备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题33 多角度破解多变元范围问题.doc

1专题专题 3333 多角度破解多变元范围问题多角度破解多变元范围问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】在近几年的高考题目中，有些多变元（量）确定范围问题，一般地可利用已知条件进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得范围（最值） ，且消元的方法较多.另外，某些题目也可以利用数形结合法求解.本专题重点说明从消元、数形结合等角度解答此类问题.（一）消元法：1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响） ，所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值） ，消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域2、常见消元的方法：（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式） ，则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点： 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域） ；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂） 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担.例如选择t为主元，且有 ,xf taxb，则t除了满足自身的范围外，还要满足 af tb（即解不等式）（2）换元：常见的换元有两种：整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如,yyxx等，例如在xyuxy中，可变形为11y xuy x ，设ytx，则将问题转化为求1 1tut的值域问题注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围三角换元：已知条件为关于, x y的二次等式时，可联想到三角公式，从而将, x y的表达式转化为三角函数表达式来求得范围.因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：平方和：联想到正余弦平方和等于 1，从而有：22cos1sinxxyy ,0,22推广：2222cos1sinxaxy ybab ,0,2平方差：联想到正割（1 cos） 与正切（sintancos）的平方差为 1，则有221seccos1,0,2sintancosx xy y ，推广：2222seccos1,0,2sintancosaxaxy babyb 注：若, x y有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若, x y的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围3、消元后一元表达式的范围求法：（1）函数的值域通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（2abab等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值.（3）三角函数： 形如sincosab的形式：则可利用公式转化为sinA的形式解得值域（或最值） 形如sinf：则可通过换元sint将其转化为传统函数进行求解 形如：sin cosa b ，可联想到此式为点cos ,sin和定点, a b连线的斜率，其中cos ,sin为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围（二）放缩消元法1、放缩法求最值的理论基础：不等式的传递性：若 ,f x yg xg xm，则,f x ym 2、常见的放缩消元手段：（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于 0，达到消元的效果3（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果.3、放缩消元过程中要注意的地方：（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“” ；若求最大值，则对应的不等号为“”.放缩的方向应与不等号的方向一致（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值.放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致.若将关于, x y 的表达式,f x y进行放缩消去y，得到 g x，例如 ,f x yg x，则下一步需要求出 g x的最小值（记为m） ，即 ,f x yg xm，通过不等式的传递性即可得到,f x ym.同理，若放缩后得到： ,f x yg x，则需要求出 g x的最大值（记为M） ，即 ,f x yg xM，然后通过不等式的传递性得到,f x yM（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去（三）数形结合法1、数形结合的适用范围：（1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组（2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等）2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩.【经典例题经典例题】例 1. 已知函数 1,ln22xxf xeg x，对任意的aR，存在0,b，使得 f ag b，则ba的最小值为（ ）A. 21e B. 21 2e C. 2ln2 D. 2ln2【答案】D4【解析】由已知 f ag b，可得：1ln22abe ，考虑进行代入消元，但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母，形式都比较复杂不利于求出最值.所以可以考虑引入新变量m作为桥梁，分别表示, a b， '10,02mh m '1,02mh m h m在10,2单调递减，在1,2单调递增 minmin12ln22bah mh答案：D.例 2. 若实数, x y满足条件221xy，则212y xx的取值范围是_【答案】2,2【解析】思路一：考虑所求式子中21 x可变为222xy x，所以原式变形为：2222221xyyyy xxxx ，可视为关于y x的二次函数，设ytx，其几何含义为, x y与0,0连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即1,1t ，则 2221122,2f tttt 思路二：本题也可以考虑利用三角换元.设1sin,tancoscosxy，从而原式转化为：5222cos2 tancos1sin2sinsin12 ，由sin1,1 可知2sin12的范围为2,2答案：2,2例 3. 对于0c ，当非零实数, a b满足224240aabbc且使2ab最大时，345 abc的最小值是_【答案】2 【解析】思路：首先要寻找当2ab最大时，, ,a b c之间的关系，以便于求多元表达式的范围从方程224240aabbc入手，向2ab靠拢进行变形，在利用取得最大值时, ,a b c的关系对所求345 abc进行消元求最值.2528abc（等号成立条件：2232babba825cab 最大值是8 5c，从而可得：232882255baccabab 解得：23 2 10abcb 2222345345121141 1222310222 2abcbbbbbbbb 6答案：345 abc的最小值为2例 4. 设实数, ,a x y满足2222123xyaxyaa ，则xy的取值范围是_【答案】1131132,24242211131133112,224242xya点睛：1.（*）为均值不等式的变形：2222222222222xyxyxyxyxyxy；2.主元变为 a.例 5.【2019 届江苏省苏锡常镇四市调研（二） 】已知为正实数，且，则的最小值为_【答案】.【解析】分析：先通过结合基本不等式求出，再开方得到的最小值.详解：由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当 ab=1 时取等.7所以即的最小值为.故答案为：点睛：本题的难点在要考虑到通过变形转化得到，再想到两边除以得，重点考查学生的逻辑分析推理转化的能力.例 6.设集合3|12baba中的最大元素与最小元素分别为,M m，则Mm的值为_【答案】52 3例 7设实数, ,a b c满足221abc，则abc的最大值为_【答案】21【解析】思路：由abc可联想到ab与22ab的关系，即22 22abab，所以22 22ababcc，然后可利用22abc进一步放缩消元，得22 222ababcccc，在利用1c 即可得到最大值：221cc，所以abc的最大值为21，其中等号成立条件为：222 2 11ab ababc cc 8答案：21点睛：本题也可从22ab入手，进行三角换元：cos sinar br ，由22abc可得rc，然后根据不等号的方向进行连续放缩，消去, , r c 即可得到最值：cossin2 sin22214abcrrcrcrccc.例 8. 设, ,0x y z ，且2xyz，则2223xyz的最大值是_ 【答案】12【解析】思路：本题虽然有 3 个变量，但可通过2xyz进行消元，观察所求式子项的次数可知消去y更方便，从而可得222223232xyzxxzz.然后可使用“主元法”进行处理，将x视为主元，设 22232f xxxzz , ,00 22x y zx yxzxz02xz '41fxx 1 4x为 f x的极小值点 maxmax0 ,2f xffz 2222032,22 23588fzzfzzzzz 22 maxmax 32,588f xzzzz 其中0,2z设 22max 32,588g zzzzz9若2233258822zzzzz 22332,223588,0,2zzz g z zzz 可得： max212g zg 22222223232max 32,588212xyzxxzzzzzzg.例 9.【2019 届江苏省苏锡常镇四市调研（二） 】已知函数若存在实数，满足，则的最大值是_【答案】.存在实数 abc，满足 f（a）=f（b）=f（c） ，a+b=6，af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c6）lnc，由函数图象可知：ce2，设 g（c）=（c6）lnc，则=lnc+1 ，显然在（，e2上单调递增，=2 0，=30，在（，e2上存在唯一一个零点，不妨设为 c0，在 g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2上单调递增，10又 g（）= （6）0，g（e2）=2（e26）0，g（c）的最大值为 g（e2）=2e212故答案为：2e212点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现 a+b=-6, ce2；其三是能够想到构造函数 g（c）=（c6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.例 10.【2019 届衡水金卷信息卷四】已知函数 32(0)f xaxbxx a的导函数 'fx在区间,1内单调递减，且实数a， b满足不等式2220baa，则3 2b a 的取值范围为（ ）A. 3,62 B. 1 3,2 2 C. 3,62D. 1 3,2 2【答案】C又3 2b a 的几何意义是表示平面区域内的动点 Q(a,b)与定点 P(2,3)连线的斜率，数形结合易知PBk最大， POk最小，由方程组23033 ,1, 36,22012PBabBkbaa ，33.22POk所以3 2b a 的取值范围为3,62，故选 C.点睛：本题的难点在于能够数形结合，看到不等式30ab要联想到二元一次不等式对应的平面区域，11看到不等式2220baa要联想到二次不等式对应的曲线区域.如果这个地方不能想到数形结合，本题突破就不容易.数学的观察想象是数学能力的一个重要部分,在平时的学习中,要有意识的培养和运用.【精选精练精选精练】1 【2019 届四川省绵阳市三诊】若曲线ln1yx的一条切线是yaxb，则4bae的最小值是（ ）A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2【答案】C2.【2019 届安徽省“皖南八校”第三次（4 月）联考】已知函数，若满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由已知条件可得，函数是定义在上的奇函数，从而将题中的条件转化为关于的二元一次不等式组，画出相应的可行域，之后结合目标函数的几何意义，确定最优解的位置，从而求得范围.最小值，在点处取得最大值，而边界值取不到，故答案是，故选 C.点睛：该题属于利用题的条件，求得约束条件，确定可行域，结合目标函数是分式形式的，属于斜率型的，结合图形，求得结果.123 【2019 届东北三省三校（哈尔滨师范大学附属中学）三模】已知函数 ，函数 有四个不同的零点，从小到大依次为 ， ， ， ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据对称性可得，且，再根据韦达定理可得，利用基本不等式，结合选项可得结果.详解：函数 ，函数 的零点，就是的图象与交点的横坐标，是方程的两根，13关于对称，且，只有选项 符合题意，故选 A.点睛：本题主要考查函数的零点、函数与方程思想、数形结合思想以及基本不等式求最值，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在 轴有交点方程有根函数与有交点.4 【辽宁省部分重点中学协作体 2019 年高三模拟】直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：由可得，换元、配方后利用二次函数求解即可.详解：因为直线与圆有公共点，设，则，由二次函数的性质可得时，故选 B.14点睛：本题主要考查曲直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.5 【2019 届山西省榆社中学诊断】设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：不失一般性可设，利用，结合图象可得 的范围及，将所求式子转化为 的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围.，则的范围是，故选 B点睛：本题考查函数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想以及数形结合思想的应用6 【2019 届安徽省“皖南八校”第三次（4 月）联考】若均为任意实数，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 15【答案】D【解析】分析：该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.详解：由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以 为半径的圆上的点的距离的平点睛：解决该题的关键是分析清式子代表的意义，再者就是什么时候满足距离最小，之后应用导数的几何意义求得切线的斜率，应用两点斜率坐标公式求得直线的斜率，两条直线垂直，斜率乘积等于-1.从而求得结果.7 【2019 届四川省南充市高三第三次联合诊】已知函数 3 21232xf xaxbxc的两个极值分别为 1f x， 2f x，若1x， 2x分别在区间0,1与1,2内，则2ba的取值范围是（ ）A. 2,7 B. 4, 2 C. 5, 2 D. ,27,【答案】A【解析】分析：先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可详解：函数 3 21232xf xaxbxc 2'20fxxaxb的两个根为1x， 2x，1x， 2x分别在区间(0,1)与(1,2)内 ' 0020 ' 10fff020 210babab 16做出可行域如图所示，令z2ba，平移直线2baz.经过点 A(-1,0)时， z最小为：2；经过点 B(-3,1)时，z 最大为：7b2a(2,7)，故选 A.点睛：解本题的关键是处理二次函数根的分布问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于 x 轴的交点个数；四是，区间端点值.8 【2019 届华大新高考联盟 4 月检测】对，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C上恒成立，即函数在 上单调递增，则的最小值为.故选 C.9 【2019 届高三下学期第二次调研】已知函数的图像在点处的切线的17斜率为 2，则的最小值是（ ）A. 10 B. 9 C. 8 D. 【答案】B所以的最小值为 ，故选 B.10 【2019 届陕西省延安市高三高考模拟】已知函数，若，且，则的最小值为_【答案】9【解析】试题分析：已知函数的表达式，可求出再根据 1 的妙用，为乘以，最终应用均值不等式求得最值.详解：已知函数，,所以，则+ 点睛：这个题目考查了分段函数的性质及应用，以及双变量的最值求法，即均值不等式中 1 的妙用.解决二元最值或者范围问题，常用的方法有：不等式的应用，线规的应用，二元化一元等方法.11 【2019 届浙江省宁波市高三 5 月模拟】已知实数满足：， .则的最小值为_【答案】6.【解析】分析: 不妨设 是中的最小者，即，把已知转化为，且，.再利用一元二次方程的根来分析求的最小值.18又当,时，满足题意. 故中最小者的最大值为. (1) 因为，所以为全小于 0 或一负二正.1)若为全小于 0，则由（1）知，中的最小者不大于，这与矛盾.2）若为一负二正，设，则当,时，满足题设条件且使得不等式等号成立故的最小值为 6. 点睛：本题解题的关键难在转化，先要消元，通过已知的分析转化得到 b+c 的表达式和 a 的范围，再利用函数分析求的最小值.12.【2019 年 4 月 2019 届高三第二次全国大联考】已知函数的定义域为,值域为,则的值为_.【答案】【解析】因为,所以,所以.当时,由题意,得,即,两式相减并化简得,又因为,所以此时不存在满足条件的；当19满足条件的唯一,所以.