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第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征从前面的讨论中知道，随机变量的从前面的讨论中知道，随机变量的分布函分布函数数(分布律或概率密度分布律或概率密度)全面描述了随机变量的全面描述了随机变量的统统计规律性计规律性。但是，要求出随机变量的分布函数。但是，要求出随机变量的分布函数有时并不容易，同时在许多实际问题中，这种有时并不容易，同时在许多实际问题中，这种全面描述有时并不方便。全面描述有时并不方便。举例来说，要比较两个班级学生的学习情况，举例来说，要比较两个班级学生的学习情况，如果仅考察某次考试的成绩分布，有高有低、参差如果仅考察某次考试的成绩分布，有高有低、参差不齐，难以看出哪个班的学生成绩更好一些。通常不齐，难以看出哪个班的学生成绩更好一些。通常是比较是比较平均成绩平均成绩以及该班每个学生的成绩与平均成以及该班每个学生的成绩与平均成绩的绩的偏离程度偏离程度，一般总是认为平均成绩高、偏离程，一般总是认为平均成绩高、偏离程度小的班级当然学习情况好些。这种度小的班级当然学习情况好些。这种“平均成绩平均成绩”、“偏离程度偏离程度”显然不是对显然不是对考试成绩这个随机变量考试成绩这个随机变量的的全全面描述，但它们确实反映了考试成绩这个面描述，但它们确实反映了考试成绩这个随机变量随机变量的某些特征的某些特征。这样的例子还可以举出很多：比较不同品种这样的例子还可以举出很多：比较不同品种农作物的产量，通常只需比较平均亩产量；比较农作物的产量，通常只需比较平均亩产量；比较两种钢材的抗拉强度，只需比较它们的平均抗拉两种钢材的抗拉强度，只需比较它们的平均抗拉强度；强度；检查一批棉花的质量，只需了解这批棉花的平检查一批棉花的质量，只需了解这批棉花的平均纤维长度及这批绵花的纤维长度与平均纤维长均纤维长度及这批绵花的纤维长度与平均纤维长度的偏离程度等等。度的偏离程度等等。由这些例子可以看到，某些与随机变量有关的由这些例子可以看到，某些与随机变量有关的数值，虽然不能完整地描述随机变量，但数值，虽然不能完整地描述随机变量，但比较集中比较集中地概括了人们所关心的某些特征，地概括了人们所关心的某些特征，我们把描述随机我们把描述随机变量某些特征的数字，称为随机变量的变量某些特征的数字，称为随机变量的数字特征数字特征。这些数字特征无论在理论上，还是在实践上都这些数字特征无论在理论上，还是在实践上都具有重要意义。具有重要意义。本章将介绍随机变量的几个常用的数字特征：本章将介绍随机变量的几个常用的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩数学期望、方差、相关系数和矩。1 1 数学期望数学期望2 2 方差方差3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数4 4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵主要内容：主要内容：4.1数学期望数学期望一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望三、几个常用随机变量的数学期望三、几个常用随机变量的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中的环数是一个随机变量命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下射击问题射击问题试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数命中环数k命中次数命中次数频率频率解解平均射中环数平均射中环数设射手命中的环数为随机变量设射手命中的环数为随机变量Y.平均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动“平均射中环数平均射中环数”的稳定值的稳定值由第一章中关于由第一章中关于频率和概率的关系频率和概率的关系讨论可知，讨论可知，在求平均值时，理论上应该用概率在求平均值时，理论上应该用概率pk去代替上述去代替上述和式中的频率和式中的频率fk，这样得到的平均值才是理论上，这样得到的平均值才是理论上的的(也是真正意义上的也是真正意义上的)平均值，它不会随试验的平均值，它不会随试验的变化而变化。这种平均值，称为随机变量的变化而变化。这种平均值，称为随机变量的数学数学期望期望或简称为或简称为期望期望(均值均值)。一、一、离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望若级数：若级数：绝对收敛，绝对收敛，则称该级数的和为随机变量则称该级数的和为随机变量X的数学期望。的数学期望。记为记为E(X)或简记为或简记为EX，即：，即：设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为重新分析射击问题重新分析射击问题“平均射中环数平均射中环数”应为随机变量应为随机变量Y 的数学期望的数学期望关于定义的几点说明关于定义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同.(1)EX是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值,也称也称均值均值.(2)级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.例例1设随机变量设随机变量X服从服从(01)分布，分布，其分布律为其分布律为其中其中0p1，q=1-p。试求。试求EX。解解EX=0q+1p=p。例例2甲、乙甲、乙2人生产同一种产品，日产量相等，在一人生产同一种产品，日产量相等，在一天中出现的废品数分别为天中出现的废品数分别为X和和Y，其分布律如下表所，其分布律如下表所示。试比较示。试比较2人的技术情况。人的技术情况。X 01234p 0.40.30.20.10 Y 01234 p 0.50.10.20.10.1 解解因为因为EX=00.4+10.3+20.2+30.1+40=1.0；EY=00.5+10.1+20.2+30.1+40.1=1.2。因此，就平均而言，乙每天出现的废品数比甲多，因此，就平均而言，乙每天出现的废品数比甲多，从这个意义上讲，甲的技术要比乙好些。从这个意义上讲，甲的技术要比乙好些。例例3发行彩票的创收利润发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票10万张万张,每张每张2元元.设头等奖设头等奖1个个,奖金奖金1万元万元,二等奖二等奖2个个,奖金各奖金各5千元千元;三等奖三等奖10个个,奖金各奖金各1千元千元;四等奖四等奖100个个,奖金各奖金各100元元;五等奖五等奖1000个个,奖金各奖金各10元元.每张每张彩票的成本费为彩票的成本费为0.3元元,请计算彩票发行单位的创请计算彩票发行单位的创收利润收利润.解解设每张彩票中奖的数额为随机变量设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则则每张彩票平均可赚每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为万张彩票的创收利润为例例4如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向?某人有某人有10万元现金，想投资于某万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为项目，预估成功的机会为30%，可得，可得利润利润8万元万元，失败的机会为失败的机会为70%，将，将损失损失2万元若存入银行，同期间的万元若存入银行，同期间的利率为利率为5%，问是否作此项投资，问是否作此项投资?解解设设X 为投资利润，则为投资利润，则存入银行的利息存入银行的利息:故应选择投资故应选择投资.例例3假设由自动生产线加工的某种零件的内径假设由自动生产线加工的某种零件的内径X(毫米毫米)服从正态分布服从正态分布N(11，1)，内径小于，内径小于10或大或大12为不合格为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润不合格品亏损，已知销售利润Y(单位：元单位：元)与销售零与销售零件的内径件的内径X有如下关系：有如下关系：试求销售一个零件的平均利润？试求销售一个零件的平均利润？解解先求零件的内径先求零件的内径X在各个区间的概率，即有在各个区间的概率，即有故销售一个零件的平均利润为故销售一个零件的平均利润为即销售一个零件的平均利润为即销售一个零件的平均利润为12.6998元。元。例例4按规定，某车站每天按规定，某车站每天8:009:00，9:0010:00都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者到站的时间相互独立到站的时间相互独立,其规律为：其规律为：到站时刻到站时刻8:108:308:509:109:309:50概率概率1/63/62/6(1)一旅客一旅客8:00到站，求他候车时间的数学期望；到站，求他候车时间的数学期望；(2)一旅客一旅客8:20到站，求他候车时间的数学期望。到站，求他候车时间的数学期望。解：解：设旅客的候车时间为设旅客的候车时间为X（分钟）。（分钟）。103050X（1）1/63/62/61030507090X(2)3/62/6(1/6)(1/6)(3/6)(1/6)(2/6)(1/6)例例5设某射手的命中率为设某射手的命中率为p(0p1)，试求射击时，首，试求射击时，首次命中时的平均射击次数。次命中时的平均射击次数。解解例例6分组验血分组验血解解例如，例如，p=0.03，则当，则当k=6时，时，取得取得最小值，此时得到最好的分组方法。此时每人平均只最小值，此时得到最好的分组方法。此时每人平均只需检验需检验10.97+1/60.334。这样，平均说来，可以减。这样，平均说来，可以减少近少近2/3的工作量。的工作量。二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望解解因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.例例7顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?例例8设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为试求：试求：(1)系数系数k；(2)EX。解解(1)由由因此因此k=3，即，即例例9：有五个相互独立的电子装置，它们的寿命：有五个相互独立的电子装置，它们的寿命Xi(i=1，2，3，4，5)服从同一指数分布，其概率密服从同一指数分布，其概率密度为：度为：（1）将其串联组成整机，求整机寿命）将其串联组成整机，求整机寿命N的数学期望；的数学期望；（2）将其并联组成整机，求整机寿命）将其并联组成整机，求整机寿命M的数学期望。的数学期望。解解这说明了什么？这说明了什么？二、几个常用分布的数学期望二、几个常用分布的数学期望1.二项分布二项分布设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为n，p的二项分布，即的二项分布，即X的分的分布律为布律为n为自然数。为自然数。2.泊松分布泊松分布设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 的泊松分布，其分布律为的泊松分布，其分布律为3.均匀分布均匀分布设设X服从服从(a，b)上的均匀分布，即概率密度为上的均匀分布，即概率密度为4指数分布指数分布设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 的指数分布，其概率密度为的指数分布，其概率密度为5.正态分布正态分布设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为，的正态分布的正态分布N(，2)，其概率密度为，其概率密度为三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望对于随机变量对于随机变量X，随机变量，随机变量X的函数的函数Y=g(X)仍然仍然是一个随机变量。如果能求得是一个随机变量。如果能求得Y的分布，则它的数的分布，则它的数学期望就可按前面的公式计算。但是，求学期望就可按前面的公式计算。但是，求Y的分布的分布一般是比较繁琐的，如果能避开求一般是比较繁琐的，如果能避开求Y的分布而直接的分布而直接利用随机变量利用随机变量X的分布求的分布求Y的数学期望，对简化计算的数学期望，对简化计算显然是非常有利的。显然是非常有利的。下面不加证明地给出有关结论。下面不加证明地给出有关结论。连续型：连续型：设设X的概率密度为的概率密度为f(x)1.定理：设定理：设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数离散型：离散型：若若X的分布律为：的分布律为：2.结论推广至多个随机变量函数的情形：结论推广至多个随机变量函数的情形：设设Z是随机变量是随机变量X，Y的函数的函数设上式右端的无穷级数绝对收敛。设上式右端的无穷级数绝对收敛。离散型：离散型：若离散型随机变量若离散型随机变量X，Y的分布律为：的分布律为：连续型：连续型：若若(X，Y)的概率密度为的概率密度为f(x，y)，则，则设上式右端的广义积分绝对收敛。设上式右端的广义积分绝对收敛。例例10设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 X 012 p 1/23/81/8试求试求EX，EX2，E(3X+4)2。解解例例11设二维随机变量设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为的联合分布律为试求试求E(X+Y)。1201024/162/161/164/162/16001/160Y X E(X+Y)例例12设二维随机变量设二维随机变量(X，Y)的概率密度为的概率密度为试求试求X，Y，XY，X2+Y2的数学期望。的数学期望。解解例例12设二维随机变量设二维随机变量(X，Y)的概率密度为的概率密度为试求试求X，Y，XY，X2+Y2的数学期望。的数学期望。例例12假设国际市场上每年对我国某种出口商品的需假设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量求量X为为(单位：吨单位：吨)，它服从，它服从2000，4000上的均匀上的均匀分布。每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇分布。每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇6万万元，但假如销售不出囤积仓库，则每吨浪费保管费元，但假如销售不出囤积仓库，则每吨浪费保管费2万元。试问应组织多少吨货源，才能使国家的收益万元。试问应组织多少吨货源，才能使国家的收益最大？最大？解解设设s表示预备出口数，则显然有表示预备出口数，则显然有2000s4000。用。用Y表示该年的利润，则表示该年的利润，则Y也是随机变量。且也是随机变量。且而而X的概率密度为的概率密度为由此可得，在进货数为由此可得，在进货数为s时，国家所获得的期望收益为时，国家所获得的期望收益为即期望收益是即期望收益是s的函数，利用微分法求使期望收益的函数，利用微分法求使期望收益EY达到最大时时的达到最大时时的s。0。四、数学期望的性质四、数学期望的性质1)设设c为常数，则为常数，则E(c)=c；2)E(cX)=cEX,c为常数为常数；3)E(X+Y)=EX+EY，可推广至多个情形；可推广至多个情形；4)设设X，Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量则：则：E(XY)=EX EY。可推广至多个情形。可推广至多个情形。证证性质性质1、2由读者自己完成证明。由读者自己完成证明。下面仅就连续型随机变量证明下面仅就连续型随机变量证明性质性质3和和性质性质4。设二维连续随机变量设二维连续随机变量(X，Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x，y)，其边缘概率密度分别为其边缘概率密度分别为fX(x)和和fY(y)。则。则又若又若X、Y是相互独立的随机变量，此时是相互独立的随机变量，此时f(x，y)=fX(x)fY(y)解解例例13例例13据统计，一位据统计，一位40岁的健康岁的健康(一般体检未发现病一般体检未发现病症症)者，在者，在5年内活着或自杀死亡的概率为年内活着或自杀死亡的概率为p(0pa)。试问。试问b应如应如何确定才能使保险公司有期望收益？若有何确定才能使保险公司有期望收益？若有m人参加保人参加保险，则公司可期望收益多少？险，则公司可期望收益多少？解解设设Xi表示保险公司从第表示保险公司从第i个参加者身上获得的收益，个参加者身上获得的收益，则则Xi是随机变量，其分布律为是随机变量，其分布律为于是，有于是，有若保险公司有期望收益，则必须有若保险公司有期望收益，则必须有EXi0，因此可得因此可得对对m个人来说，设个人来说，设X表示保险公司从这表示保险公司从这m个参加者身个参加者身上获得的收益，则上获得的收益，则因而保险公司获得的总收益因而保险公司获得的总收益例如，当例如，当p=0.97，a=360元，元，b=10,000元，若有元，若有10万万人参加这一保险，则保险公司可期望收益人参加这一保险，则保险公司可期望收益 EX=100,000360100,00010,000(10.97)=600(万元万元)。而当而当p=0.98，a=360元，元，b=10,000元时，若有元时，若有10万万人参加这一保险，则保险公司可期望收益人参加这一保险，则保险公司可期望收益 EX=100,000360100,00010,000(10.98)=1600(万元万元)。例例14设一电路中电流设一电路中电流I(安安)与电阻与电阻R(欧欧)是两个相互是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为独立的随机变量，其概率密度分别为试求电压试求电压(伏伏)V=IR的均值。的均值。解解EV=E(IR)=(EI)(ER)例例15 解解因此期望所得为因此期望所得为利用软件包求解利用软件包求解,并演示计算结果并演示计算结果.单击图形播放单击图形播放/暂停暂停 ESC ESC键退出键退出五、小结五、小结1.数学期望是一个实数数学期望是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2.数学期望的性质数学期望的性质我们知道数学期望反映了随机变量取值的平均，我们知道数学期望反映了随机变量取值的平均，而在许多实际问题中，仅仅知道数学期望是不够的。而在许多实际问题中，仅仅知道数学期望是不够的。为了说明这一点，我们先考察一个例子。为了说明这一点，我们先考察一个例子。现有两种牌号的手表，它们的日走时误差现有两种牌号的手表，它们的日走时误差X，Y(分分钟钟)具有如下的分布律。具有如下的分布律。4.2方方差差-2-10+1+200.10.80.10X p-2-10+1+20.10.20.40.20.1Y p容易验证容易验证EX=EY=0，从数学期望，从数学期望(即日走时误差即日走时误差的平均值的平均值)去看这两种牌号的手表，是分不出优劣的。去看这两种牌号的手表，是分不出优劣的。如果仔细分析一下两个分布律，可以发现乙种牌如果仔细分析一下两个分布律，可以发现乙种牌号手表的日走时误差比较分散而显得不稳定。相对来号手表的日走时误差比较分散而显得不稳定。相对来说，甲种牌号手表的日走时误差比较稳定。因此从这说，甲种牌号手表的日走时误差比较稳定。因此从这个意义上讲，个意义上讲，牌号甲的手表要优于牌号乙！牌号甲的手表要优于牌号乙！也就是说，这两个随机变量从平均值也就是说，这两个随机变量从平均值(数学期望数学期望)上看没有差异，但从取值的分散程度上看还是有差异上看没有差异，但从取值的分散程度上看还是有差异的。的。为了描述这种差异，我们引入另一个数字特征为了描述这种差异，我们引入另一个数字特征方差和标准差。方差和标准差。一、方差与标准差一、方差与标准差三、例题讲解三、例题讲解二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差四、小结四、小结内容内容一、方差与标准差一、方差与标准差 按定义，随机变量按定义，随机变量X的方差表达了的方差表达了X的取值与其的取值与其数学期望数学期望EX的偏离程度，若的偏离程度，若X的取值比较集中，则的取值比较集中，则DX较小。反之，若较小。反之，若X取值比较分散，则取值比较分散，则DX较大。因较大。因此此DX是刻划取值分散程度的一个数量指标。是刻划取值分散程度的一个数量指标。由定义可知，方差实际上就是随机变量函数由定义可知，方差实际上就是随机变量函数g(X)=(X-EX)2的数学期望。的数学期望。于是，若于是，若X是离散型随机变量，则是离散型随机变量，则若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量，则则实际计算时，常用如下简便计算公式：实际计算时，常用如下简便计算公式：事实上，事实上，现在重新来考察一下前述的甲、乙两种牌号手表现在重新来考察一下前述的甲、乙两种牌号手表的日走时误差的方差，由于的日走时误差的方差，由于EX=EY=0。由于由于DX DY，因此，从走时稳定程度看，甲，因此，从走时稳定程度看，甲种牌号的手表要优于乙种牌号的手表。种牌号的手表要优于乙种牌号的手表。例例1设随机变量设随机变量X服从服从(0-1)分布，分布，其分布律为其分布律为其中其中0p1，q=1-p。试求。试求DX。解解因为因为EX=p，又，又，EX2=02+12p=p。因此。因此DX=EX2(EX)2=pp2=p(1p)=pq。例例3设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度试求试求DX。解解于是于是证明证明二、方差的性质二、方差的性质(1)设设C 是常数是常数,则有则有(2)设设X是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则则有有证明证明(3)设设X,Y 相互独立相互独立,DX，DY存在存在,则则证明证明推广推广解解显然显然X所有可能取的值为所有可能取的值为0，1，n。由独。由独立性知立性知X以特定的方式取以特定的方式取k(0kn)的概率为的概率为而而X取取k的两两互不相容的方式共有的两两互不相容的方式共有即即X服从参数为的二项分布服从参数为的二项分布三、几个常用分布的方差三、几个常用分布的方差1、二项分布、二项分布设设X是服从参数为是服从参数为n，p的二项分布，其分布律为的二项分布，其分布律为2.泊松分布泊松分布设随机变量设随机变量X服从参数为的泊松分布，则分布律为服从参数为的泊松分布，则分布律为3.均匀分布均匀分布设设X服从服从(a，b)上的均匀分布，则概率密度为上的均匀分布，则概率密度为4指数分布指数分布设随机变量设随机变量X服从参数为的指数分布，其概率密度为服从参数为的指数分布，其概率密度为5.正态分布正态分布设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为，的正态分布的正态分布N(，2)，则其概率密度为，则其概率密度为分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布解解例例7解解例例8解解例例9四、小结四、小结1.方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度取值分散程度的量的量.如果如果D(X)值大值大,表示表示X 取值分散程度大取值分散程度大,E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果D(X)值小值小,则表示则表示X 的取的取值比较集中值比较集中,以以E(X)作为随机变量的代表性好作为随机变量的代表性好.2.方差的计算公式方差的计算公式3.方差的性质方差的性质