备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题38 数列中的不等问题.doc

1专题专题 3838 数列中的不等问题数列中的不等问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法” ，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解.本专题举例说常见数列不等问题的求解方法.（一）数列中的不等关系1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性.由于nN ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为0, 的函数，得到函数的单调性后再结合nN得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与 0 比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与 1 比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的 ,nnab是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理.比如：含n的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n项和nS也可看做数列 12:,nnSS SS等等.4、对于某数列的前n项和 12:,nnSS SS，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决.也可以考虑相邻项比较.在相邻项比较的过程中可发现：1nnnaSS，所以 nS的增减由所加项na的符号确定.进而把问题转化成为判断na的符号问题.（二）利用放缩法证明不等式1、放缩法证明数列不等式的理论依据不等式的性质：（1）传递性：若,ab bc，则ac（此性质为放缩法的基础，即若要证明ac，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b，使得ab，从而将问题转化为只需证明bc即可 ）（2）若,ab cd，则acbd，此性质可推广到多项求和：2若 121 ,2 ,nafafaf n，则: 1212naaafff n （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0abcd，则acbd，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： 等差数列求和公式：1 2n naaSn，naknm（关于n的一次函数或常值函数） 等比数列求和公式：1111nnaqSqq，n nak q（关于n的指数类函数） 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧： 在数列中， “求和看通项” ，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向） 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢. 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩.从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试.（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧： 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项） 等比数列：所面对的问题通常为“nS 常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足0,1q ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手， ，常数可视为1 1a q的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号3的方向是否符合条件即可. （4）与数列中的项相关的不等式问题： 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即 1nnaaf n或 1nnaf na（累乘时要求不等式两侧均为正数） ，然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为na，另一侧为求和的结果，进而完成证明3、常见的放缩变形：（1）2111 11n nnn n，其中2,nnN：可称21 n为“进可攻，退可守” ，可依照所证不等式不等号的方向进行选择.注：对于21 n，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：22111111 111211nnnnnn，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如：2221141111 141 21212 2121 4nnnnnnn（2）12 nnn，从而有：212212111nnnnnnnnn注：对于1 n还可放缩为：12,2,nnnnNn（3）分子分母同加常数：0,0 ,0,0bbmbbmbamabmaamaam此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.（4） 1212222 21212122212121nnnnnnnnnnn41112,2121nnnnN 可推广为： 121111111nnnnnnnnnnnkkkk kkkkkkkk1112,2, ,11nnnkk nNkk 【经典例题经典例题】例 1.【2019 届福建省莆田市第二次检测】设等差数列的前 项和为，若，则取最大值时 的值为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 13【答案】B【解析】分析：首先利用求和公式，根据题中条件，确定出，从而根据对于首项大于零，公差小于零时，其前 项和最大时对应的条件就是，从而求得结果.例 2. 已知函数，数列满足，且数列 是递增数列，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据题意，首先可得 an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得，求解可得答案详解：根据题意，an=f（n）=，要使an是递增数列，必有：5，解得，4a8故选：B例 3. 等比数列中，公比为 ，其前 项积为，并且满足，则以下结论不正确的是（ ）A. B. C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大自然数 等于【答案】C【解析】分析：利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出正确利用等比数列的性质及不等式的性质判断出正确利用等比数列的性质判断出错误利用等比数列的性质判断出正确，从而得出结论详解：, .，故 D 正确.故选 C.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性” ，题目“小而巧”且背景不断更新解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性6质，不要把两者的性质搞混例 4.已知等差数列中，则使成立的最大 的值为（ ）A. 97 B. 98 C. 99 D. 100【答案】B【解析】分析：先求出等差数列的通项公式，然后求出，进而求得，解不等式得到的取值范围后再求 的最大值由，解得，又，最大 的值为 98.故选 B例 5.【2019 届福建省宁德市 5 月检测】记为数列的前 项和，满足，若对任意的恒成立，则实数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据数列an求解 Sn，利用不等式的性质求解7详解：由 a1= ，2an+1+3Sn=3（nN*） ，则 2an+3Sn1=3两式相减，可得 2an+12an+3an=0，即a1= ， an=32n那么 Sn=1 Sn点睛：（1）本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，意在考查了学生对这些基础知识的掌握能力及推理能力与计算能力 （2）解答本题的一个关键是求的范围，由于 Sn=1，所以奇数项都大于 1，单调递减，偶数项都小于 1，单调递增.所以最大，最小.例 6.设数列的前 项和为，它满足条件，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是一个单调递增数列，求实数 的取值范围.【答案】(1) .(2) 或.【解析】分析：（1）根据与的关系消去可得，从而得到数列是等比数列，进而8可求得数列的通项公式 （2）由条件得，又数列单调递增，故，即对恒成立然后分和两种情况考虑，分别求出实数 的取又，且，数列是首项为 ，公比为 的等比数列，（2）由条件得，数列是单调递增数列，恒成立，即对恒成立当时，对恒成立，对恒成立，且，当，对一切恒成立，对恒成立，9由可知或实数 的取值范围是点睛：（1）根据与的关系求数列的通项公式时，利用是解题的关键，运用此结论时要注意使用的条件为（2）由于数列是特殊的函数，因此可从函数的角度认识数列，解题时要注意数列的函数特征，学会利用函数的方法研究数列的有关性质例 7. 在等比数列an中，a23，a581(1)求an的通项公式；(2)设2 311 lognnb a ，数列 nb的前 n 项和 Sn，求证： 2nS 【答案】(1)an3n1(2)见解析.10 21111211nbnnn nnn所以数列 nb的前 n 项和2222211111111 1211 22 33 41111111111 11223341 122nSnnnnnn 检验当 n=1 是符合不等式（或指明各项为正越加越大） 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项消去法” ，此类题目是数列问题中的常见题型，解答本题确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“放缩、裂项”之后求和，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等例 8.已知数列中，.（1）证明：是等比数列；（2）当 是奇数时，证明：；（3）证明：.【答案】(1)见解析.(2)见解析.(3)见解析.11数列是首项为 ，公比为 2 的等比数列(2)由（1）可知故当 是奇数时， (3)由（2）可知，当 为偶数时， 12点睛：（1）证明数列为等比数列时，除了证明或为常数外，还要说明数列的首项不为零，这一点要特别注意（2）对于数列的通项公式中含有或的情形，往往要分为 为偶数和 为奇数两种情况分别求解，再看结果能否写成统一的形式，否则要写成分段函数的形式（3）解题时注意数列中放缩的技巧例 9.【2016 高考天津理数】已知 na是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,bnnN是na和1na的等差中项.()设22* 1,nnncbb nN，求证： nc是等差数列；()设 2 2* 1 1,1,nnnn kad TbnN，求证：2 111.2nkkTd【答案】 （）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先根据等比中项定义得：2 1nnnba a，从而22 112112nnnnnnnncbbaaa ada，因此根据等差数列定义可证：2 12122nnnnccd aad（） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简 2 211nnnn kTb 222222 1234212nnbbbbbb 221d n n，再利用裂项相消法求和222 111111111111212121nnnkkkkTdk kdkkdn，易得结论.13例 10. 设数列的前 n 项和为，已知，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：对任意的正整数 n，都有，求数列的最大项【答案】 （1）（2）【解析】分析：（1）由得，两式做差得，叠乘可得数列的通项公式； （2）由递推公式，作差化简可得，由（1）得，得到，作差即可判定数列的单调性，求解数列的最大项详解：（1）由得，两式做差得所以，叠乘可得 （2），当时两式做差，时，满足所以 14又，所以 点睛：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的求和问题，其中解答中正确化简数列的递推关系式，得到数列的通项公式是解答的关键，同时数列的单调性的判定是解答的一个难点，着重考查了分析问题和解答问题的能力【精选精练精选精练】1 【2019 年浙江省高考模拟】在等差数列 na中，若981a a ，且它的前n项和nS有最小值，则当0nS 时， n的最小值为（ ）A. 14 B. 15 C. 16 D. 17【答案】C【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出811520aaa， 891160aaaa，由此能求出0nS 时， n的最小值详解：数列 na是等差数列，它的前n项和nS有最小值公差0d ，首项10a ， na为递增数列981a a 890aa， 890aa 15由等差数列的性质知： 811520aaa， 891160aaaa.1 2n naanS当0nS 时， n的最小值为 16故选 C.点睛：本题考查等差数列的前n项和的应用，考查数列的函数特性，是中档题解答本题的关键是根据80a ， 90a ，确定0nS 时， n的最小值.2 【2019 届湖南省岳阳市第一中学一模】已知数列满足当时，若数列的前 项和为，则满足的 的最小值为（ ）A. 59 B. 58 C. 57 D. 60【答案】A【解析】分析：根据题意，分别得到各段上数列的通项公式及和的值，进而求得的 的范围，即可求解 的最小值.当时，即，则，所以；当时，即，则，所以；当时，即，则，所以，则，设在第到第中，则有项的和为，16令，解得，所以使得时，所以 的最小值为，故选 A.点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论. 3已知数列的首项，且满足，则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据叠加法求数列通项公式，再利用对勾函数单调性确定函数最值.所以当时，取最小值，选 C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4对于数列，定义为数列的“好数” ，已知某数列的“好数”，记数列的前 项和为，若对任意的恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B17两式作差可得：，则 an=2(n+1),对 a1也成立，故 an=2(n+1)，则 ankn=(2k)n+2，则数列ankn为等差数列，故 SnS6对任意的恒成立可化为：a66k0,a77k0；即，解得：.实数 的取值范围为.本题选择 B 选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题” ，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.5.【2019 届浙江省绍兴市 5 月调测】已知等比数列的前 项和，则_，数列的最大项是第项，则_.【答案】 19 4【解析】分析：由题意结合等比数列的前 n 项和特征可得 r 的值，进一步可得的值，利用比值的方法可求得数列的最大项.详解：等比数列前 n 项和公式具有特征：，据此可知：，则， ，.点睛：本题主要考查数列的单调性，比值法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.186 【2019 年 4 月 2019 届高三第二次全国大联考】已知数列的前项和为，数列的前 n 项和为，=1， ，.若对于任意正整数，都有成立，则的最大值为_.【答案】【解析】=1，=,当时，=,=,=,=,当时，=+=+=，当时，,对于任意正整数，.，的最大值为.7在等差数列中， ，公差为，为其前项和，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为_【答案】【解析】分析：根据题意当且仅当 n=8 时 Sn取得最大值，得到 S7<S8，S9<S8，联立得不等式方程组，求解得 d 的取值范围详解：在等差数列中，当且仅当时取得最大值，所以.即，解得.故答案为：.点睛：该题考查的是有关等差数列的前项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前项和取最大值的条件，仅有一项最大时没有等号，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.8已知等差数列的前项和为， ， ，当=_时，有最小值.【答案】或【解析】分析：利用等差数列的与的关系，得到当，进而得到时， ，当时， ，当时， ，即可得到结论点睛：本题主要考查了等差数列的与的关系，及前项和的最值问题，解答中根据等差数列的与的关系，得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力9设数列是公差为的等差数列， 则_；数列的前392141 2nann项和取得最大值时，_【答案】 【解析】分析：将条件转化为等差数列的基本量，解关于的方程组可求出，由等差数列的通项公式即可写出.因为公差小于 0，所以所有非负项的和最大，令，可求得前多少项取正值.进而可得数列的前项和取得19最大值时， 的取值.详解：将转化为用表示得，即.解得，点睛：（1）求等差数列的通项公式，应先把条件转化成关于的方程，解方程组可求，再根据通项公式可写出.（2）递减的等差数列，前面所有非负项的和最大；递增的等差数列，前面所有非正项的和最小.10.【2019 届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知数列为等差数列，其中（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和为求最小的正整数，使得【答案】(1);(2)1009.【解析】分析：第一问利用题中所给的条件，建立首项和公差所满足的等量关系式，求得首项和公差的值，之后利用等差数列的通项公式求得结果，第二问利用裂项相消法求和，建立对应的不等关系式，借助于 n的范围求得结果.详解：（1)设等差数列的公差为，依题意有 令 ，解得，故取点睛：该题考查的是有关等差数列的有关问题，一是涉及等差数列的通项公式，二是有关裂项相消法求和，在求通项公式的时候注意向首项和公差看齐，求得通项公式，二是利用其和建立相应的不等式，结合 n 的范围求得结果.11 【2019 届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区 5 月训练】已知数列是公比为 2 的等比数列，且， ，成等差数列.（）求数列的通项公式；（）记，是数列的前项和，若，求的最小值.【答案】 （I）.（II）的最小值为 100.20【解析】分析：（）根据， ，成等差数列可求得，于是可得数列的通项公式 （）由（）得，然后根据裂项相消法求得，再由，得，从而得到，所以的最小值为 100详解：（I）， ，成等差数列，由，得，又，的最小值为 100.点睛：用裂项法求和的原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项12如图是由正整数构成的数表，用 aij表示 i 行第 j 个数（i，jN） 此表中 ailaiii，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和（1）写出数表的第六行（从左至右依次列出） （2）设第 n 行的第二个数为 bn（n2） ，求 bn（3）令，记 Tn为数列前 n 项和，求的最大值，并求此时 n 的值【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）答案见解析.【解析】分析：(1)由题意可得第 6 行为：6、16、25、25、16、6 ；(2)观察数表累加求和可得 .(3)结合 (2)的结论可得时 ，则 ，裂项求和可得 ，则 ，结合均值不等式的结论可得当且仅当 时取得最大值.(3) ，点睛：本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留21了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根 源与目的