专升本高数第一轮第四章多元函数微分学课件.ppt

第四章第四章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数的定义多元函数的定义定义定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数图6-15 例6示意图（1）邻域）邻域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2 2）区域）区域概念概念多元函数的极限多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例1 1 求极限求极限 解解无穷小乘有界量仍是无穷小无穷小乘有界量仍是无穷小例例2 2解解定义定义 设二元函数设二元函数定义在定义在 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在 D 上上如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,此时此时称为称为间断点间断点.则称则称 二元函数二元函数连续连续.连续连续,多元函数的连续性多元函数的连续性偏导数偏导数1、解解例例1 求求 在点在点处处的偏的偏导导数数.例例2 2 求函数求函数的偏导数的偏导数.解解2 2、高阶偏导数、高阶偏导数混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.解解例例3 3设设求求例例4.求函数求函数解解:的二阶偏导数的二阶偏导数.全微分概念全微分概念例例5.计算函数计算函数在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.解解:例例6.计算函数计算函数的全微分的全微分.解解:复合函数求导法则（链式法则）复合函数求导法则（链式法则）以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.解解例例9.设设 求全导数求全导数解解:隐函数的求导公式隐函数的求导公式隐函数的求导法则隐函数的求导法则解解令令则则 多元函数的极值及其求法二元函数极值的概念二元函数极值的概念条件极值条件极值拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法1、二元函数的极值、二元函数的极值定义定义1 设函数设函数在点在点的某一邻域的某一邻域内有定义内有定义,对于该邻域内异于对于该邻域内异于的任意一点的任意一点如果如果则称函数在则称函数在有有极大值极大值;如果如果则称函数在则称函数在有有极小值极小值;极大值、极大值、极小值统称为极小值统称为极值极值.使函数取得极值的点使函数取得极值的点称为称为极值点极值点.2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件定理定理1(必要条件必要条件)设函数设函数在点在点具有偏导数具有偏导数,且在点且在点处有极值处有极值,的偏导数必然为零的偏导数必然为零,即即则它在该点则它在该点与一元函数的情形类似与一元函数的情形类似,对于多元函数对于多元函数,一阶偏导数同时为零的点称为函数的一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点驻点.凡是能使凡是能使可偏导的极值点一定是驻点可偏导的极值点一定是驻点(定理定理1），），但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点!注意：注意：时时,具有极值具有极值定理定理2(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且且令令则则:1)当当A0 时取极小值时取极小值.2)当当3)当当时时,没有极值没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数条件极值条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制下面我们要介绍求解一般条件极值问题的下面我们要介绍求解一般条件极值问题的拉格拉格朗日乘子法朗日乘子法.拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法问题问题:求目标函数求目标函数在所给条件在所给条件下的极值下的极值.下面介绍下面介绍拉格朗日函数拉格朗日函数即构造即构造将条件极值问题化为上述拉格朗日函数将条件极值问题化为上述拉格朗日函数拉格朗日乘数法来求解拉格朗日乘数法来求解,的无条件极值问题的无条件极值问题.再通过求解拉格朗日函数的再通过求解拉格朗日函数的无条件极值问题求得原问题的解无条件极值问题求得原问题的解.的方法的方法,就是就是拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法.这种求条件极值这种求条件极值解解则则