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高等代数正交变换本讲稿第一页，共十四页一、一、一般欧氏空间中的正交变换一般欧氏空间中的正交变换1.定义定义即即，欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换 如果保持向量的内积不变，如果保持向量的内积不变，则称则称 为为正交变换正交变换.注：注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广不变的正交变换的推广.本讲稿第二页，共十四页2.欧氏空间中的正交变换的刻划欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：下述命题是等价的：（定理定理4 4）设是欧氏空间）设是欧氏空间V的一个线性变换的一个线性变换.3）保持向量间的距离不变，即保持向量间的距离不变，即2）保持向量长度不变，即保持向量长度不变，即1）是正交变换；是正交变换；本讲稿第三页，共十四页证明：首先证明证明：首先证明1)与与2)等价等价即，即，两边开方得，两边开方得，若是正交变换，则若是正交变换，则有，有，(1)(2)若保持向量长度不变，则对若保持向量长度不变，则对本讲稿第四页，共十四页把把(3)展开得，展开得，再由再由(1)(2)即得，即得，(3)是正交变换是正交变换本讲稿第五页，共十四页再证明再证明2)与与3)等价等价根据）根据）故故 3）成立）成立.若若则有，则有，即，即，故故 2）成立）成立.本讲稿第六页，共十四页二、二、维欧氏空间中的正交变换维欧氏空间中的正交变换1.维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基不变的线性变换不变的线性变换是是V的标准正交基，则的标准正交基，则 也是也是V的标准正交基的标准正交基.1).若若 是是 维欧氏空间维欧氏空间V的正交变换，的正交变换，事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质即有，即有，本讲稿第七页，共十四页2).若线性变换若线性变换 使使V的标准正交基的标准正交基 变成变成变换变换标准正交基标准正交基 ，则，则 为为V的正交的正交证明：任取证明：任取 设设 由由 为标准正交基，有为标准正交基，有本讲稿第八页，共十四页故故 是正交变换是正交变换又又由于为标准正交基，得由于为标准正交基，得 本讲稿第九页，共十四页2.维欧氏空间维欧氏空间V中的线性变换是正交变换中的线性变换是正交变换在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵设设 为为V的标准正交基，且的标准正交基，且 证明：证明：的标准正交基，的标准正交基，当当 是正交变换时，由是正交变换时，由1知，知，也是也是V而由标准正交基而由标准正交基 到标准到标准正交基正交基 的过渡矩阵是正交矩阵的过渡矩阵是正交矩阵.本讲稿第十页，共十四页设设 为为V的标准正交基，且的标准正交基，且 再由再由 1 即得为正交变换即得为正交变换由于当由于当A是正交矩阵时，是正交矩阵时，也是也是V的的即，即，标准正交基，标准正交基，所以，所以，A是正交矩阵是正交矩阵本讲稿第十一页，共十四页1）正交变换的逆变换是正交变换；）正交变换的逆变换是正交变换；2）正交变换的乘积还是正交变换）正交变换的乘积还是正交变换3.欧氏空间欧氏空间V的正交变换是的正交变换是V到自身的同构映射到自身的同构映射因而有，因而有，（由同构的对称性可得之由同构的对称性可得之）（由同构的传递性可得之由同构的传递性可得之）本讲稿第十二页，共十四页4.维欧氏空间中正交变换的分类：维欧氏空间中正交变换的分类：设维欧氏空间设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基中的线性变换在标准正交基1）如果）如果 则称为则称为第一类的第一类的（旋转旋转）;2）如果）如果 则称为则称为第二类的第二类的 下的矩阵是正交矩阵下的矩阵是正交矩阵A，则，则本讲稿第十三页，共十四页例例、在欧氏空间中任取一组标准正交基、在欧氏空间中任取一组标准正交基定义线性变换为：定义线性变换为：则为第二类的正交变换，也称之为则为第二类的正交变换，也称之为镜面反射镜面反射本讲稿第十四页，共十四页