2019高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意的三角函数 1.2.1 第1课时 任意角的三角函数的定义学案 4.doc

1第第 1 1 课时课时 任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义学习目标：1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号(易错点)3.掌握公式并会应用自 主 预 习·探 新 知1单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆2任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：图 1­2­1(2)结论y叫做的正弦，记作 sin_，即 sin y；x叫做的余弦，记作 cos_，即 cos x； 叫做的正切，记作 tan_，即 tan (x0)y xy x(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数3正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin R Rcos R Rtan Error!4正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：2图 1­2­2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 5诱导公式一基础自测1思考辨析(1)sin 表示 sin 与的乘积( )(2)设角终边上的点P(x，y)，r|OP|0，则 sin ，且y越大，sin 的y r值越大( )(3)终边相同的角的同一三角函数值相等( )(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为 0.( )解析 (1)错误sin 表示角的正弦值，是一个“整体” (2)错误由任意角的正弦函数的定义知，sin .但y变化时，sin 是定值y r(3)正确(4)错误终边落在y轴上的角的正切函数值不存在答案 (1)× (2)× (3) (4)×2已知 sin 0，cos 0，则角是( )A第一象限角 B第二象限角C第三象限角D第四象限角B B 由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角是第二象限角3sin_.25 3sinsinsin.3225 3(8 3) 33234角终边与单位圆相交于点M，则 cos sin 的值为_(32，12)cos x，sin y ，312321 2故 cos sin .312合 作 探 究·攻 重 难三角函数的定义及应用探究问题1一般地，设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则 sin ，cos ，tan 为何值？提示：sin ，cos ，tan .y rx ry x2sin ，cos ，tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sin ，cos ，tan 的值只与的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变(1)已知角的终边上有一点P(x,3)(x0)，且 cos x，则 sin 1010tan 的值为_(2)已知角的终边落在直线xy0 上，求 sin ，cos ，tan 的值3思路探究 (1)依据余弦函数定义列方程求x依据正弦、正切函数定义求sin tan (2)判断角的终边位置分类讨论求sin ，cos ，tan (1)或 (1)因为r，cos ，3 1030103 103010x29x r所以x.1010xx29又x0，所以x±1，所以r.10又y30，所以是第一或第二象限角当为第一象限角时，sin ，tan 3，则 sin tan .3 10103 103010当为第二象限角时，sin ，tan 3，3 1010则 sin tan .3 103010(2)直线xy0，即yx，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点334(1，)，则r2，所以 sin ，cos ，tan 312 32321 2；3在第四象限取直线上的点(1，)，3则r2，12 32所以 sin ，cos ，tan .321 23母题探究：1.将本例(2)的条件“xy0”改为“y2x”其他条件不变，结果又如3何？解 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r|OP|1222，得 sin ，cos ，tan 2.5252 5515552 1当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(1，2)，由r|OQ|，得：12225sin ，cos ，252 551555tan 2.2 12将本例(2)的条件“落在直线xy0 上”改为“过点P(3a,4a) (a0)” ，求32sin cos .解 因为r3a24a25|a|，若a>0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，y r4a 5a4 5x r3a 5a3 5所以 2sin cos 1.8 53 5若a0)则 sin ，cos y r .已知的终边求的三角函数时，用这几个公式更方便x r(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.三角函数值符号的运用(1)已知点P(tan ，cos )在第四象限，则角终边在( ) 【导学号：84352022】A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)判断下列各式的符号：sin 145°cos(210°)；sin 3·cos 4·tan 5.思路探究 (1)先判断 tan ，cos 的符号，再判断角终边在第几象限(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号(1 1)C C (1)因为点P在第四象限，所以有Error!由此可判断角终边在第三象限(2)145°是第二象限角，sin 145°0，210°360°150°，210°是第二象限角，cos(210°)0，sin 145°cos(210°)0.3，4，52， 23 23 2sin 30，cos 40，tan 50，sin 3·cos 4·tan 50.规律方法 判断三角函数值在各象限符号的攻略：1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.跟踪训练1已知角的终边过点(3a9，a2)且 cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是_62a3 因为 cos 0，sin 0，所以角的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为终边过(3a9，a2)，所以Error!所以2a3.2设角是第三象限角，且sin，则角是第_象限角|sin 2| 2 2四 角是第三象限角，则角是第二、四象限角， 2sin，角是第四象限角|sin 2| 2 2诱导公式一的应用求值：(1)tan 405°sin 450°cos 750°；(2)sincostancos.7 3(23 6)(15 4)13 3解 (1)原式tan(360°45°)sin(360°90°)cos(2×360°30°)tan 45°sin 90°cos 30°11.3232(2)原式sincostan·cos(2 3)(4 6)(4 4)(4 3)sincostancos×1× . 3 6 4 332321 25 4规律方法 利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成 2k的形式，其中0,2)，kZ Z.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角的某个三角函数值(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值跟踪训练3化简下列各式：(1)a2sin(1 350°)b2tan 405°2abcos(1 080°)；(2)sincos·tan 4. (11 6)12 5【导学号：84352023】解 (1)原式a2sin(4×360°90°)b2tan(360°45°)2abcos(3×360°)a2sin 90°b2tan 45°2abcos 0°a2b22ab(ab)2.7(2)sincos·tan 4(11 6)12 5sincos ·tan 0sin0 .(2 6)2 5 61 2当 堂 达 标·固 双 基1sin(315°)的值是( )A B221 2C D221 2C C sin(315°)sin(360°45°)sin 45°.222若 sin ·cos 0，则在( )A第一或第四象限 B第一或第三象限C第一或第二象限D第二或第四象限B B 因为 sin ·cos 0，所以 sin 0，cos 0 或 sin 0，cos 0 所以在第三象限或第一象限3已知角终边过点P(1，1)，则 tan 的值为( )A1 B1CD2222B B 由三角函数定义知 tan 1.1 14在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若 sin ，则 sin _.1 5 设角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，1 5则角的终边与单位圆相交于点Q(x，y)，由题意知ysin ，所以 sin y .1 51 55求值：(1)sin 180°cos 90°tan 0°.(2)costan. 【导学号：84352024】25 3(15 4)解 (1)sin 180°cos 90°tan 0°0000.(2)costan25 3(15 4)8costan(8 3)(4 4)cos tan 1 .341232