向量法解决立体几何中的夹角问题.ppt
向量法解决立体几何夹角问题向量法解决立体几何夹角问题1.异面直线所成角：异面直线所成角：2.直线与平面所成角：直线与平面所成角：3.二面角：二面角：关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围知识储备在利用空间向量解答立体几何夹角在利用空间向量解答立体几何夹角问题时，主要要突破问题时，主要要突破“四关四关”：第一，突破第一，突破“建系关建系关”；第二，突破第二，突破“坐标关坐标关”；第三，突破第三，突破“法向量关法向量关”；第四，突破第四，突破“夹角公式关夹角公式关”。在四关中建系是入门关，如何建立在四关中建系是入门关，如何建立合适的直角坐标系是解决立体几何合适的直角坐标系是解决立体几何问题的入门关键所在问题的入门关键所在第一关：建系关1、空间直角坐标系的建立方法：在空间中取原点0，从原点0引三条两两垂直的直线做为坐标轴，最后选定某个长度作为单位长度。如右图（1）建系转化：把立体几何问题转化为向量问题）建系转化：把立体几何问题转化为向量问题（2）向量运算：运用向量相关知识。）向量运算：运用向量相关知识。（3）回到图形下结论：回到图形下结论：把向量的运算结果把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义成相应的几何意义.xyzzyxxyz类型一：类型一：用用“墙角墙角”用墙角：有三条两两垂直的直线，直接建系用墙角：有三条两两垂直的直线，直接建系.类型分析类型分析造墙角：通过作辅助线并加以证明，造墙角：通过作辅助线并加以证明，“造造”出出“墙角墙角”，从而可建系，从而可建系.类型二：类型二：造造“墙角墙角”归纳归纳1:1:1.1.有三条两两垂直的直线（墙角）时建系最方便；有三条两两垂直的直线（墙角）时建系最方便；2.2.没有明显的没有明显的“墙角墙角”时需通过条件或辅助线时需通过条件或辅助线“找墙角找墙角”或或“造墙角造墙角”；3.3.实在没有时可借助直角建系，实在没有时可借助直角建系，可令一条坐标轴可令一条坐标轴“悬空悬空”.第二关：坐标关面面面面面面O空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间直角坐标系的划分空间直角坐标系的划分回顾回顾P1P2P3yxz11P1空间中点的坐标空间中点的坐标对于空间任意一点对于空间任意一点P，要求它的坐标，要求它的坐标 过过P P点分别做三个平面分别垂直于点分别做三个平面分别垂直于x,y,zx,y,z轴，平面与三轴，平面与三个坐标轴的交点分别为个坐标轴的交点分别为P P1 1、P P2 2、P P3 3，在其相应轴上的坐，在其相应轴上的坐标依次为标依次为x,y,zx,y,z，那么，那么(x,y,z)(x,y,z)就叫做点就叫做点P P的空间直角坐标，的空间直角坐标，简称为坐标，记作简称为坐标，记作P(x,y,z)P(x,y,z)，数值，数值x,y,zx,y,z叫做叫做 P P点的点的横横坐坐标、标、纵纵坐标、坐标、竖竖坐标。坐标。回顾回顾111PP0 xyz P P点坐标为点坐标为 (x,y,z)P1空间中点的坐标空间中点的坐标 方法二：方法二：过过P P点作点作xOyxOy面的垂线，垂足为面的垂线，垂足为 点。点。点点 在坐标系在坐标系xOyxOy中的坐标中的坐标x x、y y依次是依次是P P点的横坐标、点的横坐标、纵坐标。再过纵坐标。再过P P点作点作z z轴的垂线，垂足轴的垂线，垂足 在在z z轴上的坐轴上的坐标标z z就是就是P P点的竖坐标。点的竖坐标。MN回顾回顾例例 2 2 在在平平行行六六面面体体ABCDA1B1C1D1中中，底底面面ABCD是是矩矩形形，AB=4,AD=2,平平行行六六面面体体高高为为 ，顶顶点点D在在底底面面A1B1C1D1的的射射影影O是是C1D1中中点点，设设AB1D1的的重重心心G，建建立立适适当当空空间间直直角角坐坐标标系系并并写写出下列点的坐标。出下列点的坐标。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(3)B;(4)若若N为为DD1上点，且上点，且ON DD1写出写出N坐标。坐标。ABCDB1C1D1A1O例例 2 2 在在平平行行六六面面体体ABCDA1B1C1D1中中，底底面面ABCD是是 矩矩 形形，AB=4,AD=2,平平 行行 六六 面面 体体 高高 为为 ，顶顶点点D在在底底面面A1B1C1D1的的射射影影O是是C1D1中中点点，设设AB1D1的的重重心心G，建建立立适适当当空空间间直直角角坐坐标标系系并并写写出下列点的坐标。出下列点的坐标。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(3)B;解（解（1）A1(2,-2,0)B1(2,2,0)、A(2,0,)、D1(0,-2,0)(2)投影法投影法公式法公式法yzxABCDB1C1D1A1O例例2 2 在在平平行行六六面面体体ABCDA1B1C1D1中中，底底面面ABCD是是 矩矩 形形，AB=4,AD=2,平平 行行 六六 面面 体体 高高 为为 ，顶顶点点D在在底底面面A1B1C1D1的的射射影影O是是C1D1中中点点，设设AB1D1的的重重心心G，建建立立适适当当空空间间直直角角坐坐标标系系并并写写出下列点的坐标。出下列点的坐标。(3)设设B B(x x,y y,z z),),则则 又又 ,比较得比较得 点点B B坐标为坐标为 ABCDB1C1D1A1Oyzx向量法向量法例例2 2 在在平平行行六六面面体体ABCDA1B1C1D1中中，底底面面ABCD是是 矩矩 形形，AB=4,AD=2,平平 行行 六六 面面 体体 高高 为为 ，顶点，顶点D在底面在底面A1B1C1D1的射影的射影O是是C1D1中点中点.(4)若若N为为DD1上点，且上点，且ON DD1写出写出N坐标。坐标。ABCDB1C1D1A1OyzxN解解:(4)(4)三点共线，可设三点共线，可设即即 ,故故向量法向量法求空间直角坐标下点的坐标的方法求空间直角坐标下点的坐标的方法:一、一、投影法投影法 将空间点将空间点P P分别投影到分别投影到 x x轴、轴、y y轴、轴、z z 轴所轴所得投影点为得投影点为A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)则点则点 P P坐标为坐标为(a,b,c)。二、二、公式法公式法利用线段的中点坐标公式三角形的重心坐利用线段的中点坐标公式三角形的重心坐标公式、距离公式、标公式、距离公式、夹夹角公式等求出点的坐角公式等求出点的坐标。标。三、三、向量法向量法利用向量相等、垂直利用向量相等、垂直、共线、共线等运算求出等运算求出点坐标。点坐标。第三关：法向量关求法向量的步骤：求法向量的步骤：第四关：夹角关1.异面直线所成角：异面直线所成角：2.直线与平面所成角：直线与平面所成角：3.二面角：二面角：关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围例例 正正三三棱棱柱柱 中中，D是是AC的的中中点，当点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。CADBC1B1A1 如如图图，以以C为为原原点点建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系C-xyz。设设底底面面三三角角形的边长为形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则 C(0,0,0)故则可设 =1，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 已求已求 得得 B(0,1,0)可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 yxzCADBC1B1A1由由 得得解得解得 所以，可取所以，可取 cos =即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为
