圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析.pdf
圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。一、定值问题一、定值问题x2y2例1.椭 圆22 1(a b 0)上 一 点P，两 个 焦 点abF1(c,0)，F2(c,0)，F1PF2的内切圆记为M，求证：点 P 到M的切线长为定值。证明：证明：设M 与PF1F2的切点为 A、B、C，如图1，因M是PF1F2的内切圆，所以|F1A|=|F1C|、|F2C|=|F2B|，|PA|=|PB|；|F1C|F2C|=2c，|F1A|F2B|=2c，由椭圆第一定义知|PF1|PF2|=2a，|PA|F1A|PB|F2B|=2a，2|PA|=2a2c 即|PA|=ac 为定值证毕点评：点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础,而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。二、动点轨迹问题二、动点轨迹问题x2y2例 2、已知椭圆22 1(a b 0)上一动点 P，两个焦点F1(c,0)，F2(c,0)，F1PF2ab的内切圆记为M，试求圆心 M 的轨迹方程。解析：如图 1，设PF1F2=、PF2F1=，M(x，y)则在PF1F2中由正弦定理及椭圆的定义|PF1|PF2|F1F2|，由等比定理有即sinsinsin180 ()|PF1|PF2|F1F2|2a2c，又 由 合 分 比 定 理 知sinsinsin()sinsinsin()acyy。由斜率公式知：kMF1tantan,kMF2(y 0),由前述不难看出，不22acxcxc有P位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有论kMF1kMF2 tan22tan22,yyac(y 0).xc xcac2整理得(ac)x(ac)y=(ac)c(y0)证毕点评：点评：由上获得的方程不难看出，PF1F2的内切圆圆心 M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动如果PF1F2中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到x2y2一个重要的结论：已知椭圆22 1(a b 0)上一点 P 及两焦点F1、F2，若absin()PF1F2，PF2F1，则椭圆的离心率为。sinsin 三、方程问题三、方程问题例例 3.3.如图 2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，F1PF23，且PF1F2的面积为2 3，双曲线的离心率为 2，求该双曲线的方程。x2y2解解 析析：设 双 曲 线 的 方 程 为22 1(a 0，b 0)，F1(c，0)，F2(c，0)，abP(x0，y0)。在PF1F2中，由余弦定理，得(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，即|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos34c2 4a2|PF1|PF2|，又 因 为SPF1F2 2 3，所 以a1|PF1|PF2|sin 2 323，所 以|PF1|PF2|8，所以4c2 4a28即b2 2，又因为e c 2，所以a2222。故所求双曲3线方程为3xy 1。22点评：点评：如果在PF1F2中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。四、最值四、最值.范围问题范围问题22例 4、已知曲线 C 的方程为xy 1，A（1，0），B（1，0），过点 B 的直线l与曲线43C 交于 M，N 两点，若MAN 为钝角，求直线l的倾斜角为的取值范围。解解：（1）若l x轴，则l的 方 程 为x 1 M(1，)，N(1，)，32323。（2）若l与 x 轴重合，则MAN（不合题意）。90（不合题意）4（3）若l与 x 轴、y 轴不垂直，设l：y k(x 1)(k0)，代入曲线 C 的方程得：MAN 2arctan8k24k212(3 4k)x 8k x 4k 12 0设M(x1，y1)，N(x2，y2)x1 x2，x1x23 4k23 4k22222所以AM AN2(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k2(x11)(x21)227k2 9(1 k)x1x2(1k)(x1 x2)1 k23 4k为钝角 cosF1PF2 0 PF1 PF2 0。五、开放性问题五、开放性问题 cosF1PF2 0 PF1 PF2 0；F1PF2为直角 cosF1PF2 0 PF1 PF2 0；F1PF2922因 为 MAN 为 钝 角，所 以AM AN 0所 以7k 9 0，所以0 k，所 以73 73 7 k 0或0 k。所以倾斜角的范围是：(0，arctan33)(arctan3 7，)7777点评点评：有关三角形角的大小问题可用向量形式转化求解。如在F1PF2中，F1PF2为锐角#x2y2例 5、已知F1，F2为双曲线221(a 0，b 0且a b)的两个焦点，P为双曲线右ab支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点下面四个命题：PF1F2的内切圆的圆心必在直线x a上；PF1F2的内切圆的圆心必在直线x b上；PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；PF1F2的内切圆必通过点a，0其中真命题的代号是题的代号）（写出所有真命解析：设PF1F2的内切圆分别与 PF1、PF2切于点 A、B，与 F1F2切于点 M，则|PA|PB|，|F1A|F1M|，|F2B|F2M|，又点 P 在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|2a，故|F1M|F2M|2a，而|F1M|F2M|2c，设 M 点坐标为（x，0），则由|F1M|F2M|2a可得（xc）（cx）2a解得xa，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于 x 轴，故、正确。点评：本题主要圆锥曲线焦点三角形内切圆问题。其中利用圆锥曲线定义和平面几何性质是问题求解的关键。
