第1章概率论的基本概念课件.ppt

第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.11.1 随机事件及其运算随机事件及其运算1.2 1.2 概概率的定义及其确定方法率的定义及其确定方法1.31.3 概率的性质概率的性质1.4 1.4 条条件概率件概率1.51.5 独立性独立性1.11.1 随机事件及其运算随机事件及其运算现实世界中的客观现象现实世界中的客观现象确定性现象确定性现象（条件完全决定结果）（条件完全决定结果）非确定性现象非确定性现象（条件不能完全决定结果）（条件不能完全决定结果）随机现象随机现象（不确定性、统计规律性）（不确定性、统计规律性）随机试验随机试验种瓜得瓜，种瓜得瓜，种豆得豆种豆得豆世界上没有世界上没有两片完全相两片完全相同的叶子同的叶子多次重复抛一枚硬多次重复抛一枚硬币，正面朝上的次币，正面朝上的次数约占一半数约占一半.在大量重复试验或观察中所呈现出来的固有规律性称为统计规律性.随机试验随机试验E(random test)的特点：的特点：（1）试验可以在相同的条件下重复进行；）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果可知，且不止一个；）试验的所有可能结果可知，且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但试验之前不能断定）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但试验之前不能断定到底会出现哪一个到底会出现哪一个.随机现象：随机现象：随机试验随机试验所所描述的现象描述的现象.概率论与数理统计主要概率论与数理统计主要从数量角度研究随机现象的规律从数量角度研究随机现象的规律 (也注意研究不能重复的随机现象，如失业、经济增长速度等也注意研究不能重复的随机现象，如失业、经济增长速度等.).)例例1.1.11.1.1 将一枚硬币先后掷两次，将一枚硬币先后掷两次，令令 (1,0)=“第一次正面朝上，第二次反面朝上第一次正面朝上，第二次反面朝上”则样本空间为：则样本空间为：=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).若令若令 i=“正面朝上的次数为正面朝上的次数为i”则样本空间为：则样本空间为：=0,1,2.样本点是今后抽样的最基本单元，认识随机现象的前提是要先列出它的样本空间.样本空间样本空间(sample space)：随机试验随机试验的一切可能结果组成的集合的一切可能结果组成的集合.记记为为或或S.可能结果可能结果又称为又称为样本点样本点，常用符号，常用符号表示表示.注意注意：样本空间和划分的标准有关：样本空间和划分的标准有关.例例1.1.21.1.2 一天内一天内进入某商场的人数进入某商场的人数的样本空间为的样本空间为=0,1,2,.例例1.1.31.1.3 电视机寿命的样本空间为电视机寿命的样本空间为=t|t0.在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个样本点的情况归为一类，称为样本点的情况归为一类，称为离散样本空间离散样本空间；而将不可；而将不可列无限个样本点的情况归为另一类，称为列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间连续样本空间.随机事件随机事件(random event)随机试验的某些随机试验的某些子集子集称为称为随机事件随机事件，简称简称事件事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性验中具有某种规律性.注意事项注意事项(1)(1)在概率论中常用一个长方形来在概率论中常用一个长方形来表示表示概率空间概率空间，用，用椭圆椭圆或者其它的或者其它的几何图形来表示事件几何图形来表示事件.这类图形被这类图形被称称为为维恩维恩(Venn)图图，又叫，又叫文氏图文氏图.1 2A常用符号常用符号 (1)(1)大写的英文字母：大写的英文字母：A,B,C.(2)(2)大写的英文字母加下标：大写的英文字母加下标：A1,A2,A3,.(2)(2)由由中的单个元素组成的子集称为中的单个元素组成的子集称为基本事件基本事件，常用，常用表示表示.样本空间的最大子集称为样本空间的最大子集称为必然事件必然事件，常用，常用表示；表示；样本空间的最小子集称为样本空间的最小子集称为不可能事件不可能事件，常用，常用 表示表示.(3)(3)判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否出现出现.事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现.可能结果可能结果样本点样本点基本事件基本事件 例例1.1.41.1.4 掷掷一枚骰子的样本空间一枚骰子的样本空间为为=1,2,6=i|1 i 6.则则 A=“出现偶数点出现偶数点”=2,4,6.例例1.1.51.1.5 检测灯泡寿命的试验中，如果规定寿命超检测灯泡寿命的试验中，如果规定寿命超过过15001500小时为合格，则小时为合格，则=t|t 0事件事件 A=“合格品合格品”=t|t 1500.例例1.1.61.1.6 向平面向平面OXY内随机投点，则内随机投点，则=(x,y)|x,yR事件事件 A=“落在单位圆内落在单位圆内”=(x,y)|x2+y21.随机事件间的关系与运算随机事件间的关系与运算关系关系运算运算包含包含相等相等互不相容互不相容并并交交差差补补AB如果属于如果属于A的样本点一定的样本点一定属于属于B，则称，则称A包含于包含于B，或或B包含包含A.记作记作 A B.概率论表述：事件A发生必然导致事件B发生.如果如果A B，且，且A B，那么，那么A=B.即即 A=B A B,B A.概率论表述：事件A,B相等意味着它们是同一个集合.如果事件如果事件A,B没有相同的样本点，没有相同的样本点，则称则称互不相容互不相容.记作记作 AB=.概率论表述：事件事件A,B不可能同时发生不可能同时发生.AB由事件由事件A与事件与事件B中所有的样本点中所有的样本点组成的新事件组成的新事件.记作记作 AB.AB概率论表述：事件事件A,B中至少有一个发生中至少有一个发生.由事件由事件A与事件与事件B中所共有的样本中所共有的样本点组成的新事件点组成的新事件.记作记作 AB.概率论表述：事件事件A,B同时发生同时发生.AB由在事件由在事件A中而不在事件中而不在事件B中的样中的样本点组成的新事件本点组成的新事件.记作记作 A-B.AB概率论表述：事件事件A发生发生，而事件事件B发生发生.由在由在 中而不在事件中而不在事件A中的样本点中的样本点组成的新事件，也叫组成的新事件，也叫A的对立的对立.记作记作 .A概率论表述：事件事件A不发生发生.事件事件A和和 不能都不发生，不能都不发生，也不能都发生，只能恰好发生其中一个也不能都发生，只能恰好发生其中一个.互不相容互不相容与与对立对立区别区别（1）事件）事件A与事件与事件B对立对立 AB=,AB=.（2）事件）事件A与事件与事件B互不相容互不相容 AB=.例例1.1.71.1.7 设设A,B,C是某个随机现象的三个事件，则是某个随机现象的三个事件，则（1 1）事件）事件“A与与B发生，发生，C不发生不发生”：（2 2）事件）事件“A,B,C中至少有一个发生中至少有一个发生”：（3 3）事件）事件“A,B,C中至少有两个发生中至少有两个发生”：（4 4）事件）事件“A,B,C中恰好有两个发生中恰好有两个发生”：（5 5）事件）事件“A,B,C都发生都发生”：（6 6）事件）事件“A,B,C都不发生都不发生”：（7 7）事件）事件“A,B,C不都发生不都发生”：事件的事件的运算性质运算性质（1）否定律：）否定律：（2）幂等律：）幂等律：AA=A,AA=A；（3）交换律：）交换律：AB=BA,AB=BA；（4）结合律：）结合律：A(BC)=(AB)C,A(BC)=(AB)C；（5）分配律：）分配律：A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC)；（6）对偶律）对偶律(德摩根德摩根De morgan公式公式)：对于多个事件及可列个事件场合有作作 业业1.2 1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法排列数公式和组合数公式排列数公式和组合数公式(1)(1)排列数排列数 特别地，特别地，r=n时，时，重复排列数重复排列数 nr.(2)(2)组合数组合数特别地，重复组合数特别地，重复组合数 定义定义1.2.11.2.1 从从n个不同元素中任取个不同元素中任取r(rn)个，按照一个，按照一定的顺序排成一列，叫做从定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出r个元素个元素的一个的一个排列排列.所有排列的个数叫做从所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出r个元素的个元素的排列数排列数.(Arrangement Permutation)定义定义1.2.21.2.2 从从n个不同元素中任取个不同元素中任取r(rn)个并成一组，个并成一组，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出r个元素的一个个元素的一个组合组合.所有组合所有组合的个数叫做从的个数叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出r个元素的个元素的组合数组合数.(Combination)可以视可以视a为女生人数，为女生人数，b为男生人数，为男生人数，a+b为班级为班级总人数，而总人数，而n为选出的人数为选出的人数.定义定义1.2.31.2.3 在在n次次独立重复的试验中独立重复的试验中，事件，事件A出现的次出现的次数为数为m，则则称称m为事件为事件A发生的发生的频数频数，称，称为为事件事件A出现的出现的频率频率.频率的基本性质：频率的基本性质：(1)0(1)0 fn(A)1;(2)(2)fn()=1;(3)(3)如果如果AiAj=(1 i 乙乙正正，且，且甲甲反反乙乙反反=甲甲正正乙乙正正由对称性知由对称性知 P(甲甲正正乙乙正正)=P(甲甲反反乙乙反反)，故故 P(A)=0.5.几何概型几何概型 定义定义1.2.71.2.7 如果试验满足下面两个特征，则称其如果试验满足下面两个特征，则称其为为几何概型几何概型(或或无限等可能概型无限等可能概型)：（1 1）样本点有无限多个，且可以用一个有度量的）样本点有无限多个，且可以用一个有度量的几何区域几何区域 来表示；来表示；（2 2）每个样本点发生的可能性相同）每个样本点发生的可能性相同.定义定义1.2.81.2.8 设几何概型的样本空间为设几何概型的样本空间为,则称则称为事件为事件A的的几何概率几何概率.简单地说，每个简单地说，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长事件发生的概率只与构成该事件区域的长度度(面积或体积面积或体积)成比例，成比例，而与区域的形状和位置无关，而与区域的形状和位置无关，则称这则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.例例1.2.81.2.8（等车问题）（等车问题）公共汽车站每隔公共汽车站每隔5分钟有一辆分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的时刻是等可能的，求乘客汽车通过，乘客到达汽车站的时刻是等可能的，求乘客等候不超过等候不超过3分钟的概率分钟的概率.解解 设设 A=“乘客等候不超过乘客等候不超过3分钟分钟”，乘客提前到，乘客提前到达汽车站的时间为达汽车站的时间为x分钟分钟.则则 =x|0 x 5 A=x|0 x 3.所以所以特别地，特别地，P(“乘客等候时间刚好为乘客等候时间刚好为3分钟分钟”)=0这表明：这表明：不可能事件的概率为不可能事件的概率为0，但概率，但概率 为为0的事件不一定是不可能事件的事件不一定是不可能事件.几何概型的解题步骤几何概型的解题步骤（1 1）根据）根据问题选取合适问题选取合适的参数的参数(尽量少尽量少)；（2 2）写出样本空间）写出样本空间和和所求所求事件事件A的集合形式；的集合形式；（3 3）建立）建立适当的坐标系；适当的坐标系；（4 4）在坐）在坐标系上找出标系上找出样本空间样本空间和和所所求事件求事件A对应的对应的 几何几何区域，根据几何概率公式求解区域，根据几何概率公式求解.例例1.2.91.2.9（约会问题）（约会问题）甲乙两人约定周末甲乙两人约定周末12点到点到13点之间在人民公园门口见面，先到者等待点之间在人民公园门口见面，先到者等待20分钟后离分钟后离去，假定他俩在去，假定他俩在12点到点到13点之间到达约定地点的时刻是点之间到达约定地点的时刻是任意的，求他们能相见的任意的，求他们能相见的概率概率.解解 设设 A=“他们能相见他们能相见”，两人到达约定地点的，两人到达约定地点的时刻分别为时刻分别为12点零点零x,y小时小时.则则 =(x,y)|0 x,y 1 A=(x,y)|0 x,y 1;|x-y|1/3所以所以 例例1.2.101.2.10（布丰（布丰(Buffon)投针问题）投针问题）平面平面上上画有画有间隔为间隔为d 的等距平行线，向该平面任意的等距平行线，向该平面任意投掷一枚投掷一枚长为长为l(ld)的的针针,求针与任一平行线求针与任一平行线相交的概率相交的概率.解解 设设 A=“针与某一平行线相交针与某一平行线相交”，针的中点到，针的中点到最近一条平行线的距离为最近一条平行线的距离为x，针与该平行线的夹角为，针与该平行线的夹角为.则则 =(x,)|0 xd/2,0 A=(x,)|0 xd/2,0 ;0 x(l sin)/2 =(x,)|0 ;0 x(l sin)/2所以所以 本题的答案与本题的答案与 有关，因此历史上有很多学者有关，因此历史上有很多学者利用它来计算利用它来计算 的近似值的近似值.只要设计一个随机试验，使得一个事件的概率与某只要设计一个随机试验，使得一个事件的概率与某未知数有关，然后通过重复试验，以频率近似概率，即未知数有关，然后通过重复试验，以频率近似概率，即可求得未知数的近似解可求得未知数的近似解.一般来说一般来说,试验次数试验次数越多，求得的近似解越多，求得的近似解就越就越精确精确.由于计算机的出现，人们可以利用计算机由于计算机的出现，人们可以利用计算机来来大量重复地大量重复地模拟模拟所设计所设计的随机试验，使得这种的随机试验，使得这种方法方法得到迅速的发展得到迅速的发展和应用和应用.人们称这种方法为人们称这种方法为随机模拟法随机模拟法，又叫，又叫蒙特卡洛蒙特卡洛(MonteDarlo)法法.定义定义1.2.111.2.11（主观概率）（主观概率）统计界的贝叶斯学派认为统计界的贝叶斯学派认为一个事件的概率是人们根据经验对其发生的可能性所给一个事件的概率是人们根据经验对其发生的可能性所给出的个人信念出的个人信念.譬如譬如（1 1）一个外科医生根据自己多年的临床经验和一个患）一个外科医生根据自己多年的临床经验和一个患者的病情，认为者的病情，认为“此手术成功此手术成功”的可能性为的可能性为90%.90%.（2 2）一个老师根据自己多年的教学经验和一个学生的）一个老师根据自己多年的教学经验和一个学生的学习情况，认为学习情况，认为“该学生能考上大学该学生能考上大学”的可能性为的可能性为95%.95%.主观概率的说明主观概率的说明 （1 1）主观概率和主观臆造有着本质的区别，前者）主观概率和主观臆造有着本质的区别，前者要求当事人对所考察的事件有个透彻的了解和丰富的经要求当事人对所考察的事件有个透彻的了解和丰富的经验，能对历史信息和当时信息进行仔细分析，是值得相验，能对历史信息和当时信息进行仔细分析，是值得相信的信的.从某种意义上说，这些丰富的经验不加以利用也从某种意义上说，这些丰富的经验不加以利用也是一种浪费是一种浪费.（2 2）用主观方法得出的随机事件发生的可能性大）用主观方法得出的随机事件发生的可能性大小是对该事件概率的一种推断和估计，虽然其精确性有小是对该事件概率的一种推断和估计，虽然其精确性有待实践的检验和修正，但结论在统计意义上是有价值的待实践的检验和修正，但结论在统计意义上是有价值的.课后思考题课后思考题 （1 1）平面上画有间隔为）平面上画有间隔为d 的等距平行线，向该平的等距平行线，向该平面任意投掷一枚直径为面任意投掷一枚直径为l(ld)的硬币的硬币,求该硬币与任一求该硬币与任一平行线相交的概率平行线相交的概率.（2 2）平面上画有间隔为）平面上画有间隔为d 的等距平行线，向该平的等距平行线，向该平面任意投掷一个三边长分别为面任意投掷一个三边长分别为a,b,c(maxa,b,cd)的的三角形三角形,求该三角形与任一平行线相交的概率求该三角形与任一平行线相交的概率.ddabbc （3 3）(Bertrand(Bertrand奇论奇论)在单位圆内任作一弦，试求在单位圆内任作一弦，试求弦长大于的概率弦长大于的概率.（自行查询三种解法，并分析为何结果不一样）（自行查询三种解法，并分析为何结果不一样）作作 业业(1)(1)P()=0.(2)(2)若若Ai Aj=(1ijn)，则，则 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).(3)(3)对任意事件对任意事件A，有，有 特别地，若特别地，若AB，则，则P(A-B)=P(A)-P(B).(4)(4)对任意事件对任意事件A,B，有，有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB);P(A-B)=P(A)-P(AB)1.3 1.3 概率的性质概率的性质证明证明 1=P()=P()=P()+P()+P()+P()+P()+=0 P()=0证明证明 因为因为Ai Aj=(1ijn)，所以，所以P(A1A2An)=P(A1A2An )=P(A1)+P(A2)+P(An)+P()+P()+=P(A1)+P(A2)+P(An)A证明证明 1=P()证明证明 因为因为AB，所以，所以 P(A)=P(A-B)B)=P(B)+P(A-B)P(A-B)=P(A)-P(B)BA证明证明 P(AB)=P(A-B)AB(B-A)=P(A-B)+P(AB)+P(B-A)=P(A)-P(AB)+P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)BA证明证明 P(A)=P(A-B)AB)=P(A-B)+P(AB)P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A)P(B)（5 5）对任意的）对任意的n个事件个事件A1,A2,An，有，有证明证明 当当n=2时，显然有时，显然有假定假定n=m时，有时，有那么那么n=m+1时，有时，有综上所述，命题得证综上所述，命题得证.例例1.3.11.3.1 36 36只灯泡中有只灯泡中有4 4只只1313W，其余都是，其余都是2828W，现在从，现在从中任取中任取3 3只，求至少取到一只只，求至少取到一只1313W的概率的概率.解解 设设 A=“取到的取到的3 3只中至少取到一只只中至少取到一只1313W”，则，则 例例1.3.21.3.2 口袋中有编号为口袋中有编号为1,2,n的的n个球，从中有放回个球，从中有放回地任取地任取m次，求取出的次，求取出的m个球中最大号码为个球中最大号码为k的概率的概率.解解 设设 Ak=“取出的取出的m个球中最大号码为个球中最大号码为k”，Bk=“取出的取出的m个球中最大号码不超过个球中最大号码不超过k”(k=1,n).则则 上例中，假如上例中，假如n=6,m=3，可以算得，可以算得 这表明这表明:掷三枚骰子，最大点数掷三枚骰子，最大点数k是是6 6的概率为的概率为0.42130.4213且且 P(k3)=0.0046+0.0324+0.0880=0.1250即：掷三枚骰子，最大点数不超过即：掷三枚骰子，最大点数不超过3 3的概率为的概率为0.125.0.125.例例1.3.31.3.3 在在1 1 20002000的整数中的整数中随机取一个数，问取到随机取一个数，问取到的的整数既不能被整数既不能被6 6整除，又不能被整除，又不能被8 8整除的整除的概率是概率是多少？多少？解解 设设 A=“取到的整数能被取到的整数能被6 6整除整除”，B=“取到的整数能被取到的整数能被8 8整除整除”.因为因为333 2000/6 334,2000/8=250,83 2000/240，则称，则称为在为在事件事件A发生发生的条件下的条件下事件事件B发生的发生的条件概率条件概率.条件概率的基本性质条件概率的基本性质(1)(1)非负性非负性 P(B|A)0;(2)(2)正则性正则性 P(|A)=1;(3)(3)可列可加性可列可加性 若若AiAj=(i,j 1,ij)，则，则 例例1.4.21.4.2 设某种动物由出生起活设某种动物由出生起活2020岁以上岁以上的概率为的概率为80%80%，活，活2525岁以上的概率为岁以上的概率为40%.40%.如果如果现在有现在有一个一个2020岁的岁的这种这种动物，问它能活动物，问它能活2525岁以上岁以上的概率？的概率？解解 设设 A=“这个动物能活这个动物能活2020岁以上岁以上”，B=“这个动物能活这个动物能活2525岁以上岁以上”，则则P(A)=0.8,P(AB)=P(B)=0.4所以所以解法二解法二 P(B|A)=0.5年龄年龄20岁25岁80%40%既然条件概率符合上述三条基本性质，既然条件概率符合上述三条基本性质，故一般概率故一般概率的的性质公式性质公式也适用于条件概率也适用于条件概率.如如 条件概率还有条件概率还有三个非常实用的三个非常实用的公式：乘法公式、公式：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式全概率公式、贝叶斯公式.例例1.4.31.4.3 若若 ，试证，试证证明证明P P(甲考上大学甲考上大学|乙考上大学乙考上大学)P P(甲考上大学甲考上大学|乙没考上大学乙没考上大学)P P(乙考上大学乙考上大学|甲考上大学甲考上大学)P P(乙考上大学乙考上大学|甲没考上大学甲没考上大学)期望自家孩子将来考上好大学的家长，倾向于自己期望自家孩子将来考上好大学的家长，倾向于自己的孩子和学习成绩优秀的同学做朋友。的孩子和学习成绩优秀的同学做朋友。一、乘法一、乘法公式公式(Multiplication formula)（1 1）若）若P(B)0，则，则 P(AB)=P(B)P(A|B).（2 2）若）若P(A1A2 An-1)0，则，则 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2 An-1).（1 1）因为）因为P(B)0，所以，所以证明证明（2 2）因为）因为P(A1)P(A1A2)P(A1A2 An-1)0，所以，所以 例例1.4.41.4.4 某人欲从甲地到丙地，途经某人欲从甲地到丙地，途经乙地乙地.在甲地在甲地每天每天有有30个人买票去丙地，但只有个人买票去丙地，但只有20张去张去丙地的票丙地的票；已；已知知在甲地没有买到票的乘客中在甲地没有买到票的乘客中有有70%选择去乙地选择去乙地买票，买票，乙乙地每天有地每天有200张去丙张去丙地的地的票，有票，有300人要买票到丙人要买票到丙地去地去.问乘客问乘客在在甲地甲地没有买到票，到乙没有买到票，到乙地也没有地也没有买到票买到票的概率的概率.解解 设设 A=“在甲地没有买到票在甲地没有买到票”，B=“从甲地去乙地去从甲地去乙地去”，C=“乙地没有买到票乙地没有买到票”，则则 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)甲甲乙乙丙丙30/20300/20070%二、二、全概率公式全概率公式(Complete probability formula)若事件若事件A1,A2,An满足：满足：(1)A1A2An=;(2)AiAj=(ij,1i,j n);(3)P(Ai)0 (1in);则对任意的事件则对任意的事件B，有，有特别地，若特别地，若P(A)0，则，则的的划划分分的完备事件组的完备事件组 证明证明 因为因为 (1)A1A2An=;(2)AiAj=(ij,1i,j n);(3)P(Ai)0 (1in);所以所以 例例1.4.51.4.5 设某仓库有一批产品，已知其设某仓库有一批产品，已知其中甲乙丙三中甲乙丙三个个工厂生产的产品依次占工厂生产的产品依次占50%、30%、20%，且，且甲乙丙甲乙丙厂厂的次品率分的次品率分别为别为1/10,1/15,1/20，现现从这批产品中从这批产品中任取任取一一件，求取得正品的概率？件，求取得正品的概率？解解 设设A1,A2,A3分别分别表示事件表示事件“取得的取得的产品分别由产品分别由甲甲、乙、丙厂、乙、丙厂生产生产”，B=“取得正品取得正品”，则则 利用全概率公式时，所求问题通常可以分前后两步，若把前一步的每一种可能情况设为一个事件，则它们构成一个完备事件组.前(取)：A1,A2,A3后(判)：B,敏感性问题的调查敏感性问题的调查 例例1.4.71.4.7（敏感性问题的调查）敏感性问题的调查）学生学生阅读黄色书刊阅读黄色书刊和和观看黄色影像会严重影像观看黄色影像会严重影像学生身心健康的发展学生身心健康的发展.但这但这些些都是避着老师和家长都是避着老师和家长进行属个人行为进行属个人行为.现在现在要要设计一设计一个个调查方案，调查方案，从调查从调查数据中估计出学生数据中估计出学生阅读黄色书刊阅读黄色书刊和和观看观看黄色影像黄色影像的的比率比率p.根据之前我们做的调查获知根据之前我们做的调查获知:有效问卷有效问卷 n 张；张；回答回答“是是”的的 k 张张.而且（而且（1 1）每人生日在）每人生日在7 7月月1 1日之前的概率为日之前的概率为0.5.（2 2）罐中红球的比率）罐中红球的比率0.6.问题一问题一：你的生日是否在7月1日之前？问题二问题二：你是否看过黄色书刊或影像？是 否 于是，由于是，由全概率公式知全概率公式知P(是是)=P(黑球黑球)P(是是|黑球黑球)+P(红球红球)P(是是|红球红球)即即三、三、贝叶斯公式贝叶斯公式(Bayesian formula)若事件若事件A1,A2,An是是的一个完备事件组，则对的一个完备事件组，则对任意的事件任意的事件B，有，有 如果所求问题可以分前后两步，把前一步的每一种如果所求问题可以分前后两步，把前一步的每一种可能情况设为一个事件，则它们构成一个完备事件组可能情况设为一个事件，则它们构成一个完备事件组.假如求后一步某事件的概率用全概率公式；若求后一步假如求后一步某事件的概率用全概率公式；若求后一步某事件发生的条件下前一步某事件的概率用贝叶斯公式某事件发生的条件下前一步某事件的概率用贝叶斯公式.后验概率后验概率先验概率先验概率 例例1.4.81.4.8 某地区居民的肝癌发病率为某地区居民的肝癌发病率为0.0004现用甲现用甲胎胎蛋白法蛋白法进行普查进行普查.医学医学研究表明，研究表明，化验结果化验结果是是存有错存有错误的误的.已知已知患有肝癌的人其患有肝癌的人其化验结果化验结果99%呈阳性呈阳性(有病有病)而而没有患肝癌的人没有患肝癌的人其化验其化验结结果果99%呈阴性呈阴性(无病无病).).现在现在某人某人的的检验结果检验结果呈阳性，问他呈阳性，问他真患真患肝癌的概率是肝癌的概率是多少？多少？解解 设设 A=“被检验的居民患肝癌被检验的居民患肝癌”；B=“检验结果呈阳性检验结果呈阳性”则则于是于是前前(居民居民)：A(患肝癌患肝癌),(不患肝癌患肝癌)后后(化验化验)：B(阳性阳性),(阴性阴性)进一步进一步降低错检的概率是提高检验精度降低错检的概率是提高检验精度的关键的关键.在在实际实际中由于技术、操作或经济等等原中由于技术、操作或经济等等原因，降低因，降低错检错检的概的概率率又是很又是很困难的困难的.所以所以，实际，实际当中常常当中常常采用复查采用复查的方法的方法来减少错误率来减少错误率.或者或者用用一些简单易行一些简单易行的方法先的方法先进行初进行初查查，排除大量明显，排除大量明显不是肝癌的人不是肝癌的人.作作 业业 1.5 1.5 独立性独立性 独立性独立性是概率论中的一个重要概念，是概率论中的一个重要概念，利用独立性可利用独立性可以以简化概率简化概率的计算的计算.定义定义1.5.11.5.1 如果事件如果事件A,B满足满足P(AB)=P(A)P(B)则称则称事件事件A,B相互独立相互独立，简称，简称A,B独立独立，否则称，否则称A,B不独不独立立或或相依相依.两事件相互独立是指：一个事件的发生与否不影响两事件相互独立是指：一个事件的发生与否不影响另一个事件是否发生另一个事件是否发生.性质性质1.5.11.5.1 若事件若事件A,B相互独立，则相互独立，则 证明证明 因为事件因为事件A,B相互独立，所以相互独立，所以于是于是同理可证同理可证 定义定义1.5.21.5.2 如果事件如果事件A,B,C 满足满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)则则称称A,B,C两两独立两两独立.若还有若还有 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称则称A,B,C相互独立相互独立.例例1.5.11.5.1 设设A,B,C相互相互独立，独立，试证试证AB与与C相互独立相互独立.证明证明 因为因为A,B,C相互相互独立独立，所以，所以 定义定义1.5.31.5.3 设事件设事件A1,A2,An满足：对满足：对任意任意的的1 1 i j 0.5 时，时，p2p1；采用五局三胜制对甲有利；采用五局三胜制对甲有利.（2 2）当）当 p=0.5 时，时，p2=p1=0.5；两种赛制都一样；两种赛制都一样.（3 3）当）当 p0.5 时，时，p2p1；采用三局两胜制对甲不利；采用三局两胜制对甲不利.当甲处于劣势的时候，比赛的局数越多越不利当甲处于劣势的时候，比赛的局数越多越不利.（1）比赛）比赛1000局又如何？局又如何？（时间有限制）（时间有限制）（2）直接）直接PK也分先后，比如每次也分先后，比如每次6杯，亦或杯，亦或8杯杯.（酒量有限制）（酒量有限制）试验的独立性 定义定义1.5.41.5.4 设有设有两两个试验个试验 E1,E2，假如试验，假如试验E1的任一的任一结果结果(事件事件)与试验与试验E2的任一结果的任一结果(事件事件)都是相互独立的都是相互独立的事件事件，则称这，则称这两个试验两个试验相互独立相互独立.类似类似可可定义定义n个个试验的相互独立性：试验的相互独立性：如果如果E1的的任一任一结果，结果，E2的的任一结果任一结果，En的任一结的任一结果都是相互独立的事件，则称试验果都是相互独立的事件，则称试验E1,E2,En相互独立相互独立.如果这如果这n个试验是相同的，则称其为个试验是相同的，则称其为n重独立重复试验；重独立重复试验；如果在如果在n重独立重复试验中，每次试验的可能结果都是两重独立重复试验中，每次试验的可能结果都是两个，则称这类试验为个，则称这类试验为n重伯努利重伯努利(Bernoulli)试验试验.例例1.5.31.5.3 某彩票每周开奖一次，每次某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之提供十万分之一一的中奖机会，且各周开奖是的中奖机会，且各周开奖是相互独立的相互独立的.某某彩民彩民每周每周买买一次彩票，一次彩票，坚持十年坚持十年(每年按每年按5252周周)那么那么他从未他从未中奖的中奖的可能性可能性是是多少？多少？解解 设设 Ai=“第第i次中奖次中奖”，(j=1,2,520)p=“在一次购买彩票中获奖在一次购买彩票中获奖”，则则 A1,A2,A520相互独立，且相互独立，且 p=10-5.于是于是 P(“连续购买十年该彩票，从未中获奖连续购买十年该彩票，从未中获奖”)买彩票就是和国家赌博，输了买彩票就是和国家赌博，输了(未中奖未中奖)很正常，很正常，权当是为社会做了贡献权当是为社会做了贡献(彩票的一部分收入要投入社彩票的一部分收入要投入社会公益事业会公益事业)，如果把买彩票中奖看作一个发财的机，如果把买彩票中奖看作一个发财的机会，其可笑的程度则无以复加会，其可笑的程度则无以复加.作作 业业