4-3--多项式的整除性ppt课件(全).ppt

2023/2/4高等代数一、多项式整除的概念1.多项式的整除性设，若存在，使，则说整除，记为：，记为：。当 时，称作的因式，称作的倍式。2.整除的基本性质性质性质1：否则就说不能整除若2023/2/4高等代数则。（传递性）证：使 性质性质2：若，则 。证：2023/2/4高等代数性质性质3：若，对 。证：性质性质4：若 则对有性质性质5：若 则 2023/2/4高等代数证：为常数。性质性质6：且 则 性质性质7：3.带余除法定理定理：设，且则存在使得这里或 2023/2/4高等代数满足条件的唯一确定。商式余式证：先证存在性。1、若则取即知结论成立。2、设对 的次数n，利用数学归纳法。当nm时，显然取下面讨论的情况。假设当次数小于n时，的存在性已证现考虑次数为n的情况。，即知结论成立。2023/2/4高等代数令 分别是的首项，因而多项式的次数小于n或为0。若，取若由归纳法假设，对有 存在，使 其中或者于是取 就有，结论成立；2023/2/4高等代数其中或者再证唯一性。若有则 若 则 这与矛盾，故从而2023/2/4高等代数推论1：若 且 则 的充要条件是：除 的余式证：充分性。若 且 则有必要性。若，则例1.3.1 设求 除 所得的余式和商式。2023/2/4高等代数例：证明的充要条件是证：充分性显然。下证必要性，设 于是由于 ，故 。多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变，那么问题：数域F上的多项式与 的整除性是否会因数域的扩大而改变？多项式的整除性不因数域的扩大而改变2023/2/4高等代数设，若在F上是否在上也有？结论：设，而，中，在则在中也有（多项式的整除性不因数域的扩大而改变）证：若 则在中，因此在中，若 则在中有2023/2/4高等代数但 中的多项式仍是的多项式。因而在中，这一等式仍然成立。由 的唯一性知，在 中