备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题28 平面向量的数量积求解两法.doc
1专题专题 2828 平面向量的数量积求解两法平面向量的数量积求解两法【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现关于数量积的运算，除上一专题介绍的利用投影定义，本专题继续介绍两种方法两种方法，一是遇到几何图形中计算某两个向量, a b 数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（, a b 模长，夹角） ，那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将, a b 两个向量表示出来，进而进行运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.二是若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等） ，易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解.（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：1、平面向量基本定理：若向量12e e ，为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量a ，均存在唯一一对实数12, ，使得1 122aee .其中12e e ，成为平面向量的一组基底.（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）2、向量数量积运算cosa bab ，其中为向量, a b 的夹角3、向量夹角的确定：向量, a b 的夹角指的是将, a b 的起点重合所成的角，0,其中0：同向 ：反向 2：ab4、数量积运算法则：（1）交换律：a bb a （2）系数结合律： a bababR （3）分配律：abca cb c 因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：例如：2222abaa bb 0abab5、若1 1221 122+,+aee bee ，则221 1221 12211 1222122112+=a beeeeeee e 2由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将, a b 用基底表示出来，则可计算a b （二）选择合适基底解题的步骤与技巧：1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知. .常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有：（1）向量的加减运算（2） “爪”字型图：在ABCA中，D是BC上的点，如果:BDCDm n，则mnADACABmnmn ，其中,AD AB AC 知二可求一.特别的，如果AD是BC边上的中线，则11 22ADACAB mnABCD3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角（二）平面向量的坐标运算1、向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量12,e e 不共线，则对于平面上的任一向量a ，存在, x yR，使得12axeye ，且这种表示唯一.其中12,e e 称为平面向量的一组基底，而有序实数对, x y称为在12,e e 基底下的坐标（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底, i j ，在方向上它们分别与, x y轴的正方向同向，在长度上，1ij ，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量a ，均有axiy j ，其坐标为, x y，从图上可观察到恰好是将向量a 起点与坐标原点重合时，终点的坐标（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设1122,A x yB xy，则2121,ABxx yy （可记为“终”“起” ） ，所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求.另外, ,A B AB 三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点3的坐标的坐标2、向量的坐标运算：设1122,ax ybxy ，则有：（1）加减运算：1212,abxxyy（2）数乘运算：11,axy（3）数量积运算：1212a bx xy y （4）向量的模长：22 11axy3、向量位置关系的判定：（1）平行：1221abx yx y （2）垂直：121200aba bx xy y （3）向量夹角余弦值：12122222 1122cos,a bx xy ya b abxyxy 4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解.但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解.如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（30 ,45 ,60 ,120等）【经典例题经典例题】例 1.【2019 届浙江省金华十校 4 月模拟】已知平面内任意不共线三点 ， ， ，则的值为（ ） + + A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 以上说法都有可能【答案】B【解析】 + + 4=1 2( + + ).=1 2( 2 2 2) 3 1【解析】因为的夹角为锐角，所以解得，又当时，不符合题意，, = + 3 > 0 > 3 = 1= 0所以且. > 3 111 【2019 届浙江省嘉兴市高三 4 月模拟】已知，向量 满足.当的夹角最大时，| = 22| | = ,_| =【答案】2 2【解析】设，即= 2| | = 4|2 8 + 4|2= ( )2，所以，此时，故答案4|22 16| + 16 = 04 = |2 +4| 4= 4| = 2 2为.2 212 【2019 届河北省武邑中学高三一模】在中，分别是角的对边，向量，向, =(2 + ,)量，且. =(,) = 0（1）求 的大小；（2）若，求的最小值. =3| + |【答案】(1);(2)1. =2 316由正弦定理得，2 + + = 0，2 + ( + )= 0.(2 + 1)= 0，, (0,) 0, =1 2 =2 3点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数2= 2+ 2 2coscos =2+ 2 2 2有关的问题时，还要记住， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.30°45°60°
