《有限元例题》PPT课件.ppt

例0-1 一阶梯轴如图0-1所示，右端受一轴向载荷P已知：试用有限元法求解该问题解：（1）结构离散化变形分析：只有轴向变形，各断面位移相同。假定每个节点有1个轴向位移，用线段表示轴向变形单元。1321、2、3 节点号 、单元号 、节点自由度编号 、节点载荷编号 已知量：、未知量：、将结构离散成由3个节点，2个单元构成的离散结构。(2)选择位移插值函数。在结构中任取一个单元ij 在单元上取一局部参考系，i点为原点，由i点指向j点。（方向为正方向）i、j 单元节点（端点）编号 、单元节点处位移编号 设单元内任一点x处（断面）的轴向位移为 假定 （1）由位移连续性知：在i点应有 （2）将（2）、（4）代回（1）有 单元长度 联立（2）（3）在j点应有（3）解出：（4）按 和 合并同类项 有 进一步写成矩阵形式有令 形函数矩阵 单元节点位移向量则有（3）单元分析 基于最小势能原理最小势能原理简介：定义：结构势能 弹性应变能 外力虚功结构平衡的必要条件是：取驻值（稳定平衡为极小值）为应用最小势能原理，首先要计算结构的势能，分两部分：1，弹性应变能 2，外力虚功 由于该结构所受外力非常简单，外力虚功可以表示为P与作用点位移的乘积这里我们着重计算一下结构的弹性应变能：由于结构已经离散化成两个单元，整个结构的弹性应变能可以表示为2个单元弹性应变能之和，因而，单元分析的重要任务之一就是计算单元的弹性应变能。单元弹性应变能的计算：令称单元刚度矩阵则单元弹性应变能可以表示为其中 单元节点位移向量对单元1来说有对单元2来说（4）整体分析 目的：计算整个结构的势能。首先计算弹性应变能。结构已离散成2个单元，结构应变能可以表示为2个单元应变能之和。结构整体刚度矩阵 结构整体节点位移向量结构外力虚功未知结构势能可以表示为代入泛函数极值条件有或可以得到移项有简记为 结构近似平衡方程(5)约束处理目的：引入边界条件，清除刚体位移，使方程有唯一解。方法：代入已知位移。因为的第一行与第一列均与0相乘，可以在方程中将其划去。简化成方程可以降阶为（6）方程求解：但实际分析中划行划列不方便，通常采用对角线置1，非对角线置0的处理方案将方程变成说明 以上二种形式等价，但在计算机中实现时，后者更方便。这一步，一般要求解大型代数方程组，只能借助于计算机（7）单元应力计算单元1单元2有限元的特点：1、算法统一，以不变应万变。2、易于在计算机上实现。3、简单问题复杂，复杂问题简单。