2023学年湖北省荆州市荆州高三下学期联考数学试题含解析.pdf

2023 年高考数学模拟试卷 注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若实数 x，y 满足条件25024001xyxyxy，目标函数2zxy，则 z 的最大值为()A52 B1 C2 D0 2已知babca0.2121()2,log 0.2,，则,a b c的大小关系是（）Aabc Bcab Cacb Dbca 3若复数z满足()112i zi ,则|Z()A22 B32 C102 D12 4已知集合15|,|2MxxNx x，则MN（）A|12xx B|25xx C|15xx D|02xx 5下列命题中，真命题的个数为（）命题“若1122ab，则ab”的否命题；命题“若21x y，则0 x 或0y”；命题“若2m，则直线0 xmy与直线2410 xy 平行”的逆命题.A0 B1 C2 D3 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A53 B43 C223 D243 7设正项等差数列na的前n项和为nS，且满足6322SS，则2823aa的最小值为 A8 B16 C24 D36 8若，则（）A B C D 9已知函数 3sin,f xxax xR，若 12f，则 1f的值等于（）A2 B2 C1 a D1 a 10为得到的图象，只需要将的图象（）A向左平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向右平移 个单位 11某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了 200 分到 450 分之间的 2000 名学生的成绩，并根据这 2000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在250，350内的学生人数为（）A800 B1000 C1200 D1600 12已知，是两平面，l，m，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（）A若 m，n/，则 mn B若 m/，n/，则 m/n C若 l，l/，则 D若/，l，且 l/，则 l/二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13点0P是曲线3lnyxxk（kR）图象上的一个定点，过点0P的切线方程为410 xy，则实数 k 的值为_.14已知关于 x 的不等式（axa24）（x4）0 的解集为 A，且 A 中共含有 n 个整数，则当 n 最小时实数 a 的值为_ 15平行四边形ABCD中，60,4,2BADABAD，E为边CD上一点（不CD、与重合），将平行四边形ABCD沿BE折起，使五点,A B C D E均在一个球面上，当四棱锥CABED体积最大时，球的表面积为_.16若满足32xxyyx，则目标函数2zyx的最大值为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知等差数列的前 n 项和为，且，求数列的通项公式；求数列的前 n 项和 18（12 分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且22233bac.（1）证明：3cosbcA；（2）若ABC的面积2S，6b，求角C.19（12 分）已知 13f xxx.（1）解不等式 6f x；（2）若,a b c均为正数，且 10f af bc，求222abc的最小值.20（12 分）已知函数()|25|(0)f xxaxa.（1）当2a 时，解不等式()5f x；（2）当,22xaa时，不等式()|4|f xx恒成立，求实数a的取值范围.21（12 分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2,2)xs xs之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得15s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是 100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.22（10 分）设函数()(2cos)sinf xaxxx，()fx是函数()f x的导数.（1）若1a，证明()fx在区间,2 2 上没有零点；（2）在(0,)x上()0f x 恒成立，求a的取值范围.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【详解】若实数 x，y 满足条件25024001xyxyxy，目标函数2zxy 如图：当3,12xy时函数取最大值为2 故答案选 C【点睛】求线性目标函数(0)zaxby ab的最值:当0b 时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z 值最小；当0b 时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2B【解析】利用函数12xy与函数12logyx互为反函数，可得01ab，再利用对数运算性质比较 a,c 进而可得结论.【详解】依题意，函数12xy与函数12logyx关于直线yx对称，则0.21210log 0.22，即01ab，又0.211220.2 log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252bcaa，所以，cab.故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.3C【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】解：由11 2i zi ，得121123111122iiiziiii ，223110222zz 故选 C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 4A【解析】考虑既属于M又属于N的集合，即得.【详解】2|2,1|2NxxMNxx .故选：A【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.5C【解析】否命题与逆命题是等价命题，写出的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断正确.【详解】的逆命题为“若ab，则1122ab”，令1a，3b 可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；的逆否命题为“若0 x 且0y，则21x y”，该命题为真命题，故为真命题；的逆命题为“若直线0 xmy与直线2410 xy 平行，则2m”，该命题为真命题.故选：C.【点睛】本题考查判断命题真假.判断命题真假的思路：(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断(2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可 6A【解析】观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为 1，高为 2；一个半球体，半径为 1，按公式计算可得体积。【详解】设半圆柱体体积为1V，半球体体积为2V，由题得几何体体积为 231214151212323VVV，故选 A。【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。7B【解析】方法一：由题意得636332()2SSSSS，根据等差数列的性质，得96633,SS SS S成等差数列，设3(0)Sx x，则632SSx，964SSx，则222288789962212333(3)()()=3aaaaaSSaaaaaS2(4)xx161682816xxxx，当且仅当4x 时等号成立，从而2823aa的最小值为 16，故选 B 方法二：设正项等差数列na的公差为 d，由等差数列的前n项和公式及6322SS，化简可得116 53 262(3)222adad，即29d，则222282222222243()33(6)16163382 333aaadaaaaaaa 816，当且仅当221633aa，即243a 时等号成立，从而2823aa的最小值为 16，故选 B 8B【解析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为，由诱导公式得，所以.故选 B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.9B【解析】由函数的奇偶性可得，(1)(1)2ff 【详解】3()sinf xxax 其中3()g xx为奇函数，()sint xax也为奇函数()()()f xg xt x也为奇函数(1)(1)2ff 故选：B【点睛】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：奇函数奇函数=奇函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数；奇函数偶函数=奇函数 10D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移 个单位；故选 D 考点：三角函数的图像变换 11B【解析】由图可列方程算得 a，然后求出成绩在250,350内的频率，最后根据频数=总数频率可以求得成绩在250,350内的学生人数.【详解】由频率和为 1，得(0.0020.00420.002)501a，解得0.006a，所以成绩在250,350内的频率(0.0040.006)500.5，所以成绩在250,350内的学生人数20000.51000.故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.12B【解析】根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断 A 选项的正确性.由线面平行有关知识判断 B 选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断 C 选项的正确性.根据面面平行的性质判断 D 选项的正确性.【详解】A若/n，则在中存在一条直线l，使得/,lnml，则ml，又/ln，那么mn，故正确；B若/,/mn，则/mn或相交或异面，故不正确；C若l/，则存在a，使/l，又,la，则，故正确 D若/，且/l，则l或l/，又由,/ll，故正确 故选：B【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。131【解析】求出导函数，由切线斜率为 4 即导数为 4 求出切点0P横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得k【详解】设0(,)P x y，由题意31yx，314x，1x，4 1 13y ，即0(1,3)P，33ln1 1 k，2k 故答案为：1【点睛】本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值本题属于基础题 14-1【解析】讨论0,0,0aaa三种情况，a0 时,根据均值不等式得到 a4a（a4a）14aa 4，计算等号成立的条件得到答案.【详解】已知关于 x 的不等式（axa14）（x4）0，a0 时，x（a4a）（x4）0，其中 a4a0，故解集为（a4a，4），由于 a4a（a4a）14aa 4，当且仅当a4a，即 a1 时取等号，a4a的最大值为4，当且仅当 a4a 4 时，A 中共含有最少个整数，此时实数 a 的值为1；a0 时，4（x4）0，解集为（，4），整数解有无穷多，故 a0 不符合条件；a0 时，x（a4a）（x4）0，其中 a4a4，故解集为（，4）（a4a，+），整数解有无穷多，故 a0 不符合条件；综上所述，a1 故答案为：1【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.15523【解析】依题意可得A、B、E、D四点共圆，即可得到120BED，从而得到三角形BCE为正三角形，利用余弦定理可得AE，且AEBE，要使四棱锥CABED体积最大，当且仅当面BCE 面ABED时体积取得最大值，利用正弦定理求出BCE的外接圆的半径，再又可证AE面BCE，则外接球的半径222AERr，即可求出球的表面积；【详解】解：依题意可得A、B、E、D四点共圆，所以180BEDBAD 因为60BAD，所以120BED，60BEC，所以三角形BCE为正三角形，则2BEBC，60CBE，60ABE 利用余弦定理得2222cosAEABBEAB BEABE 即222422 4 2cos60AE ，解得AE2 3，则222AEBEAB 所以AEBE，当面BCE 面ABED时，CABEDV取得最大，所以BCE的外接圆的半径222sin603r，又面BCE 面ABED，AEBE，且面BCE面ABEDBE，AE 面ABED 所以AE面BCE，所以外接球的半径224133233AERr 所以213524433SR 故答案为：523 【点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.16-1【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件32xxyyx作出可行域如图，化目标函数2zyx为2yxz，由图可得，当直线2yxz过点B时，直线在y轴上的截距最大，由2xyxy得11xy即 11B，则z有最大值1 21z ，故答案为1【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）.【解析】先设出数列的公差为 d，结合题中条件，求出首项和公差，即可得出结果 利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设公差为 d 的等差数列的前 n 项和为，且，则有：，解得：，所以：由于：，所以：，则：，则：，【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18（1）见解析；（2）45【解析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得3cosbcA（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到tan2tanAC，利用三角形的面积公式列方程，由此求得tan A，进而求得tanC的值，从而求得角C.【详解】（1）由已知得22213cab，由余弦定理得222222122cos33bcAbcabbb，3cosbcA.（2）由（1）及正弦定理得sin3sincosBCA，即sin3sincosA CCA，sincoscossin3sincosACACCA，sincos2sincosACCA，tan2tanAC.21112sinsintan223cos6bSbcAbAbAA，tan2A，tan1C，45C.【点睛】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.19（1）5,1；（2）49【解析】（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求222abc的最小值.【详解】（1）24,12,3124,3xxf xxxx ，由 6f x 得1246xx 或3126x 或3246xx，解得5,1x.（2）242410f af bcabc，所以222abc，由柯西不等式22222221231231 12 23 3aaabbbaba ba b得：222222222122abcabc 所以22229224abcabc，即22249abc（当且仅当429abc时取“=”）.所以222abc的最小值为49.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.20（1）8|23x xx或；（2）13(2,5.【解析】（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到a的取值范围，判断xa，4x为正，去掉绝对值，转化为254xa在,22xaa时恒成立,得到4a，4254axa，在,22xaa恒成立，从而得到a的取值范围.【详解】（1）当2a 时，33,252257,22533,2x xf xxxxxxx ，由 5f x，得23 35xx，即223xx ，2x 或52275xx，即5222xx，22x 或52335xx，即5283xx，83x 综上：2x 或83x，所以不等式 5f x 的解集为8|23x xx或.（2）4f xx，254f xxaxx，因为,22xaa，22aa，所以2a，又,22xaa，0 xa，40 x，得254xaxx.不等式恒成立，即254xa在,22xaa时恒成立，不等式恒成立必须4a，4254axa，解得129axa.所以21449aaaa，解得1315a，结合24a，所以1325a，即a的取值范围为132,5.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.21（1）66.5 （2）属于【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数公式求解；（2）求出(2,2)xs xs，即可判断得解.【详解】（1）35 10 0.00545 10 0.01055 10 0.01565 10 0.030 x 75 10 0.02085 0.01595 10 0.00566.5（2）266.53096.5,266.53036.5,10096.5xsxs 所以该零件属于“不合格”的零件【点睛】本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22（1）证明见解析（2）1,3【解析】（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出()fx，再由函数()fx的导数可知，函数()fx在,02上单调递增，在0,2上单调递减，而02f，02f，可知()0fx在区间,2 2 上恒成立，即()fx在区间,2 2 上没有零点；（2）由题意可将()0f x 转化为sin02cosxaxx，构造函数sin()2cosxF xaxx，利用导数讨论研究其在(0,)x上的单调性，由min0F，即可求出a的取值范围【详解】（1）若1a，则()(2cos)sinf xxxx，()2sinfxxx，设()()2sinh xfxxx，则()sincosh xxxx，(0)0h，()sincos()hxxxxh x，故函数()h x是奇函数 当0,2x时，sin0 x，cos0 xx，这时()0h x，又函数()h x是奇函数，所以当,02x 时，()0h x.综上，当,02x 时，函数()fx单调递增；当0,2x时，函数()fx单调递减.又2022f，2022f，故()0fx在区间,2 2 上恒成立，所以()fx在区间,2 2 上没有零点.（2）sin()(2cos)2cosxf xxaxx，由cos1,1x，所以2cos0 x恒成立，若()0f x，则sin02cosxaxx，设sin()2cosxF xaxx，222cos123()(2cos)2cos(2cos)xF xaaxxx211132cos33ax.故当13a 时，()0F x，又(0)0F，所以当0 x 时，()0F x，满足题意；当0a 时，有10222Fa，与条件矛盾，舍去；当103a时，令()sin3g xxax，则()cos3g xxa，又31a，故()cos30g xxa在区间(0,)上有无穷多个零点，设最小的零点为1x，则当10,xx时，()0g x，因此()g x在10,x上单调递增.()(0)0g xg，所以sin3xax.于是，当10,xx时，sinsin2cos3xxaxx，得sin02cosxaxx，与条件矛盾.故a的取值范围是1,3.【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题