外心 题 7：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若OAOBOC=0,则 O 点是ABC 的()A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 题 8：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若1()3POPAPBPC(其中 P 为平面上任意一点),则 O 点是ABC 的()A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 题 9：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若OA OBOB OCOC OA，则 O 点是ABC 的()A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 题 10：已知 O 为ABC 所在平面内一点，满足2222|OABCOBCA=22|OCAB，则 O 点是ABC 的()A 垂心 B 重心 C 内心 D 外心 题 11：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若()OAOBAB=()OBOCBC=()OCOACA=0，则 O 点是ABC 的()A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 题 12：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若aOAbOBcOC=0，则 O 点是ABC 的()A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 题 13：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若aPAbPBcPCPOabc(其中 P 是ABC所在平面内任意一点)，则 O 点是ABC 的()A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 题 14：ABC 的外接圆的圆心为 O，两边上的高的交点为 H，OH=()m OAOBOC，则实数 m=_ 题 15：已知 O 为ABC 所在平面内一点，满足|2|OBOCOBOCOA，则ABC一定是()A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 三、平面向量与其他模块知识综合应用 例 1.函数ysin(x)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且OMON0，则函数f(x)的最小正周期是_ 例 2.华师大二附中期中10已知)sin,cos1()sin,cos1(ba，)0,1(,c)2,(),0(，a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，且321，求2sin 例 3.平面上三点不共线，设,则的面积等于（）A B C D 例4.上 海 实 验 学 校 期 中 19 对 于 一 组 向 量，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”；（1）设，若是向量组的“向量”；（2）若，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；,O A B,OAa OBbOAB222()aba b222()aba b2221()2aba b2221()2aba b123,.,na a aa*()nN123.nnSaaaapa(1,2,3.,)pn|pnpaSapah(,)nan nx*()nN3a123,a a ah11(),(1)3nnna*()nN123,.,na a aa*()nNh例 5.华师大二附中期中13对于向量iAP（i=1，2，n），把能够使得|1AP|+|2AP|+|nAP|取到最小值的点P称为Ai（i=1，2，n）的“平衡点”如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点下列结论中，正确的是（）AA、C 的“平衡点”必为 O BD、C、E 的“平衡点”为 D、E 的中点 CA、F、G、E 的“平衡点”存在且唯一 DA、B、E、D 的“平衡点”必为 F 例 6.已知向量,a b，满足2aba b，且，则的最小值为_【巩固训练】1（2021上海高一专题练习）三条直线1l、2l、3l两两平行，1l到2l的距离为1，2l到3l的距离为2，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为_.2（2020上海高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F，且12,F F与水平夹角均为45，1210 2NFF，则物体的重力大小为_N.3（2019宝山区上海交大附中高二月考）在一个平面内，一质点O受三个力1F、2F、3F的作用保持平衡（即1F、2F、3F的和为零向量），其中3F与2F的夹角为，3F与1F的夹角为.（1）若120，150，310F，求力1F、2F的大小；（2）若123:1:2:3FFF，求与.（用反三角函数表示）4（2021上海高一专题练习）如图所示，四边形 ABCD 中，AB=DC，N，M 是 AD，BC上的点，且CN=MA.求证：DN=MB.5在ABC中，已知ABACtan A，当A6时，ABC的面积为_ 6已知向量a(1，1)，b(1，1)，c(2cos，2sin)(R)，实数m，n满足manbc，则(m3)2n2的最大值为_ 7已知等差数列an的前n项和为Sn，若OBa1OAa200OC，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于_ 8上师大附中期中考试14设A是平面向量的集合，a是定向量，对Ax，定义axaxxf)(2)(现给出如下四个向量：)0,0(a，42,42a，22,22a，23,21a 那么对于任意x、Ay，使yxyfxf)()(恒成立的向量a的序号是_ 9设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PBPCP0BP0C，则()A.ABC90 B.BAC90 C.ABAC D.ACBC 反思总结 1向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题 2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法 3注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价 4注意向量共线和两直线平行的关系 5利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况 第 13 讲 向量的应用 知识梳理 1、平面向量分解定理：如果21,ee是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量,a有且只有一对实数21,，使2211eea 我们把不平行的向量21,ee叫做这一平面内所有向量的一组基 注意：（1）基底不共线；（2）将任一向量a在给出基底21,ee的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，21,是被,a21,ee唯一确定的数量 几何角度证明：如图，在平面内取一点 O，作 OAa，OBb，OCc，再作直线 OA、OB 设点 C 不在直线 OA 和 OB 上，过点 C 分别作直线 OA、OB 的平行线，由于向量,a b不平行，可知所作两直线分别与直线 OB、OA 有唯一的交点，记为 N、M 作向量OM、ON 因为/OMa，所以存在唯一的实数 x，使 OMxa 因为/ONb，所以存在唯一的实数 y，使 ONyb 而四边形 OMCN 是平行四边形，因此OCOMONxayb 即=cxayb 如果点 C 在直线 OA 或 OB 上，那么/,ca或/cb 这时得0cxaxab或0cybayb所以c关于a、b 的分解式总是确定的 代数角度：证明唯一性：（1）当0a时，21000ee（2）当0a时，假设1122aee，则有1 122ee=1122ee,111222()()0ee 由于21,ee不平行，故1122()0,()0，即1122,2、重要结论 设 OA OB、不平行，点P在AB上存在实数，使得OPOAOB1()R且，证明：如图，设向量,APABPBAB，1APPBAB OPOAAPOAABOAOBOA1OAOB OAOB【,的正负可以给学生讲一下】3、平面向量和三角形四心（1）0GCGBGAG是ABC的重心 证法 1：设),(),(),(),(332211yxCyxByxAyxG 0GCGBGA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx 33321321yyyyxxxx G是ABC的重心 证法 2：如图GCGBGA02GDGA GDAG2 DGA、三点共线，且G分AD为 2：1 G是ABC的重心 （2）设a,b,c是三角形的三条边长，I是ABC 的内心OICcIBbIAa0为ABC的内心 证明：0ICcIBbIAa 0)(ACcABbIAcba cbabcAI（bACcAB)bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC,IA为ABC中A的角平分线，同理可证IB为ABC中B的角平分线，IC为ABC中A的角平分线。点 I为ABC的内心。（3）HAHCHCHBHBHAH为ABC的垂心 证明：如图所示H是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足 0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB 同理BCOA，ABOC （4）OCOBOAO为ABC的外心。（5）四心重要的结论：、外心（外接圆圆心O 中垂线的交点）ROCOBOA（R为外接圆半径）推广：（D为BC的中点，G为ABC的重心）*圆心角是圆周角的两倍*02sin2sin2sinOCCOBBOAA、重心（G 中线的交点）0GAGBGC 1()3OGOAOBOC or 若112233,A x yB xyC x y，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG 重心分每条中线分为 2：1 的两短、内心（内切圆圆心I 角平分线的交点）()(0)|ACABAIABAC 注：表示为A的角平分线 0c ICa IAb IB 、垂心（H 角平分线的交点）HA HBHB HCHC HA*0tantantanHCCHBBHAA 4、运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系 例题解析 1、平面向量的分解定理 例 1.华师大二附中高二（上）期中12下列有关平面向量分解定理的四个命题中：一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；平面向量的基向量可能互相垂直；一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合 正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4【难度】【答案】B【解答】一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，错误，正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，错误 综上，正确的命题是故选：B 例 2位育中学期中13平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为 120，OA与OC的夹角为 30，且|OA|OB|1，|OC|2 3，若OCOAOB(，R)，则的值为_【难度】【答案】(4,2)【解析】方法一 如图，OCOB1OA1，|OB1|2，|OA1|B1C|4，OC4OA2OB6 方法二 由OCOAOB，两边同乘OC，得OC2OAOC0，4 OC4OAOB，两边同乘OA，得OCOA4OAOB，即 34(12)2 6 方法三 以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0)，C(2 3cos 30，2 3sin 30)，B(cos 120，sin 120)即A(1,0)，C(3，3)，B(12，32)由OCOAOB得，123，32 3.246 例 3.普陀区晋元中学期中16如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OCmOAnOB，则mn的取值范围是()A(0,1)B(1，)C(，1)D(1,0)【难度】【答案】D【解析】依题意，由点D是圆O外一点，可设BDBA(1)，则ODOBBAOA(1)OB 又C，O，D三点共线，令ODOC(1)，则OCOA1OB(1，1)，所以m，n1故mn11(1,0)故选 D 例 4.如图，在ABC中，AF13AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E若ABa，ACb，且CExayb，则xy_ 【难度】【答案】12【解析】如图，设FB的中点为M，连接MD 因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MDCF 因为AF13AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点 方法一 因为ABa，ACb，D为BC的中点，所以AD12(ab)所以AE12AD14(ab)所以CECAAEACAEb14(ab)14a34b所以x14，y34，所以xy12 方法二 易得EF12MD，MD12CF，所以EF14CF，所以CE34CF 因为CFCAAFACAFb13a，所以CE34(b13a)14a34b 所以x14，y34，则xy12 例 5.如图，设向量OA(3，1)，OB(1，3)，若OCOAOB，且1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是()【难度】【答案】D【解析】设C(x，y)OCOAOB(3，1)(1，3)(3，3)，x3，y3，解得3xy8，3yx8.1，xy，x3y80，故选 D 例 6.华师大二附中期中18已知M为ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设ACyAQABxAP，记)(xfy （1）求函数)(xfy 的表达式；（2）求ABCAPQSS的取值范围【难度】【解答】（1）如图所示：D 为 BC 的中点，M 为 AD 的中点，=（）=，又PQM 三点共线，故=+（1）=，故，故=1，即 y=f（x）=，（x1）（2）设ABC 的面积为 1，则APQ 的面积S=xy=，（x1）故当 x=时，S 取最小值，当 x=，或 x=1 时，S 取最大值，故，例 7.在OAB 中,C 为 OA 上的一点,且是 BC 的中点,过点 A的直线 OD,P是直线 上的动点,则=_ 【难度】【答案】23【解析】方法一 由D是BC的中点，OCOBOD2121 又直线 OD，即 方法二 特殊法 不妨点P在点A上，例 8.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为 90如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动若OCxOAyOB，其中x、yR，则xy的最大值是_ 【难度】【答案】2【解析】方法一：设AOC，则COB90，OCcos OAsin OB，即 xcos ysin xycos sin 2sin4 2 方法二：上述方法一可以建立坐标系，通过坐标的形式表示出来。（推荐此方法）方法三：连接 AB，在弧 AB 上的点 C 做直线和 AB 平行的直线，当点 C 在弧 AB 中点时，做的直线与直线 AB 相距最远，此时xy取得最大值。方法四：OCxOAyOB两边平方后得2)(1222yxyx xy 2 方法五：OCxOAyOB两边分别同乘OA，OB得OCOA=x，OCOB=y 设AOC，则COB90，xyOCOA+OCOB=cos sin 2sin4 2 例 9.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O，其中x、y分别为点O到两个顶点的向量；若将点O到正六角星 12 个顶点的向量，都写成axby的形式，则ab的最大值为()A 3 B 4 C 5 D 6 【难度】【答案】C【巩固训练】1建平中学期中6已知直角坐标平面内的两个向量1 2a(,)、13bmm(-,)使得平面内的任意一个向量c都可以唯一分解成cab，则m的取值范围是 【难度】【答案】),5()5,(2莘庄中学等四校联考期中10如图，在中，、分别为边、的中点 为边上的点，且，若，则的值为 【难度】【答案】3位育中学监控考试11在ABC中，ACmABAM41，向量AM的终点M在ABC的内部(不含边界)，则实数m的取值范围是_【难度】【答案】)43,0(4若直线l上不同的三个点A，B，C与直线l外一点O，使得x2OAxOB2BC成立，则满足条件的实数x的集合为()A1，0 B 1 52，1 52 C 1 52，1 52 D 1【难度】【答案】D ABCDEBCACFAB3ABAFADxAFyAE,x yRxy52【解析】由x2OAxOB2BC2(OCOB)可得，OCx22OAx21OB，由A，B，C共线知，x22x21 1，解得x1 或x0(舍)，5普陀区晋元中学期中16如图，在ABC中，13AMAB，14ANAC，BN与CM交于点E，若AExAByAC，则xy_ 【难度】【答案】511 6复旦大学附属中学期中21如图，数轴,x y的交点为O，夹角为，与x轴、y轴正向同向的单位向量分别是12,e e。由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量OP，存在唯一的有序实数对,x y，使得12OPxeye，我们把,x y叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系xOy中的坐标）（1）若90，OP为单位向量，且OP与1e的夹角为120，求点P的坐标；（2）若45，点P的坐标为1,2，求向量OP与1e的夹角【难度】【答案】（1）13,22；（2）arccos2 55 7（1）在OAB中，点PQ、分别在OAOB、上，线段PQ过三角形ABO的重心G，设OAa，OBb，OPma，OQnb，试求mnmn的值（2）在ABC中，点M是AB的中点，点N是AC上一点，且13ANAC，BN与CM相交于点E，设ABa，ACb，试用ab、表示AE【难度】【答案】（1）3；（2）2155AEab ENABCM8 如图，在ABC中，BO为边AC上的中线，2BGGO，设CDAG，若15ADABAC()R，则的值为 【难度】【答案】56 9在直角ABC 中，C是直角，CA=4，CB=3，ABC 的内切圆交 CA，CB 于点 D，E，点 P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）若CEyCDxCP，则yx的值可以使()A 1 B 2 C 4 D 8 【难度】【答案】B 10如图所示，在边长为 2 的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为 1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量(,APmABnAF m n为实数），则mn的最大值为_ 【难度】【答案】5 2、平面向量与“四心”一、单选题 例 1（2020湖北武汉市第十一中学高一月考）已知O是ABC所在平面内的一定点，ABCDOG动点P满足,(0,)|ABACOPOAABAC，则动点P的轨迹一定通过ABC的（）A内心 B外心 C重心 D垂心【答案】A【分析】nn表示的是n方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点P在BAC的角平分线上，故动点P必过三角形的内心.【详解】如图，设ABAFAB，ACAEAC，已知,AF AE均为单位向量，故四边形AEDF为菱形，所以AD平分BAC，由,(0,)|ABACOPOAABAC 得APAD，又AP与AD有公共点A，故,A D P三点共线，所以点P在BAC的角平分线上，故动点P的轨迹经过ABC的内心.故选：A.例 2（2021上海金山区高三一模）已知ABC的外接圆圆心为O，120A，若AOxAByAC(x，yR)，则xy的最小值为（）A12 B23 C32 D2【答案】D【分析】设OA与BC 交点为E，则AEABAC其中1，由于RAOxAByACABACROE，得RRxyROEROE，因为2ROER 故xy的最小值可得.【详解】设OA与BC 交点为E，设OEm，圆的半径为R，D为BC中点，如图所示：则RAOAERm，设AEABAC，因为,B C E三点共线，则1 所以RAOxAByACABACRm，故RRxyRmRm 因为120A，则60COD所以1cos602ODRR 则2RmR，故22RRRRmR 所以xy的最小值为 2 故选：D【点睛】设AEABAC，因为,B C E三点共线，则1，得RRxyRmRm是解题的关键.例 3（2021全国高三专题练习）已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC，0NANBNC，且PA PBPB PCPC PA，则点O，N，P依次是ABC的_（填三角形的四心）【答案】外心、重心、垂心【分析】由OAOBOC结合外接圆的性质得出O是ABC外接圆的圆心，取BC中点D，利用向量运算确定N为ABC三边中线的交点，从而判断N为重心，由0PA PBPB PC得出0CA PB，即PBAC，再由,PCAB PABC判断P是三角形的垂心.【详解】由题：OAOBOC，所以O是ABC外接圆的圆心 取BC中点D，0NANBNC，2NANBNCND ，即NA所在直线经过BC中点D，与中线共线，同理可得,NB NC分别与,AC AB边的中线共线，即N是三角形三条中线交点，即重心 PA PBPB PC，0PA PBPB PC，0PAPCPB，0CA PB 即PBAC，同理可得,PCAB PABC，即P是三角形的垂心.故答案为：外心、重心、垂心【点睛】方法点睛：1、O是ABC的重心0OAOBOC；2、O是ABC的外心OAOBOC；3、P是ABC的垂心PA PBPB PCPC PA 例 4（2021全国高三专题练习）已知O是平面上一定点，满足()|cos|cosABACOPOAABBACC，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的_（外心、垂心、重心、内心）【答案】垂心【分析】将()|cos|cosABACOPOAABBACC，转化为()|cos|cosABACAPABBACC，再结合夹角公式，由()|cos|cosABACBCABBACC判断.【详解】()|cos|cosABACOPOAABBACC，()|cos|cosABACOPOAABBACC，即()|cos|cosABACAPABBACC，cosBA BCBBA BC，cosCA CBCCA CB，()0|cos|cosABACBCBCBCABBACC，BC与()|cos|cosABACABBACC垂直，即APBC，点P在BC的高线上，即P的轨迹过ABC的垂心.故答案为：垂心【点睛】关键点点睛：本题关键是对三角形“四心”的意义要明确，“外心”是三边垂直平分线的交点；“内心”是三角平分线的交点；“垂心”是三边上高线的交点；“旁心”是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点.例 5（2020上海徐汇区位育中学高二月考）设H是ABC的垂心，且3450HAHBHC，则cosABC_.【答案】10521【分析】利用三角形的垂心与向量的关系得解.【详解】先证明：已知O是ABC内的一点，,BOCAOCAOB的面积分别为AS，BS，CS，求证：0ABCSOASOBSOC 证明：如图 2 延长OA与BC边相交于点D则 图 1 图 2 BODABDBODCABDACDCODACDCODBSSSSSBDDCSSSSS OD DCBCOBBDBCOCBBCSSSOBCBCSSSOC BODCODBODCODABOACOABOACOABCSSSSSODOASSSSSS ABCSODSS O