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数字电子技术课件张瑜慧第1页，本讲稿共64页本章内容l3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义离散傅里叶变换的定义及物理意义 l3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质 l3.3 频率域采样频率域采样 l3.4 DFT的应用举例的应用举例 第2页，本讲稿共64页引言DFT是重要的变换是重要的变换 1、分析有限长序列的有用工具，在信号处理的理论上、分析有限长序列的有用工具，在信号处理的理论上有重要意义。有重要意义。2、有相应的快速算法（快速傅里叶变换、有相应的快速算法（快速傅里叶变换FFT)可在计算机上实现其算法。可在计算机上实现其算法。3、在运算方法上起核心作用，卷积、相关、谱、在运算方法上起核心作用，卷积、相关、谱分析都可以通过转换成分析都可以通过转换成DFT在计算机上实现。在计算机上实现。第3页，本讲稿共64页DFT要解决两个问题：要解决两个问题：一是一是频谱的离散化频谱的离散化；二是二是算法的快速计算算法的快速计算(FFT)。这两个问题都是为了使计算机能够这两个问题都是为了使计算机能够实时实时处理信处理信号。号。引言第4页，本讲稿共64页l时域周期化时域周期化频域离散化频域离散化l时域离散化时域离散化频域周期化频域周期化离散离散连续连续周期性周期性非周期性非周期性引言第5页，本讲稿共64页序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换离散时间、连续频率的傅立叶变换离散时间、连续频率的傅立叶变换（序列的序列的傅立叶变换傅立叶变换）x(n)-1 0 1 2t 时域离散、非周期时域离散、非周期频域连续、周期频域连续、周期连续：连续：不适合不适合计算机计算机处理处理第6页，本讲稿共64页由由DTFT到到DFTu 离散时间、离散频率的傅立叶变换（离散时间、离散频率的傅立叶变换（DFT）由上述分析可知，对由上述分析可知，对DTFT，要想在，要想在频域频域上上离散离散化化，那么在，那么在时域时域上必须作上必须作周期延拓周期延拓。对长度为对长度为M的有限长序列的有限长序列x(n)，以，以N为周期延为周期延拓（拓（NM）。）。注意：注意：离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）只对）只对有限长序列有限长序列作作周期延拓周期延拓或或周期序列周期序列成立。成立。第7页，本讲稿共64页第8页，本讲稿共64页3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义离散傅里叶变换的定义及物理意义l一、DFT的定义的定义 设设x(n)是一个长度为是一个长度为M的有限长序列，则定义的有限长序列，则定义x(n)的的N点离散傅里叶变换为点离散傅里叶变换为第9页，本讲稿共64页旋转因子的性质第10页，本讲稿共64页例例1、已知、已知 ，分别求，分别求8和和16点点DFT 解：解：频率采样点数不同，频率采样点数不同，DFT的长度不同，的长度不同，DFT 的结果也不同。的结果也不同。第11页，本讲稿共64页 1、求模（余数）运算、求模（余数）运算 如果整数如果整数 则称则称n1是是n对对N的模（余数），记作：的模（余数），记作：或或n模模N等于等于n175二、DFT的隐含周期性第12页，本讲稿共64页2、有限长序列、有限长序列x(n)和周期序列和周期序列 的关系的关系或或二、DFT的隐含周期性第13页，本讲稿共64页如：如：nN-1x(n)0.n0N-1二、DFT的隐含周期性第14页，本讲稿共64页3、频域周期序列、频域周期序列 与有限长序列与有限长序列X(k)的关系的关系二、DFT的隐含周期性第15页，本讲稿共64页l这里的周期延拓仅看作数学处理方法，或这里的周期延拓仅看作数学处理方法，或者说借助者说借助时域周期延拓时域周期延拓实现有限长序列实现有限长序列频频谱的离散化谱的离散化。l在在DFT中，有限长序列都是作为周期序列中，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，的一个周期来表示的，总是隐含周期性。总是隐含周期性。二、DFT的隐含周期性第16页，本讲稿共64页 若若x(n)是一个有限长序列，长度为是一个有限长序列，长度为N即即 三、三、DFT与序列傅里叶变换与序列傅里叶变换、Z变换的关系变换的关系 比较比较Z变换与变换与DFT，我们看到，当，我们看到，当 时时 第17页，本讲稿共64页DFT与与Z变换的关系变换的关系 l所以所以X(k)也就是对也就是对X(z)在在Z平面平面单位圆单位圆上上N点点等间隔采样值。等间隔采样值。第18页，本讲稿共64页DFT与序列傅里叶变换的关系与序列傅里叶变换的关系 若若x(n)是一个有限长序列，长度为是一个有限长序列，长度为N第19页，本讲稿共64页X(k)也可以看作序列也可以看作序列x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换X(ej)在区间在区间0,2上的上的N点等间隔采样，其采样间隔为点等间隔采样，其采样间隔为N=2/NDFT与序列傅里叶变换的关系与序列傅里叶变换的关系第20页，本讲稿共64页3.2 DFT的基本性质一、线性一、线性1、如果两序列都是、如果两序列都是N点的有限长序列时，且有点的有限长序列时，且有 则有：则有：2.和和 的长度的长度N1和和N2不等时，怎办？不等时，怎办？选择选择 为变换长度为变换长度,短者进行补短者进行补零达到零达到N点。点。第21页，本讲稿共64页二、循环移位性质1、序列的循环移位（圆周移位）定义：、序列的循环移位（圆周移位）定义：一个有限长序列一个有限长序列 的圆周移位定义为的圆周移位定义为 第22页，本讲稿共64页n0N-1n0周期延拓周期延拓N-1循环移位第23页，本讲稿共64页循环移位第24页，本讲稿共64页2、循环移位的含义、循环移位的含义 （1）主值区间）主值区间:n=0N-1；（3）如果把）如果把x(n)首尾排列首尾排列(n=0N-1)在一个在一个N等分等分的圆周上的圆周上，序列的移位就相当于，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，在圆上旋转，故又称作故又称作圆周移位圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到。当围着圆周观察几圈时，看到的就是周期序列的就是周期序列 （2）当某序列值从此区间一端移出时，与它相同的序）当某序列值从此区间一端移出时，与它相同的序列值又从此区间的另一端移进来列值又从此区间的另一端移进来;循环移位第25页，本讲稿共64页时域圆周移位的性质时域圆周移位的性质3、时域圆周移位的性质、时域圆周移位的性质第26页，本讲稿共64页频域圆周移位的性质频域圆周移位的性质4、频域圆周移位的性质（调制特性）、频域圆周移位的性质（调制特性）或：或：时域序列的调制等效于频域的圆周移位。时域序列的调制等效于频域的圆周移位。第27页，本讲稿共64页l1、两个有限长序列的循环卷积、两个有限长序列的循环卷积 设序列设序列h(n)和和x(n)的长度分别为的长度分别为N和和M。h(n)与与x(n)的的L点循环卷积定义为点循环卷积定义为 其中其中L为循环卷积区间长度，为循环卷积区间长度，Lmax(N，M)表示方法表示方法:或或三、循环卷积定理L*第28页，本讲稿共64页2、循环卷积的计算方法、循环卷积的计算方法矩阵相乘矩阵相乘lx(n)序列序列:x(0),x(1),x(2),x(L1)lx(n)的的循环倒相序列循环倒相序列：令令n=0,m=0,1,L-1，x(n-m)L形形成的序列为成的序列为 循环卷积的计算方法循环卷积的计算方法第29页，本讲稿共64页令令n=1,m=0,1,L-1，x(n-m)L形成的序列形成的序列为为该序列相当于该序列相当于x(n)的循环倒相序列的循环倒相序列向右循环移向右循环移1位位。再令再令n=2,m=0,1,L1，此时得到的序列又是，此时得到的序列又是上面的序列向右循环移上面的序列向右循环移1位。依次类推，当位。依次类推，当n和和m均从均从0变化到变化到L-1时，得到一个关于时，得到一个关于x(nm)L的矩阵如下：的矩阵如下：循环卷积的计算方法循环卷积的计算方法第30页，本讲稿共64页l循环卷积矩阵：循环卷积的计算方法循环卷积的计算方法第31页，本讲稿共64页说明：说明：1、如果、如果x(n)或或 h(n)的长度小于的长度小于L，则需要在序列末尾，则需要在序列末尾补补0，使序列长度为，使序列长度为L。2、循环卷积满足、循环卷积满足交换律交换律。循环卷积的计算方法循环卷积的计算方法第32页，本讲稿共64页例例2、计算下面给出的两个长度为计算下面给出的两个长度为4的序列的序列h(n)与与x(n)的的4点和点和8点循环卷积。点循环卷积。解解:h(n)与与x(n)的的4点循环卷积矩阵形式为点循环卷积矩阵形式为循环卷积的计算方法循环卷积的计算方法第33页，本讲稿共64页h(n)与与x(n)的的8点循环卷积矩阵形式为点循环卷积矩阵形式为循环卷积的计算方法循环卷积的计算方法第34页，本讲稿共64页三、循环卷积定理2、时域循环卷积定理、时域循环卷积定理 设设 和和 为长度分别为为长度分别为N1和和N2的有限长序列，的有限长序列，Nmax（N1,N2）且）且 ，则则N第35页，本讲稿共64页3、频域循环卷积定理、频域循环卷积定理 设设 和和 均为长度分别为均为长度分别为N1和和N2的有限长序列，的有限长序列，Nmax（N1,N2）且）且 ，则则三、循环卷积定理N第36页，本讲稿共64页例例3、一个有限长序列为、一个有限长序列为（1）计算序列计算序列x(n)的的10点离散傅里叶变换。点离散傅里叶变换。（2）若序列若序列y(n)的的DFT为为 式中，式中，X(k)是是x(n)的的10点离散傅里叶变换，求序列点离散傅里叶变换，求序列y(n)。（3）若）若10点序列点序列y(n)的的10点离散傅里叶变换是点离散傅里叶变换是 式中式中,X(k)是序列是序列x(n)的的10点点DFT，W(k)是序列是序列w(n)的的10点点DFT 求序列求序列y(n)综合例题第37页，本讲稿共64页 （2）X(k)乘乘以以WNkm相相当当于于是是x(n)循循环环移移位位m点点。本本题题中中m=-2,x(n)向左循环移位了向左循环移位了2点，点，则则 y(n)=x(n+2)10R10(n)=2(n-3)+(n-8)（3）X(k)乘乘以以W(k)相相当当于于x(n)与与w(n)的的循循环环卷卷积积。结结果果为为3,3,1,1,1,3,3,2,2,2 综合例题第38页，本讲稿共64页四、复共轭序列的DFT证明：证明：第39页，本讲稿共64页五、DFT的共轭对称性l序列的傅里叶变换的共轭对称性，其对称性序列的傅里叶变换的共轭对称性，其对称性是关于坐标是关于坐标原点原点的对称性。的对称性。共轭对称：共轭对称：共轭反对称：共轭反对称：l在在DFT中，涉及的序列中，涉及的序列x(n)及其离散傅里叶及其离散傅里叶变换变换X(k)均为有限长序列，且定义区间为均为有限长序列，且定义区间为 0 到到N1，所以，这里的对称性是指关于，所以，这里的对称性是指关于N/2 点点的对称性。的对称性。第40页，本讲稿共64页l1 有限长共轭对称序列有限长共轭对称序列l2 有限长共轭反对称序列有限长共轭反对称序列五、DFT的共轭对称性第41页，本讲稿共64页l3、任意有限长序列都可以表示成一个共轭对、任意有限长序列都可以表示成一个共轭对称分量和一个共轭反对称分量之和，即称分量和一个共轭反对称分量之和，即五、DFT的共轭对称性第42页，本讲稿共64页l同理，对于频域函数同理，对于频域函数X(k)也可以表示成一个也可以表示成一个共轭对称分量和一个共轭反对称分量之和，共轭对称分量和一个共轭反对称分量之和，即即五、DFT的共轭对称性第43页，本讲稿共64页4、DFT的共轭对称性的共轭对称性有限长序列实部的有限长序列实部的DFT等于序列等于序列DFT的共轭对称分量；的共轭对称分量；有限长序列虚部乘有限长序列虚部乘j后的后的DFT等于序列等于序列DFT的共轭反对称分量。的共轭反对称分量。（1）将序列分成实部和虚部的形式）将序列分成实部和虚部的形式五、DFT的共轭对称性第44页，本讲稿共64页（2）将序列表示成共轭对称分量和共轭反对称分量）将序列表示成共轭对称分量和共轭反对称分量有限长序列共轭对称分量的有限长序列共轭对称分量的DFT等于序列等于序列DFT的实部；的实部；有限长序列共轭反对称分量的有限长序列共轭反对称分量的DFT等于序列等于序列DFT的虚部乘的虚部乘j。五、DFT的共轭对称性第45页，本讲稿共64页l实际中经常需要对实序列进行实际中经常需要对实序列进行DFT，利用上述对称性质，利用上述对称性质，可减少可减少DFT的运算量，提高运算效率。的运算量，提高运算效率。l（1）若）若x(n)是是实实序列，则序列，则X(k)只有只有共轭对称共轭对称分量，即分量，即满足满足 X(k)=X*(N-k)k=0,1,N-1l（2）若）若x(n)是是纯虚纯虚序列，则序列，则X(k)只有只有共轭反对称共轭反对称分量，即满足分量，即满足 X(k)=-X*(N-k)k=0,1,N-15、其他共轭对称性、其他共轭对称性五、DFT的共轭对称性第46页，本讲稿共64页l(3)如果如果x(n)是是实偶实偶序列，即序列，即x(n)=x(Nn)，则，则X(k)是是实偶对称实偶对称，即，即X(k)=X(Nk)l(4)如果如果x(n)是是实奇实奇序列，即序列，即x(n)=x(Nn)，则，则X(k)纯虚奇对称纯虚奇对称，即，即X(k)=X(Nk)五、DFT的共轭对称性第47页，本讲稿共64页l例例4、利用、利用DFT的共轭对称性，设计一种高的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个效算法，通过计算一个N点点DFT，就可以计，就可以计算出两个实序列算出两个实序列x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT。l解：构造新序列解：构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对，对x(n)进行进行DFT，得到：，得到：五、DFT的共轭对称性第48页，本讲稿共64页l所以，由所以，由X(k)可以求得两个实序列可以求得两个实序列x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT：五、DFT的共轭对称性第49页，本讲稿共64页3.3 频率域采样l频域采样定理：频域采样定理：如果序列如果序列x(n)的长度为的长度为M，则只有当频域采样，则只有当频域采样点数点数NM时，才有时，才有 即可由频域采样即可由频域采样X(k)恢复原序列恢复原序列x(n)，否则产，否则产生时域混叠现象。生时域混叠现象。第50页，本讲稿共64页3.4 DFT的应用举例一、循环卷积的一、循环卷积的DFT计算方法计算方法 第51页，本讲稿共64页用用DFT计算循环卷积的原理框图计算循环卷积的原理框图3.4 DFT的应用举例第52页，本讲稿共64页二、线性卷积与循环卷积的关系二、线性卷积与循环卷积的关系 1、线性卷积、线性卷积 它们线性卷积为它们线性卷积为 下面推理线性卷积的非零值范围。下面推理线性卷积的非零值范围。第53页，本讲稿共64页 的非零区间为的非零区间为 的非零区间为的非零区间为 两不等式相加得两不等式相加得 也就是也就是 不为零的区间不为零的区间.例如例如:下面两个有限长序列的线性卷积下面两个有限长序列的线性卷积非零值区间为非零值区间为n=05，非零值为，非零值为1,2,3,3,2,1。1012n1012n3线性卷积与循环卷积的关系线性卷积与循环卷积的关系第54页，本讲稿共64页2、用圆周卷积计算线性卷积、用圆周卷积计算线性卷积 圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列取主值序列。圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列取主值序列。先将先将2个序列个序列 都都补零成补零成L点点的序列，然后的序列，然后再对它们进行周期延拓再对它们进行周期延拓，即，即 线性卷积与循环卷积的关系线性卷积与循环卷积的关系第55页，本讲稿共64页线性卷积与循环卷积的关系线性卷积与循环卷积的关系第56页，本讲稿共64页 由于由于 有有 个非零值个非零值,所以周期所以周期L必须满足必须满足:又由于循环卷积是周期卷积的主值序列，所以又由于循环卷积是周期卷积的主值序列，所以循环卷循环卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列，即：，即：循环卷积为线性卷积的周期延拓，其周期为循环卷积为线性卷积的周期延拓，其周期为L。线性卷积与循环卷积的关系线性卷积与循环卷积的关系第57页，本讲稿共64页已知已知x1(n)=1,1,1,1，x2(n)=1,1,1,1,1，求，求x1(n)*x2(n),并并分别求分别求x1(n)与与x2(n)的的6点、点、8点及点及10点循环卷积。点循环卷积。线性卷积与循环卷积的关系线性卷积与循环卷积的关系第58页，本讲稿共64页课堂练习l1、已知、已知y(n)=x(n)*h(n)，x(n)和和h(n)的的长度分别为长度分别为M和和N。x(n)和和h(n)的的L点循环点循环卷积（卷积（LM，LN）用）用w(n)表示，表示，w(n)=y(n)的条件是的条件是_。l lLM+N-1第59页，本讲稿共64页l2、对6点有限长序列5，1，3，0，5，2进行向左2点圆周移位后得到序列_。l3，0，5，2，5，1 课堂练习第60页，本讲稿共64页3、离散傅里叶变换中，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含有周期性的意思。()对第61页，本讲稿共64页4、已知长度为N=10的两个有限长序列：（1）做图表示x1(n)、x2(n)（2）求y1(n)=x1(n)*x2(n)（3）求y2(n)=x1(n)*x2(n)，循环卷积区间长度L=10。课堂练习第62页，本讲稿共64页5、假设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入信号x(n)分别用下式表示（1）计算该系统的输出信号y(n)（2）如果对x(n)和h(n)分别进行12点DFT，得到X(k)和H(k),令求y1(n)解：（1）y(n)=1,2,3,4,4,4,4,4,3,2,1（2）y1(n)=1,2,3,4,4,4,4,4,3,2,1,0第63页，本讲稿共64页l作业：课后习题 1、（1）（3）（6）2、（1）3、用矩阵法求循环卷积第64页，本讲稿共64页