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信号与系统分析概述信号与系统分析概述信号分析的主要内容信号分析的主要内容 系统分析的主要内容系统分析的主要内容 信号与系统之间的关系信号与系统之间的关系 系统与电路之间的关系系统与电路之间的关系 信号与系统的应用领域信号与系统的应用领域 信号与系统课程的学习方法信号与系统课程的学习方法 参考书参考书信 号 分 析连续信号离散信号取样时域：信号分解为冲激信号的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合时域：信号分解为冲激序列的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合系 统 分 析连续系统离散系统系统的描述输入输出描述法：N阶微分方程系统响应的求解系统的描述系统响应的求解状态变量描述：N个一阶微分方程组时域：频域：复频域：输入输出描述法：N阶差分方程状态变量描述：N个一阶差分方程组时域：频域：Z域：信号与系统是相互依存的整体。信号与系统之间的关系信号与系统之间的关系1.信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，离开系统没有孤立存在的信号；2.系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理，没有信号的系统就没有存在的意义。信号与系统的应用领域信号与系统的应用领域通信控制计算机等信号处理信号检测 非电类:社科领域：电 类机械、热力、光学等股市分析、人口统计等系统与电路的关系系统与电路的关系1.通常把系统看成比电路更为复杂、规模更大的组合。系统：着重在输入输出之间的关系上，即系统能实现何种功能。2.处理问题的观点不同：电路：着重在电路中各支路或回路的电流 及各节点的电压上信号与系统课程的学习方法信号与系统课程的学习方法3.加强实践环节(学会用MATLAB进行信号分析)，通过实验加深对理论与概念的理解。1.着重掌握信号与系统分析的物理含义，将数学概念、物理概念及其工程概念相结合。2.注意提出问题，分析问题与解决问题的方法。4.通过多练，复习和加深所学的基本概念，掌握解决问题的方法。主主 要要 参参 考考 书书1 A.V.Oppenheim.Signals and Systems 或中译本（第二版）,西安交通大学出版社.2刘树棠译，信号与系统计算机练习利用 MATLAB，西安交通大学出版社，2000.3郑君里，应启珩等.信号与系统,第二版.高等教育出版社，2000.4 吴大正.信号与线性系统分析,第三版，高等教育出版社，2000.主主 要要 参参 考考 书书5 朱钟霖等.信号与系统.中国铁道出版社,1996.6 吴湘淇.信号、系统与信号处理,(上).电子工业出版社，1999.7 骆丽,胡健等译.全美经典学习指导系列 信号与系统，科学出版社，2002.第 1 章 信号与系统分析基本概念信号的描述及分类 系统的描述及分类 信号与系统分析概述1.1 信号的描述与分类信号的基本概念信号的基本概念 信号的分类信号的分类 确定信号与随机信号 连续信号和离散信号 周期信号与非周期信号 能量信号与功率信号一、信号的基本概念1.定义定义广义广义:信号是随时间变化的某种物理量信号是随时间变化的某种物理量。严格严格:信号是消息的表现形式与传送载体信号是消息的表现形式与传送载体。电信号通常是随时间变化的电压或电流。2.表示表示数学解析式或图形语音信号：语音信号：空气压力随时间变化的函数语音信号语音信号“你好你好”的波形的波形静止的单色图象：亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。静止的彩色图象：三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。二、信号的分类二、信号的分类确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。随机信号也称为不确定信号，不是时间的确定函数。1.1.确定信号与随机信号确定信号与随机信号连续信号：在观测过程的连续时间范围内信号有确定的值。允许在其时间定义域上存在有限个间断点。通常以f(t)表示。2.2.连续信号和离散信号连续信号和离散信号模拟信号：取值是连续的连续信号。离散信号：信号仅在规定的离散时刻有定义。通常以f n表示。数字信号：取值为离散的离散信号。连续时间信号与离散时间信号波形连续时间信号离散时间信号离散信号的产生 1)对连续信号抽样f n=f(nT)2)信号本身是离散的 3)计算机产生3.3.周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号*连续时间周期信号定义:,存在非零T，使得 *周期信号每一周期内信号完全一样故只需研究信号在一个周期内的状况。周期信号每一周期内信号完全一样故只需研究信号在一个周期内的状况。成立，则f(t)为周期信号。*离散时间周期信号定义:kI,存在非零整数N，使得成立，则fn 为周期信号。满足上述条件的最小的正最小的正T、正、正N称为信号的基本周期。*不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。能量信号:0E，P=0。功率信号:E，0P0 f(t-t0)，则表示信号右移t0单位；f(t+t0)，则表示信号左移t0单位。4.信号的翻转 f(t)f(-t)将f(t)以纵轴为中心作180翻转5.尺度变换 f(t)f(at)a0若0a1，则f(at)是f(t)的压缩。例：尺度变换变换后语音信号的变化 f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)6.信号的微分y(t)=df(t)/dt=f(t)注意：对不连续点的微分7.信号的积分例题 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(6-2t)的波形。0a1，压缩1/a倍-：右移b/a单位+：左移b/a单位先翻先翻转再展再展缩后平移后平移8.信号的分解1 1信号分解为直流分量与交流分量信号分解为直流分量与交流分量 2 2信号分解为奇分量与偶分量之和信号分解为奇分量与偶分量之和 3 3信号分解为实部分量与虚部分量信号分解为实部分量与虚部分量 4 4连续信号分解为冲激函数的线性组合连续信号分解为冲激函数的线性组合 连续时间信号直流交流1.1.信号分解为直流分量与交流分量之和信号分解为直流分量与交流分量之和离散时间信号2.2.信号分解为奇分量与偶分量之和信号分解为奇分量与偶分量之和连续时间信号离散时间信号偶分量奇分量例1 画出f(t)的奇、偶两个分量3信号分解为实部分量与虚部分量连续时间信号离散时间信号实部分量虚部分量4连续信号分解为冲激函数的线性组合当0时，k，d，且因此，有因此，有物理意物理意义：不同的信号都可以分解为冲激序列，不同的信号只是它们的系数不同。实际应用：用：当求解信号f(t)通过LTI系统产生的响应时，只需求解求解冲激信号通冲激信号通过该系系统产生的响生的响应，然后利用利用线性性时不不变系统的特性特性，进行迭加和延时即可求得信号f(t)产生的响应。信号分解为信号分解为(t)线性组合的物理意义与实际应用物理意义与实际应用2.3 连续时间LTI系统的响应线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应经典解法 初始条件的确定系统的零输入和零状态响应连续时间LTI系统的单位冲激响应和单位阶跃响应1.线性时不变系统的描述及特点线性时不变系统的描述及特点连续时间系统用N阶常系数微分方程描述ai、bi为常数。离散时间系统用N阶常系数差分方程描述ai、bi为常数。LTI系统除具有线性特性线性特性和时不变特性时不变特性外，还具有:1）微分特性与差分特性：若 T f(t)=y(t)则若 Tfn=yn则 T fn-fn-1=yn-yn-1 2）积分特性与求和特性：若 T f(t)=y(t)则若 Tfn=yn则1.线性时不变系统的描述及特点线性时不变系统的描述及特点系统响应求解方法系统响应求解方法1.经典时域分析方法:求解微分方程2.卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应2.连续时间连续时间LTI系统的响应系统的响应经典解法经典解法微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定2.连续时间连续时间LTI系统的响应系统的响应经典解法经典解法齐次解次解yh(t)的形式的形式(1)特征根是不等实根(2)特征根是相等实根(3)特征根是成对共轭复根常用激励信号对应的特解形式2.连续时间连续时间LTI系统的响应系统的响应经典解法经典解法例例1 1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号f(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。特征根为齐次解yh(t)解 (1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为2)求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)解得 C1=5/2，C2=-11/6由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。3)求方程的全解2.连续时间连续时间LTI系统的响应系统的响应经典解法经典解法关于初始条件的确定 在用经典法解微分方程时，应当注意，由于激励信号的作用，响应y(t)及其各阶导数有可能在激励接入时发生跳变，因此，为了确定解的待定系数所需的一组初始条件是指 t=0+时刻的值，即 ，j=0,1，n-1。及其各阶导数 在某些情况下，起始值可能发生跳变，因此系统的初始条件需要由已知的起始状态 及激励接入时起始值是否有跳变值来求得。2.连续时间连续时间LTI系统的响应系统的响应经典解法经典解法例例2：描述某：描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为已知，求 及 。解：解：将输入 代入微分方程得对上式等号两端从 到 进行积分有 由于积分是在无穷小区间0-,0+进行的，而且 是续的，故于是由上式得考虑到 在 t=0处是连续的，将 代入上式有，即即即1)若初始条件不变，输入信号 f(t)=sin t u(t)，则系统的完全响应y(t)=？2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？2.连续时间连续时间LTI系统的响应系统的响应经典解法经典解法讨 论经典法不足之典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。2.连续时间连续时间LTI系统的响应系统的响应经典解法经典解法3 系统的零输入与零状态响应系统完全响应=零输入响应+零状态响应1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的 初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型:求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式，再由初始条件yx(0+)确定待定系数。注意：注意：yx(0+)=y(0-)解 系统的特征方程为例3 已知某线性时不变系统的动态方程式为:系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。系统的特征根为 y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1 y(0-)=yx(0-)=-2K1-3K2=3解得 K1=6，K2=-5例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0-)=2，y(0-)=-1，求系统的零输入响应yx(t)。解 系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）y(0-)=yx(0-)=K1=1;y(0-)=yx(0-)=-2K1+K2=3 解得 K1=1,K2=5例5 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。解 系统的特征方程为系统的特征根为y(0-)=yx(0-)=K1=1 y(0-)=yx(0-)=-K1+2K2=3解得 K1=1，K2=22.系统的零状态响应求解系求解系统的零状的零状态响响应yf(t)方法：方法：1)直接求解初始状态为零的微分方程。2)卷积法-利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。（下节介绍）当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yf(t)表示。3 系统的零输入与零状态响应系统的零状态响应的直接解法求解方法：根据求解微分方程的步骤求出齐次解和特解，代入零状态的初始条件yf(0+)，求出待定系数。ai、bi为常数。注意：注意：yf(0+)=y(0+)-y(0-)例6 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=u(t)，求系统的零状态响应yf(t)。解 系统的特征方程为系统的特征根为由输入f(t)的形式，设方程的特解为yfp(t)=p将特解带入原微分方程即可得:2P=6，即P=3，设前面例已经求得前面例已经求得代入初始条件有代入初始条件有解得解得2.4连续时间系统的单位冲激响应和单位阶跃响应 在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信号为激励系统所产生的输出响应，称为系统的单位冲激响应，以符号h(t)表示。N阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足1.连续时间系统单位冲激响应的定义连续时间系统单位冲激响应的定义由于t0+后,方程右端为零,故nm时nm时,为使方程两边平衡,h(t)应含有冲激及其高阶导数,即将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数Ki，Ai2.用冲激平衡法求系统的单位冲激响应用冲激平衡法求系统的单位冲激响应2.4连续时间系统的单位冲激响应和单位阶跃响应例例6 6 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的单位冲激响应。解解：当f(t)=(t)时,y(t)=h(t),即动态方程式的特征根s=-3,且nm,故h(t)的形式为解得A=2例例7 7 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。解解：当f(t)=(t)时,y(t)=h(t),即动态方程式的特征根s=-6,且n=m,故h(t)的形式为解得A=-16,B=3冲激平衡法小结冲激平衡法小结1)1)由系统的特征根来确定由系统的特征根来确定u(t)前前的指数形式的指数形式.2)由由动态方程右方程右边(t)的最高的最高阶导数与方程数与方程 左左边h(t)的最高的最高阶导数确定数确定 (j)(t)项.2.4连续时间系统的单位冲激响应和单位阶跃响应求解方法:1)求解微分方程2)利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系3.连续系统的阶跃响应连续系统的阶跃响应2.4连续时间系统的单位冲激响应和单位阶跃响应例例8 求例1所述系统的单位阶跃响应g(t)。例1系统的单位冲激响应为解：利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系，可得h(t)=2e-3t u(t)2.5 卷卷积积分分1.利用卷利用卷积积分求解系分求解系统零状零状态响响应yf(t)1)将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合。2)求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响应 单位冲激响应h(t)。3)利用线性时不变系统的特性，求出单位冲激信号线性组合作用在系统上的响应，即系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t)。卷卷积法求解系法求解系统零状零状态响响应yf(t)推推导由时不变特性由均匀特性由积分特性例5 已知某LTI系统的动态方程式为y(t)+3y(t)=2f(t)，系统的冲激响应h(t)=2e-3t u(t),f(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yf(t)。解卷积积分的计算和性质卷积积分的计算和性质卷卷积积分的分的计算算 卷卷积积分的性分的性质 交换律、分配律、结合律、位移特性、展缩特性延迟特性、微分特性、积分特性、等效特性奇异信号的卷奇异信号的卷积积分分一一 卷积积分的计算卷积积分的计算卷积的定定义：1）将f(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自变量；卷积的计算步算步骤：2）把其中一个信号翻转、平移；3）将f()与h(-t)相乘；对乘积后的图形积分。例1例2：计算y(t)=p1(t)*p1(t)。a)-t -1b)-1 t 0y(t)=0c)0 t 1d)1 t y(t)=0练习1：u(t)*u(t)练习2：计算y(t)=f(t)*h(t)。=r(t)二二 卷积的性质卷积的性质1)交换律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2)分配律 f1(t)+f2(t)*f3(t)=f1(t)*f3(t)+f2(t)*f3(t)3)结合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)4)位移特性 已知 f1(t)*f2(t)=y(t)则:f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1-t2)5)展缩性位移特性证明：展缩特性证明：例：利用位移特性及u(t)*u(t)=r(t)，计算y(t)=f(t)*h(t)。y(t)=f(t)*h(t)=u(t)-u(t-1)*u(t)-u(t-2)=u(t)*u(t)-u(t-1)*u(t)-u(t)*u(t-2)-u(t-1)*u(t-2)=r(t)-r(t-2)r(t-1)+r(t-3)三三 奇异信号的卷积奇异信号的卷积1)延迟特性 f(t)*(t-T)=f(t-T)2)微分特性 f(t)*(t)=f(t)3)积分特性4)等效特性例1：已知 y(t)=f1(t)*f2(t)，求y(t)。解：y(t)=y(t)*(t)=f1(t)*f2(t)*(t)例2：已知 y(t)=f1(t)*f2(t)，求y(-1)(t)。解：y(-1)(t)=y(t)*u(t)=f1(t)*f2(t)*u(t)=f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(t)=f1(-1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(-1)(t)例3：利用等效特性，计算y(t)=f(t)*h(t)。f(t)=(t)-(t-1)f(t)*h(t)=h(t)-h(t-1)第3章 连续时间信号与系统的频域分析正交函数的概念正交函数的概念傅里叶傅里叶级数数 周期信号的周期信号的频谱及功率及功率谱非周期信号的非周期信号的频谱傅里叶傅里叶变换 傅里叶傅里叶变换的性的性质周期信号的傅里叶周期信号的傅里叶变换连续LTI系系统的的频域分析域分析3.1 正交函数的概念信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似一、正交矢量一、正交矢量：定义：如果两个矢量定义：如果两个矢量 和和 相互垂直，则称相互垂直，则称 和和 为正交矢量。为正交矢量。设在平面上，两个矢量设在平面上，两个矢量 和和 夹角为夹角为，在在 上的投影为上的投影为 3.1 正交函数的概念其误差矢量为其误差矢量为：1、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：若用若用 来近似表示来近似表示 ，则，则表达式为：表达式为：3.1 正交函数的概念2、若从解析角度考虑、若从解析角度考虑c12的取值问题，可令误差矢的取值问题，可令误差矢量的平方最小：量的平方最小：C12标志着两个矢量相互接近的程度。标志着两个矢量相互接近的程度。xy这个概念可推广到这个概念可推广到n维空间维空间。平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。矢量的组合。3.1 正交函数的概念二、正交函数：二、正交函数：设在时间区间（设在时间区间（t1，t2）内，两函数）内，两函数f1(t)，f2(t)。用用f1(t)在在f2(t)中的分量中的分量c12f2(t)来表示来表示f1(t)。即。即：设误差函数为设误差函数为：为使为使f1(t)和和f2(t)达到最佳近似，用均方误差达到最佳近似，用均方误差：令可得：3.1 正交函数的概念当当c12为为0时，表示两个函数正时，表示两个函数正交。交。c12为为f1(t)与与f2(t)的相关的相关系数。由此，给出正交函数系数。由此，给出正交函数的定义：的定义：3.1 正交函数的概念1、在在t1,t2区间上定义的非零实函数区间上定义的非零实函数f1(t)与与f2(t)，若满足条件：若满足条件：则函数则函数f1(t)与与f2(t)为区间为区间t1,t2上的正交函数上的正交函数 2、若若 f1(t)与与f2(t)是复变函数，则是复变函数，则 f1(t)与与f2(t)在在t1,t2区间上正交的条件是：区间上正交的条件是：正交函数的定义：3.1 正交函数的概念三、正交函数集：三、正交函数集：定义：定义：在在t1,t2区间上定义的区间上定义的n个非零实函数集个非零实函数集 g1(t),g2(t),gn(t)，其中任意两个函数，其中任意两个函数gi(t)、gj(t)均满足：均满足：其中，其中，ki为常数，称此函数集为为常数，称此函数集为正交函数集正交函数集3.1 正交函数的概念 任意一个函数任意一个函数f(t)f(t)在区间在区间tt1 1,t,t2 2 内，可以内，可以用这用这n n个正交函数的线性组合来近似表示：个正交函数的线性组合来近似表示：在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得系数得系数c c1 1,c,c2 2,c,cn n：3.1 正交函数的概念令则：3.1 正交函数的概念四、完备正交函数集四、完备正交函数集 在区间在区间tt1 1,t,t2 2 内，用正交函数集内，用正交函数集g g1 1(t),g(t),g2 2(t),.,g(t),.,gn n(t)(t)，来近似表示函数，来近似表示函数f(t)f(t)，其方均误差为，其方均误差为 ：若若 则称此函数集为完备正交函数集则称此函数集为完备正交函数集。所谓完备，是指对任意函数所谓完备，是指对任意函数f(t)f(t)，都可以用一无穷级数表示：，都可以用一无穷级数表示：此级数收敛于此级数收敛于f(t)f(t)。上式即。上式即f(t)f(t)的正交分解。的正交分解。3.1 正交函数的概念常用的完备正交函数集常用的完备正交函数集:1 1、三角函数集：、三角函数集：函数函数1 1，coscos t,cos2t,cos2 t,cosnt,cosn t,.,sint,.,sin t,t,sin2sin2 t,sinnt,sinn t,t,当所取函数有无限多个时，在区间当所取函数有无限多个时，在区间tt0 0，t t0 0+T+T内组内组成完备正交函数集。其中成完备正交函数集。其中T=2T=2/2 2、复指数函数集：、复指数函数集：函数集函数集ejnejn t,n=0,1,2,t,n=0,1,2,是一个复变函数集，是一个复变函数集，在区间在区间t0t0，t0+Tt0+T内是完备正交函数集。内是完备正交函数集。将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合(1)从信号分析的角度从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。(2)从系统分析角度从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。3.2 傅里叶级数意义：一、周期信号的傅立叶级数展开1.周期信号展开为傅立叶级数条件 周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即：(1)绝对可积，即满足 (2)在一个周期内只有有限个不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1）为充分条件但不是必要条件；条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。3.2 傅里叶级数3.2 傅里叶级数2.2.指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为其中两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量。的基波频率为2f0，两项合起来称信号的2次谐波分量。的基波频率为Nf0，两项合起来称信号的N次谐波分量。物理含物理含义义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。3.2 傅里叶级数3.3.三角形式傅立叶三角形式傅立叶级级数数若 f(t)为实函数，则有利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为令由于F0是实的，所以b0=0，故3.2 傅里叶级数3.2 傅里叶级数纯余弦形式傅立叶级数 称为信号的直流分量，An cos(n0+n)称为信号的n次谐波分量。3.2 傅里叶级数例1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展开式。解:该周期信号f(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，必然存在傅立叶级数展开式。3.2 傅里叶级数可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为若=T/2，则有由因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为3.2 傅里叶级数例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。解:该周期信号f(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Fn存在3.2 傅里叶级数周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为由周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开式为3.2 傅里叶级数4.4.周期信号的周期信号的对对称性与傅里叶称性与傅里叶级级数系数的关系数系数的关系(1)偶对称信号fT(t)=fT(-t)纵轴对纵轴对称周期信号称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直流直流项项与余弦余弦项项。3.2 傅里叶级数(2)奇对称信号 fT(t)=-fT(-t)原点原点对对称周期信号称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有正弦正弦项项。3.2 傅里叶级数(4)半波重叠信号 fT(t)=f(tT/2)半波重叠周期信号半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次正弦与余弦的偶次谐谐波分量波分量，而无奇次谐波分量。3.2 傅里叶级数(5)半波镜像信号 fT(t)=-f(tT/2)半波半波镜镜像周期信号像周期信号只含有只含有正弦与余弦的奇次正弦与余弦的奇次谐谐波分量波分量，而无直流分量与偶次而无直流分量与偶次谐谐波分量。波分量。3.2 傅里叶级数去掉直流分量后，信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性3.2 傅里叶级数例33.3 周期信号的频谱及功率谱 周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。Fn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱频谱函数函数。不同的时域信号，只是傅里叶傅里叶级级数的系数数的系数Fn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。1 1、频谱的概念、频谱的概念3.3 周期信号的频谱及功率谱2 2、频谱的表示、频谱的表示 直接画出信号各次谐波对应的An、Fn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。幅频特性相频特性3.3 周期信号的频谱及功率谱例1周期矩形脉冲信号的频谱图3.3 周期信号的频谱及功率谱3 3频谱的特性频谱的特性 周期信号的频谱是由 间间隔隔为为0的谱线组成 信号周期T越大，0就越小，则谱线越密。反之，T越小，0越大，谱线则越疏。(1)(1)离散特性离散特性(谐波性谐波性)(2)(2)幅度衰减特性幅度衰减特性当周期信号的幅度频谱 随着谐波随着谐波nw w0增大增大时，幅度频谱|Fn|不断衰不断衰减减，并最终趋于零。若信号时域波形变化越平缓时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减幅度频谱衰减 越快越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。f(t)不连续时，不连续时，Fn按按1/n的速度衰减的速度衰减 f(t)不连续时，不连续时，Fn按按1/n2的速度衰减的速度衰减3.3 周期信号的频谱及功率谱(3)(3)信号的有效带宽信号的有效带宽02/这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即 信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。即 越大，其B越小；反之，越小，其B越大。物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。说说明：明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。3.3 周期信号的频谱及功率谱4.4.相位谱的作用相位谱的作用幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变3.3 周期信号的 频谱及功率谱5.5.功率谱功率谱物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。周期信号的功率频谱：|Fn|2 随n0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率功率谱谱。帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理3.3 周期信号的频谱及功率谱例4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02/)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。3.3 周期信号的 频谱及功率谱解 周期矩形脉冲的傅立叶系数为将A=1，T=1/4，=1/20，0=2/T=8 代入上式功率谱3.3 周期信号的频谱及功率谱信号的平均功率为包含在有效带宽(02/)内的各谐波平均功率为周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。吉布斯现象 用有限次谐波分量来近似原信号，在不在不连续连续点点出出现过现过冲冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，且 为为跳跳变值变值的的9%。吉伯斯现象产生原因 时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间间断点断点傅里叶级数出现非一致收非一致收敛敛。3.3 周期信号的频谱及功率谱N=5N=15N=50N=5003.3 周期信号的频谱及功率谱3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换1从傅立叶级数到傅立叶变换讨论周期T增加对离散谱的影响：周期为T宽度为的周期矩形脉冲的Fourier系数为3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换物理意义:F(j)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。(1)周期信号的周期信号的频谱为频谱为离散离散频谱频谱，非周期信号的非周期信号的频谱为频谱为连续连续频谱频谱。(2)周期信号的周期信号的频谱为频谱为Cn的分布，的分布，表示每个表示每个谐谐波分量的复振幅波分量的复振幅；非周期信号的非周期信号的频谱为频谱为T Cn的分布，表示每的分布，表示每单单位位带宽带宽内内 所有所有谐谐波分量合成的复振幅，即波分量合成的复振幅，即频谱频谱密度函数。密度函数。3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换两者关系：T,记n0=,0=2/T=d,物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，复振幅为F()/2d 的复指数信号ej t的线性组合。3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换傅立叶正变换：傅立叶反变换：符号表示：3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换狄里赫莱条件狄里赫莱条件是充分不必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些点必须是有限值。3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换例1 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数解 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为由傅立叶正变换定义式，可得3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换分析分析：2.周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得3.信号在时时域有限域有限，则在频频域域将无限无限延续。4.信号的频谱分量主要集中在零零频频到第一个到第一个过过零点零点之间，工程中往往将此宽度作为有效有效带宽带宽。5.脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。1.非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换2典型信号的傅里叶变换(1)单边指数信号幅度频谱为相位频谱为3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换(2)双边指数信号e-|t|相位频谱为:幅度频谱为:3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换(3)单位冲激信号(t)单位冲激信号及其频谱3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换对照冲激、直流时频曲线可看出:时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换（5）符号函数信号符号函数定义为3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换(4)直流信号直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限的方法求出其傅里叶变换。3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换符号函数的幅度频谱和相位频谱3.4 非周期信号的频谱傅里叶变换(6)单位阶跃信号u(t)单位阶跃信号及其频谱3.5 傅里叶变换的性质1.线性特性其中a和b均为常数。2.共轭对称特性当f(t)为是实函数时，有|F(j)|=|F(-j)|，f()=-f(-)F(j)为复数，可以表示为3.5 傅里叶变换的性质3.5 傅里叶变换的性质式中t0为任意实数证明：令x=t-t0，则dx=dt，代入上式可得信号在信号在时时域中的域中的时时移，移，对应频谱对应频谱函数在函数在频频域域 中中产产生的附加相移，而幅度生的附加相移，而幅度频谱频谱保持不保持不变变。3.时移特性3.5 傅里叶变换的性质例1试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。解 无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t)如右图，因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为3.5 傅里叶变换的性质令x=at，则dx=adt，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。3.展缩特性证明:3.5 傅里叶变换的性质3.5 傅里叶变换的性质5.互易对称性3.5 傅里叶变换的性质若 f(t)F(j)式中0为任意实数证证明明：由傅立叶变换定义有则6.移频特性（调制定理）3.5 傅里叶变换的性质 信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。同理3.5 傅里叶变换的性质 例2 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后信号的频谱函数。应用频移特性可得解解 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为3.5 傅里叶变换的性质3.5 傅里叶变换的性质则若f(t)F(j)7.时域微分特性3.5 傅里叶变换的性质 例3试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。解 由时域微分特性因此有3.5 傅里叶变换的性质若 信号不存在直流分量，即F(0)=0则若f(t)F(j)则8.时域积分特性3.5 傅里叶变换的性质则若f(t)F(j)将上式两边同乘以j得证证明：明：9.频域微分特性3.5 傅里叶变换的性质例4 试求单位斜坡信号tu(t)的傅立叶变换。解 已知单位阶跃信号傅立叶变换为:利用频域微分特性可得:3.5 傅里叶变换的性质证证明：明：10.时域卷积定理3.5 傅里叶变换的性质证明：11.频域卷积定理3.5 傅里叶变换的性质由于信号f(t)为实数，故F(-j)=F*(j)，因此上式为11.非周期信号的能量谱密度3.5 傅里叶变换的性质 信号的能量可以由|F(j)|2在整个频率范围的积分乘以1/2 来计算。物理意物理意义义：非周期能量信号的归一化能量在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。能量能量频谱频谱密度函数密度函数(能量频)：单位角频率的信号能量帕斯瓦帕斯瓦尔尔能量守恒定理能量守恒定理傅里叶变换的性质一览表1.线性特性2.对称互易特性 3.展缩特性 4.时移特性5.频移特性 6.时域卷积特性7.频域卷积特性 8.时域微分特性 9.积分特性10.频域微分特性 3.6 周期信号的傅里叶变换(1)虚指数信号同理:3.6 周期信号傅里叶变换(2)(2)正弦型信号正弦型信号余弦信号及其频谱函数3.6 周期信号傅里叶变换正弦信号及其频谱函数3.6 周期信号傅里叶变换（3）单位冲激序列因为T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅立叶级数：3.6 周期信号傅里叶变换单位冲激序列及其频谱函数3.6 周期信号傅里叶变换（4）一般周期信号两边同取傅立叶变换 方法一3.6 周期信号傅里叶变换方法二设周期信号 ，从该信号中截取一个周期信号，令其为 。这是求周期信号的傅里叶变换的另一种方法。3.6 周期信号傅里叶变换例1 求周期性脉冲 的频谱函数。解：0 tT-TpT(t)13.6 周期信号傅里叶变换（5）傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系可见，周期信号的傅里叶系数等于 在 处的值乘上 。傅里叶变换的许多性质也可适用于傅里叶级数，这提供了求周期信号傅里叶系数的另一种方法。3.6 周期