2019高考数学二轮复习 专题七 系列4选讲 第2讲 不等式选讲学案 理.doc

1第第 2 2 讲讲 不等式选讲不等式选讲考情考向分析 本部分主要考查绝对值不等式的解法求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想热点一 含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)0)a1.(1)当a2 时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2 的解集为x|1x2，求a的值解 (1)当a2 时，f(x)|x4|x2|x4|Error!当x2 时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；当 20)(1)当a2 时，求不等式f(x)>8 的解集；(2)若xR R，使得f(x) 成立，求实数a的取值范围3 2解 (1)当a2 时，由f(x)>8，得|2x1|x2|>8，即Error!或Error!或Error!3得x>3 或x或x3 或x0，所以实数a的取值范围是.(0，1思维升华 绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为af(x)或af(x)的形式(2)转化最值：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)a有解f(x)max>a；f(x)a无解f(x)maxa；f(x)4；(2)若不等式f(a)>对任意的实数a恒成立，求b的取值范围|b1|解 (1)当b1 时，f(x)|2x1|2x1|>4，即Error!x>1 或Error!x|b1|，所以(2b)2>(b1)2，即(3b1)(b1)>0，4所以b的取值范围为(1，)(，1 3)热点三 不等式的证明1含有绝对值的不等式的性质|a|b|a±b|a|b|.2算术几何平均不等式定理 1：设a，bR R，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理 2：如果a，b为正数，那么，当且仅当ab时，等号成立ab 2ab定理 3：如果a，b，c为正数，那么，当且仅当abc时，等号成立abc 33abc定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立a1a2an nna1a2an例 3 (2018·合肥模拟)已知函数f(x)|x1|.|x3|(1)解不等式f(x)x1；(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，abc，求证：1.a2 a1b2 b1(1)解 f(x)x1，即|x1|x1.|x3|当x3 时，不等式可化为 2x4x1，解得x5.又x>3，31，n>1，am1，bn1，mn4，mn 41，a2 a1b2 b1(m1)2mn12n1 m1 n4 mn4(mn 2)2当且仅当mn2 时，等号成立，原不等式得证5思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤：作差；分解因式；与 0 比较；结论关键是代数式的变形能力(2)在不等式的证明中，适当“放” “缩”是常用的推证技巧跟踪演练 3 (2018·石家庄模拟)已知函数f(x)|3x1|3x1|，M为不等式f(x)|ab|.(1)解 f(x)|3x1|3x1|1，1 时，f(x)3x13x16x，1 3由 6x0，>|ab|.|ab1|真题体验1(2017·全国)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1 时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求实数a的取值范围解 (1)当a1 时，不等式f(x)g(x)等价于6x2x|x1|x1|40.当x1 时，式化为x2x40，从而 10，b>0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)3ab242，3ab34所以(ab)38，(当且仅当ab时，等号成立)因此ab2.押题预测1已知函数f(x)|x2|2xa|，aR R.(1)当a1 时，解不等式f(x)4；(2)若x0，使f(x0)|x02|0，n>0，m3nmn，m3n (m·3n) ×，1 31 3m3n24即m3n12，当且仅当Error!即Error!时取等号，f(m)f(3n)|2m1|6n1|2m6n|，当且仅当(2m1)(6n1)0，即n 时取等号，1 6又|2m6n|24，当且仅当m6，n2 时，取等号，f(m)f(3n)24.B 组 能力提高6(2018·榆林模拟)已知函数f(x)|3x1|2x1|a.(1)求不等式f(x)>a的解集；(2)若恰好存在 4 个不同的整数n，使得f(n)a，得|3x1|>|2x1|，不等式两边同时平方，得 9x26x1>4x24x1，即 5x2>10x，解得x2.所以不等式f(x)>a的解集为(，0)(2，)(2)设g(x)|3x1|2x1|Error!作出函数g(x)的图象，如图所示，因为g(0)g(2)0，g(3)2|x|；(2)若f(x)a22b23c2(a>0，b>0，c>0)对任意xR R 恒成立，求证：·c2|x|，得x2|x2|>2|x|，即Error!或Error!或Error!解得x>2 或 02 或x2|x|的解集为(，1)(2，)(2)证明 当x2 时，f(x)x2x222224；当x<2 时，f(x)x2x22 ，(x1 2)7 47 4所以f(x)的最小值为 .7 4因为f(x)a22b23c2对任意xR R 恒成立，所以a22b23c2 .7 4又a22b23c2a2c22(b2c2)2ac4bc4，且等号不能同时成立，2abc2所以 4< ，即·c<.2abc27 4ab7 2328设函数f(x)|x|x|.a1a(1)当a1 时，解不等式f(x) ；1 2(2)若对任意a0,1，不等式f(x)b的解集不为空集，求实数b的取值范围解 (1)当a1 时，不等式f(x) 等价于1 2|x1|x| .1 2当x1 时，不等式化为x1x ，无解；1 2当1<x<0 时，不等式化为x1x ，1 213解得 x<0；1 4当x0 时，不等式化为x1x ，1 2解得x0.综上所述，不等式f(x) 的解集为.1 21 4，)(2)不等式f(x)b的解集不为空集，bf(x)max，a0,1，f(x)|x|x|a1a|xx|a1a|，a1aa1af(x)max.a1a对任意a0,1，不等式f(x)b的解集不为空集，bmin，a1a令g(a)，a1ag2(a)12·1212.a1aa1a(a12)21 4当a时，g(a)单调递增，当a时，g(a)单调递减，当且仅当a0 或a10，1 21 2，1时，g(a)min1，b 的取值范围为(，1