2019高中数学 第3章3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案.doc

13.2.23.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算学习目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算(重点、难点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(易混点)3.了解共轭复数的概念(难点)自 主 预 习·探 新 知1复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1abi，z2cdi，a，b，c，dR R，则z1·z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.思考 1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？提示复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1，再把实部、虚部分别合并(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C C，有交换律z1·z2z2·z1结合律(z1·z2)·z3z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1·z2z1·z3思考 2：|z|2z2，正确吗？提示不正确例如，|i|21，而 i21.2共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用 表示即zabi，则 abi.zz3复数代数形式的除法法则(abi)÷(cdi)i(cdi0)acbd c2d2bcad c2d2基础自测1思考辨析(1)实数不存在共轭复数( )(2)两个共轭复数的差为纯虚数( )(3)若z1，z2C，且zz0，则z1z20.( )2 12 2答案 (1)× (2) (3)×2复数(32i)i 等于( ) 【导学号：48662149】A23i B23iC23i D23i2B B (32i)i3i2i·i23i，选 B.3. 已知复数z2i，则z· 的值为( )zA5 B.5C3 D.3A A z· (2i)(2i)22i2415，故选 A.z4. (2i)÷i_. 【导学号：48662150】12i (2i)÷i12i.2i i2ii ii合 作 探 究·攻 重 难复数乘法的运算(1)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)(2)计算：(12i)(34i)(2i)；(34i)(34i)；(1i)2.(1)解析 z(1i)(ai)(a1)(1a)i，因为对应的点在第二象限，所以Error!，解得a<1 ，故选 B答案 B B(2)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(1i)212ii22i.规律方法 1两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等2常用公式(1)(abi)2a22abib2(a，bR R)；(2)(abi)(abi)a2b2(a，bR R)；(3)(1±i)2±2i.3跟踪训练1(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )Ai(1i)2 Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)(2)复数z(12i)(3i)，其中 i 为虚数单位，则z的实部是_. 【导学号：48662151】(1)C C (2)5 (1)A 项，i(1i)2i(12ii2)i×2i2，不是纯虚数B 项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数C 项，(1i)212ii22i，是纯虚数D 项，i(1i)ii21i，不是纯虚数故选 C.(2)(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是 5.复数除法的运算(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是， ，则复数对应的点位于( )OAOBz1 z2A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)计算：.1i7 1i1i7 1i34i22i3 43i(1)解析 由复数的几何意义知，z12i，z2i，所以12i，z1 z22i i对应的点在第二象限答案 B B(2)原式(1i)23·(1i)23·(2i)1i 1i1i 1i834i1i3 34ii3·i(2i)3·(i)881616i16i.8·2i1i i规律方法 1两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；4(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2常用公式(1) i；(2)i；(3)i.1 i1i 1i1i 1i跟踪训练2(1)设复数z满足i，则|z|( )1z 1zA1 B2C D23(2)计算：；7i 34i1i2i i(1)A A 由i 得 1zi(1z)，1z 1z即z，zi，1i 1i1i1i 1i1i1i2 2|z|1，选 A.(2)1i.7i 34i7i34i 34i34i2525i 2513i.1i2i i3i i3i·i i·i共轭复数及其应用探究问题1若z ，则z是什么数？这个性质有什么作用？z提示：z zR R，利用这个性质可证明一个复数为实数z2若z0 且z 0，则z 是什么数？这个性质有什么作用？z提示：z0 且z 0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数z3三个实数|z|，| |，z· 具有怎样的关系？zz提示：设zabi，则 abi，所以|z|，| |za2b2za2b2，z· (abi)(abi)a2(bi)2a2b2，所以|z|2| |2z· .a2b2zzz(1)已知复数z， 是z的共轭复数，则z· 等于( )3i1 3i2zzA. B. C1 D21 41 2(2)已知复数z满足|z|，且(12i)z是实数，求 . 5z5【导学号：48662152】思路探究：可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解(1 1)解析 法一：z3i1 3i2 3i2i1 3i2i1 3i1 3i2i1 3i ，i1 3i434i 4 ，z· .z34i 4z1 4法二：z，3i1 3i2|z| ，|3i1 3i2| 3i|1 3i2|2 41 2z· .z1 4答案 A A(2)设zabi(a，bR R)，则(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i.又因为(12i)z是实数，所以b2a0，即b2a，又|z|，所以a2b25.解得5a±1，b±2.所以z12i 或12i，所以 12i 或12i，即 ±(12i)zz母题探究：1.在题设(1)条件不变的情况下，求 .z z解 由例题(1)的解析可知z ， ，z· ， i.34i 4z34i 4z1 4z zz2 zz1 2322把题设(2)的条件“(12i)z是实数”换成“(12i)z是纯虚数” ，求 .z解 设zabi，则 abi，由例题(2)的解可知a2b，由|z|za2b2，得b1，a2；或b1，a2.所以 2i，或 2i.5b25zz规律方法 1由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数2注意共轭复数的简单性质的运用当 堂 达 标·固 双 基1设复数z满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则z等于( )【导学号：48662153】Ai Bi6C1 D1A A z i.1 i2若复数zi(32i)(i 是虚数单位)，则 ( )zA23i B23iC32i D32iA A zi(32i)3i2i223i， 23i.z3复数(为虚数单位)的实部等于_3i i2【导学号：48662154】3 由题可得3i，3i 的实部为3.3i i24(1i)2_.2i 2i i (1i)22i i.3 514 52i 2i2i2 53 514 55已知复数z1(1i)(1bi)，z2，其中a，bR R.若z1与z2互为共轭复a2i 1i数，求a，b的值. 【导学号：48662155】解 z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i, z2a2i 1ii.a2i1i 1i1iaai2i2 2a2 2a2 2由于z1和z2互为共轭复数，所以有Error!解得Error!