2023届天津市滨海新区大港油田高考仿真卷数学试题含解析.pdf

2023 年高考数学模拟试卷 考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知ABC的垂心为H，且6,8,ABBCM是AC的中点，则HM AC（）A14 B12 C10 D8 2已知函数()f x的图象如图所示，则()f x可以为（）A3()3xf xx Bee()xxf xx C2()f xxx D|e()xf xx 3已知函数 f（x）sin2x+sin2（x3），则 f（x）的最小值为（）A12 B14 C34 D22 4已知直线22mxny0,0mn过圆22125xy的圆心，则11mn的最小值为（）A1 B2 C3 D4 5如图，已知平面，l，A、B是直线l上的两点，C、D是平面内的两点，且DAl，CBl，3AD，6AB，6CB P是平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角PBCD的余弦值的最小值是（）A55 B32 C12 D1 6已知将函数()sin()f xx（06，22）的图象向右平移3个单位长度后得到函数()g x的图象，若()f x和()g x的图象都关于4x对称，则下述四个结论：34262f点,012为函数()f x的一个对称中心 其中所有正确结论的编号是（）A B C D 7已知函数21,0()ln,0 xxf xx x,则方程()3ff x的实数根的个数是（）A6 B3 C4 D5 8已知函数32,1()ln,1(1)xxxf xaxxx x，若曲线()yf x上始终存在两点A，B，使得OAOB，且AB的中点在y轴上，则正实数a的取值范围为（）A(0,)B10,e C1,e De,)9已知函数2211()log13|f xxx，则不等式(lg)3fx 的解集为（）A1,1010 B1,(10,)10 C(1,10)D1,1(1,10)10 10已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7,0)F，直线1yx与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为23，则此双曲线的方程是 A22134xy B22143xy C22152xy D22125xy 11已知数列na为等比数列，若aaa76826，且aa5936，则aaa768111（）A1318 B1318或1936 C139 D136 12已知等差数列na的前 n 项和为nS，262,21aS，则5a A3 B4 C5 D6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了 20 位家长的满意度评分，其频数分布表如下：满意度评分分组 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 合计 高一 1 3 6 6 4 20 高二 2 6 5 5 2 20 根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 评分70 分 70评分90 评分90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取 1 名家长，记事件A：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件A发生的概率为_.14ABC的三个内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知2 cos23bAca，则B_.15设平面向量a与b的夹角为，且1ab，3ab，则的取值范围为_.16命题“对任意1x，21x”的否定是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照15,25，25,35，35,45，45,55分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.1从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率；2试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30瓶，批发成本60元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为45,55时看作销量为50瓶）.设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y，求X和Y的分布列和数学期望；以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？注：销售额=销量定价；利润=销售额批发成本.18（12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点O，其短半轴长为 1，一个焦点坐标为(1,0)，点A在椭圆C上，点B在直线2y 上，且OAOB（1）证明：直线AB与圆221xy相切；（2）设AB与椭圆C的另一个交点为D，当AOB的面积最小时，求OD的长 19（12 分）设等差数列 na满足39a ，105a.（1）求数列 na的通项公式；（2）求 na的前n项和nS及使得nS最小的n的值.20（12 分）已知不等式2112xx 的解集为|x axb.（1）求实数ab，的值；（2）已知xyz存在实数k使得324abkxyyzxz恒成立，求实数k的最大值.21（12 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b（a2+c2b2）a2ccosC+ac2cosA（1）求角 B 的大小；（2）若 ABC 外接圆的半径为2 33，求 ABC 面积的最大值.22（10 分）金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生新生接待其实也是和社会沟通的一个平台校团委、学生会从在校学生中随机抽取了 160 名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：愿意 不愿意 男生 60 20 女士 40 40（1）根据上表说明，能否有 99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取 10 人若从这 10 人中随机选取 3 人到火车站迎接新生，设选取的 3 人中女生人数为X，写出X的分布列，并求()E X 附：22()()()()()n ad bcKa b cd a c b d，其中nabcd 20P Kk 0.05 0.01 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】由垂心的性质，得到0BH AC，可转化HM ACBM AC，又1()()2BM ACBABCBCBA即得解.【详解】因为H为ABC的垂心，所以BHAC，所以0BH AC，而HMHBBM，所以()HM ACHBBMACBM AC，因为M是AC的中点，所以1()()2BM ACBABCBCBA 2211()(6436)1422BCBA 故选：A【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2A【解析】根据图象可知，函数()f x为奇函数，以及函数在0,上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出 【详解】首先对 4 个选项进行奇偶性判断，可知，ee()xxf xx为偶函数，不符合题意，排除 B；其次，在剩下的 3 个选项,对其在0,上的零点个数进行判断,|e()xf xx在0,上无零点,不符合题意，排除D；然后,对剩下的 2 个选项,进行单调性判断,2()f xxx在0,上单调递减,不符合题意，排除 C.故选：A【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题 3A【解析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为 11cos 223fxx，再求最值.【详解】已知函数 f（x）sin2x+sin2（x3），=21 cos 21 cos2322xx，=1 cos23sin2111cos 222223xxx，因为cos 21,13x，所以 f（x）的最小值为12.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4D【解析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘 1 法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值【详解】圆22(1)(2)5xy的圆心为(1,2)，由题意可得222mn，即1mn，m，0n，则1111()()24nmmnmnmnmn，当且仅当nmmn且1mn即12mn时取等号，故选：D【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘 1 法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题 5B【解析】PBA为所求的二面角的平面角，由DAPCPB得出PAPB，求出P在内的轨迹，根据轨迹的特点求出PBA的最大值对应的余弦值 【详解】DAl，l，AD AD，同理BC DPA为直线PD与平面所成的角，CPB为直线PC与平面所成的角 DPACPB，又90DAPCBP DAPCPB，12PADAPBBC 在平面内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系 则3030AB，设0P xyy，2222233xyxy，整理可得：22516xy P在内的轨迹为50M ，为圆心，以4为半径的上半圆 平面PBC 平面BC，PBBC，ABBC PBA为二面角PBCD的平面角，当PB与圆相切时，PBA最大，cosPBA取得最小值 此时484 3PMMBMPPBPB，4 33cos82PBPBAMB 故选B【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果 6B【解析】首先根据三角函数的平移规则表示出()g x，再根据对称性求出、，即可求出()f x的解析式，从而验证可得；【详解】解：由题意可得()sinsin33g xxx，又()f x和()g x的图象都关于4x对称，1242432kk 12,k k Z，解得123kk12,k k Z，即123 kk12,k k Z，又06，3，4，()sin 34f xx，32sin6642f，012f，正确，错误.故选：B【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.7D【解析】画出函数21,0()ln,0 xxf xx x,将方程()3ff x看作 ,3tf xf t交点个数，运用图象判断根的个数【详解】画出函数21,0()ln,0 xxf xx x 令 ,3tf xf t有两解120,1,1,+tt，则 12,tf xf xt分别有3 个，2 个解，故方程()3ff x的实数根的个数是 3+2=5 个 故选：D 【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题 8D【解析】根据AB中点在y轴上，设出,A B两点的坐标32,At tt，(,()B t f t，（0t）.对t分成1,1,1ttt三类，利用OAOB则0OA OB，列方程，化简后求得lntat，利用导数求得lntt的值域，由此求得a的取值范围.【详解】根据条件可知A，B两点的横坐标互为相反数，不妨设32,At tt，(,()B t f t，（0t），若1t，则32()f ttt，由OAOB，所以0OA OB，即232320ttttt，方程无解；若1t，显然不满足OAOB；若1t，则ln()(1)atf tt t，由0OA OB，即232ln0(1)attttt t，即lntat，因为2ln1lnlntttt，所以函数lntt在0,e上递减，在e,上递增，故在et 处取得极小值也即是最小值elnee，所以函数lntyt在(1)上的值域为),e，故e,)a.故选 D.【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.9D【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg1x，且lg0 x，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为(,0)(0,).因为()()fxf x，所以()f x为(,0)(0,)上的偶函数，因为函数21113|yyxx，都是在(0,)上单调递减.所以函数()f x在(0,)上单调递减.因为(1)3,(lg)3(1)ffxf，所以1lg1x，且lg0 x，解得1,1(1,10)10 x.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10D【解析】根据点差法得2225ab，再根据焦点坐标得227ab，解方程组得22a，25b，即得结果.【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，由题意可得227ab，设11,M x y，22,N xy，则MN的中点为25,33，由2211221xyab且2222221xyab，得12122xxxxa 12122yyyyb，2223a（）2523b（），即2225ab，联立227ab，解得22a，25b，故所求双曲线的方程为22125xy故选 D【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.11A【解析】根据等比数列的性质可得25968736aaaaa，通分化简即可.【详解】由题意，数列 na为等比数列，则25968736aaaaa，又aaa76826，即68726aaa，所以，76877786867678777683636261113636aaaaaaaaaaaaaaaaaaa，277777777773626362636263626133636363618aaaaaaaaaa.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.12C【解析】方法一：设等差数列na的公差为d，则1126 56212adad，解得111ad，所以51(51)15a .故选 C 方法二：因为166256()3()2aaSaa，所以53(2)21a，则55a.故选 C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。130.42【解析】高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况的概率，再利用加法公式即可.【详解】由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为15，满意的概率为35，非常满意的概率为15，高二家长满意等级为不满意的概率为25，满意的概率为12，非常满意的概率为110，高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况：1.高一家长满意，高二家长不满意，其概率为3526525；2.高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为1522525；3.高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为1511210.由加法公式，知事件A发生的概率为621210.4225251050.故答案为：0.42【点睛】本题考查独立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中档题.14150【解析】利用正弦定理边化角可得2sincos3sin0ABA，从而可得3cos2B ，进而求解.【详解】由2 cos23bAca，由正弦定理可得2sincos2sin3sinBACA，即2sincos2sin3sinBAABA，整理可得2sincos3sin0ABA，又因为sin0A，所以3cos2B ，因为0180B，所以150B，故答案为：150【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.152,3【解析】根据已知条件计算出222ab，结合1ab得出12a b，利用基本不等式可得出ab的取值范围，利用平面向量的数量积公式可求得cos的取值范围，进而可得出的取值范围.【详解】1ab，3ab，2222122ababab，由1ab得2221aa bb，12a b ，由基本不等式可得2222abab，01ab，1cos1，112cos1,2a babab ，0，因此，的取值范围为2,3.故答案为：2,3.【点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.16存在01x，使得201x【解析】试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意1x，21x”的否定是“存在01x，使得201x”考点：命题的否定 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 10.657；2详见解析；应该批发一大箱.【解析】1酸奶每天销量大于35瓶的概率为0.3，不大于35瓶的概率为0.7，设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶”为事件A，则A表示“这三天酸奶的销量都不大于35瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.2若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况，分别求出相应概率，列出分布列，求出X的数学期望，若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况，分别求出相应概率，由此求出Y的分布列和数学期望；根据中的计算结果，()()E XE Y，从而早餐应该批发一大箱.【详解】解：1根据图中数据，酸奶每天销量大于35瓶的概率为(0.020.01)100.3，不大于35瓶的概率为0.7.设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶”为事件A，则A表示“这三天酸奶的销量都不大于35瓶”.所以3()1()10.70.657P AP A.2若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况.当销量为20瓶时，利润为5207525元；当销量为30瓶时，利润为5 307575元；当销量为40瓶时，利润为54075125元；当销量为50瓶时，利润为55075175元.随机变量X的分布列为 X 25 75 125 175 P 0.3 0.4 0.2 0.1 所以()250.3750.41250.21750.180E X（元）若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况.当销量为20瓶时，利润为5206040元；当销量为30瓶时，利润为5 306090元.随机变量Y的分布列为 Y 40 90 P 0.3 0.7 所以()400.3900.775E Y（元）.根据中的计算结果，()()E XE Y，所以早餐店应该批发一大箱.【点睛】本题考查概率，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，属于中档题.18（1）见解析；（2）103.【解析】（1）分斜率为 0，斜率不存在，斜率不为 0 三种情况讨论，设OA的方程为ykx，可求解得到22222|12kOAk，22|22OBk，可得O到AB的距离为 1，即得证；（2）表示AOB的面积为22122|22 12kSOAOBk，利用均值不等式，即得解.【详解】（1）由题意，椭圆C的焦点在 x 轴上，且1bc，所以2a 所以椭圆C的方程为2212xy 由点B在直线2y 上，且OAOB知OA的斜率必定存在，当OA的斜率为 0 时，|2OA，|2OB，于是|2AB，O到AB的距离为 1，直线AB与圆221xy相切 当OA的斜率不为 0 时，设OA的方程为ykx，与2212xy联立得22122kx，所以22212Axk，222212Akyk，从而22222|12kOAk 而OBOA，故OB的方程为xky，而B在2y 上，故2xk，从而22|22OBk，于是22111|OAOB 此时，O到AB的距离为 1，直线AB与圆221xy相切 综上，直线AB与圆221xy相切（2）由（1）知，AOB的面积为 22222211212211|121222 122 1212kkSOAOBkkkk，上式中，当且仅当0k 等号成立，所以AOB面积的最小值为 1 此时，点A在椭圆的长轴端点，B为(0,2)不妨设A为长轴左端点，则直线AB的方程为2yx，代入椭圆C的方程解得2 23Dy，即289Dy，229Dx，所以10|3OD 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于较难题.19（1）215nan（2）2(7)49nSn；7n 时，nS取得最小值【解析】（1）设等差数列 na的公差为d，由1(1)naand，结合已知，联立方程组，即可求得答案.（2）由（1）知214nSnn，故可得2(7)49nSn，即可求得答案.【详解】（1）设等差数列 na的公差为d，由1(1)naand及39a ，105a 得112995adad 解得1132ad 数列 na的通项公式为215nan（2）由（1）知214nSnn 2(7)49nSn 7n 时，nS取得最小值.【点睛】本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前n项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.20（1）243ab，；（2）4【解析】（1）分类讨论，求解 x 的范围，取并集，得到绝对值不等式的解集，即得解；（2）转化原不等式为：11kxyyzxyyz，利用均值不等式即得解.【详解】（1）当1x 时不等式可化为 2112xxx 当112x时，不等式可化为 21211232xxx；当12x 时，不等式可化为1211242xxx；综上不等式的解集为224433ab，.（2）由（1）有23a ，4b，324abkxyyzxz（）（）11kxyyzxz，xyz 112xyyzkxyyzxyyzyzxy（），即2minxyyzkyzxy 而24xyyzyzxy 当且仅当：xyyzyzxy，即xyyz，即2xzy时等号成立 4k，综上实数k最大值为 4.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21（1）B13（2）3【解析】（1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求 cosB，进而可求 B；（2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解 ac 的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）因为 b（a2+c2b2）ca2cosC+ac2cosA，222coscoscosabcBacCacA，即 2bcosBacosC+ccosA 由正弦定理可得，2sinBcosBsinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB，因为(0,)B，sin0B 所以1cos2B，所以 B13；（2）由正弦定理可得，b2RsinB2 33232 2，由余弦定理可得，b2a2+c22accosB，即 a2+c2ac4，因为 a2+c22ac，所以 4a2+c2acac，当且仅当 ac 时取等号，即 ac 的最大值 4，所以 ABC 面积 S13324acsinBac即面积的最大值3.【点睛】本题综合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.22（1）有 99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析.【解析】（1）计算得到6.635k，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.【详解】（1）2K的观测值216060 4040 203210.6676.63580 80 100 603k，有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关（2）根据分层抽样方法得：男生有31065人，女生有21045人，选取的10人中，男生有6人，女生有4人 则X的可能取值有0,1,2,3，306431020101206C CP XC，216431060111202C CP XC，1264310363212010C CP XC，036431041312030C CP XC，X的分布列为：X 0 1 2 3 P 16 12 310 130 1131601236210305E X 【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.