2019高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修2-3.doc

1第第 1 1 课时课时 组合与组合数公式组合与组合数公式学习目标：1.理解组合与组合数的概念(重点)2.会推导组合数公式，并会应用公式求值(重点)3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明(难点、易混点)自 主 预 习·探 新 知1组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合思考：怎样理解组合，它与排列有何区别？提示 (1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题2组合数的概念从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数思考：如何理解组合与组合数这两个概念？提示 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样， “组合”与“组合数”也是两个不同的概念， “组合”是指“从n个不同元素中取m(mn)个元素合成一组” ，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数” ，它是一个数例如，从 3 个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有 3 个，则组合数为 3.3组合数公式及其性质(1)公式：C .m nAm n Am mn！ m！nm！(2)性质：C C_，C CC.m nnmnm nm1nmn1(3)规定：C 1.0n基础自测1判断(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同( )(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为 C .( )2 3(3)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题( )2(4)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名，有 3 种不同的选法( )(5)现有 4 枚 2015 年抗战胜利 70 周年纪念币送给 10 人中的 4 人留念，有多少种送法是排列问题( )解析 (1) 因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合(2) 由组合数的定义可知正确(3)× 因为选出 2 名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题(4) 因为从甲、乙、丙 3 人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共 3 个组合，即有 3种不同选法(5)× 因为将 4 枚纪念币送与 4 人并无顺序，故该问题是组合问题答案 (1) (2) (3)× (4) (5)×2若 C 28，则n( ) 2n【导学号：95032046】A9 B8C7 D6B B C 28，解得n8.2nn× n1 23甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是_3 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为 C 3.2 33 × 2 24C _，C_. 2 61718【导学号：95032047】15 18 C 15，CC18.2 66 × 5 217181 18合 作 探 究·攻 重 难组合的概念(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：设集合Aa，b，c，d，e，则集合A的子集中含有 3 个元素的有多少个？某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？2018 年元旦期间，某班 10 名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？(2)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出 3 个元素的所有组合. 3【导学号：95032048】思路点拨 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关解 (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题(2)可按ABACADBCBDCD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.规律方法1区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序” ，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题而要判定它是否有顺序的方法是：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序” ，也就是排列问题；没有影响就是“无序” ，也就是组合问题2写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，如本题的作法，这样做直观、明了、清楚，以防重复和遗漏跟踪训练1(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：把当日动物园的 4 张门票分给 5 个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？从 2,3,5,7,11 这 5 个质数中，每次取 2 个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？从 9 名学生中选出 4 名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出 2 个元素的所有组合解 (1)是组合问题由于 4 张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从 5 人中选择哪 4 人，这和顺序无关是排列问题，选出的 2 个数作分子或分母，结果是不同的是组合问题，选出的 4 人无角色差异，不需要排列他们的顺序(2)可按abcd顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.4组合数公式的应用(1)计算 CC ·A ；4 103 73 3(2)计算 CC. 5nn9nn1【导学号：95032049】思路探究 解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐含条件解 (1)原式·(3×2×1)2102100.10 × 9 × 8 × 7 4 × 3 × 2 × 17 × 6 × 5 3 × 2 × 1当n4 时，原式C C 5，1 45 5当n5 时，原式C C 16.0 54 6规律方法1在具体选择公式时，要根据原题的特点，一般地，公式 C 常用于n为具体数m nAm n Am m的数目，偏向于组合数的计算，公式 C 常用于n为字母的题目，偏向于m nn！ nm！m！解不等式或证明恒等式2解题时，一定不要忘记组合数的意义跟踪训练2求值：CC.17n2n3n13n解 由组合数的公式的性质，解得n6.所以，原式CC11121819CC1 121 19121931.组合数的性质应用5探究问题1试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5 人中选出 3 人参加数学竞赛，2 人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？提示 法一：从 5 人中选出 3 人参加数学竞赛，剩余 2 人参加英语竞赛，共 C 3 510(种)选法5 × 4 × 3 3 × 2 × 1法二：从 5 人中选出 2 人参加英语竞赛，剩余 3 人参加数学竞赛，共C 10(种)不同选法2 55 × 4 2经求解发现 C C .推广到一般结论有 C C.3 52 5m nnmn2从含有队长的 10 名排球队员中选出 6 人参加比赛，共有多少种选法？提示 共有 C210(种)选法6 1010 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 13在探究 2 中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究 2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？提示 若队长必须参加，共 C 126(种)选法若队长不能参加，共 C 84(种)选5 96 9法由探究 2、3 发现从 10 名队员中选出 6 人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：CC C .6 105 96 9一般地：CC C.mn1m nm1n(1)计算：CCC_；9799989999100(2)若 C >C ，则n的取值集合是_. 4n6n【导学号：95032050】思路探究 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式(1)5 050 (2)6,7,8,9 (1)CCCCCCC979998999910098100991009910121015 050.101 × 100 2 × 1(2)由 C >C ，得>，所以n29n10<0，得1<n<10，4n6nn！ 4！n4！n！ 6！n6！因为nN N*且n6，所以n6,7,8,9，所以n的取值集合为6,7,8,9规律方法1性质“C C”的意义及作用m nnmn62连续使用“C CC”时，一定要掌握住该性质两边的上、下标字母的特m nm1nmn1征，并注意观察分析待化简的组合式的特征3与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由 C 中的mN N*，nN N*，且nm确定m，n的范围，因此求解后要验m n证所得结果是否适合题意跟踪训练3(1)化简：C CC _；9m9m18m(2)已知 CC C ，求n的值7n17n8n(1)0 原式(C C )CCC0.9m8m9m19m19m1(2)解 根据题意，CC C ，7n17n8n变形可得 CC C ，7n18n7n由组合数的性质，可得CC，故 87n1，7n18n1解得n14.当 堂 达 标·固 双 基1下列问题：将图案不同的 4 张扑克牌分给两人，每人 2 张，有几种方法？将图案不同的 4 张扑克牌分给四人，每人 1 张，有几种分法？空间中的 10 个点，任意 3 个点都不共线，能构成多少个以这些点为顶点的三角形？其中，包含组合问题的有( )A0 个 B1 个C2 个 D3 个C C 由组合的定义可知两个命题与顺序无关，是组合问题2下列计算结果为 21 的是( )AA C BC2 42 63 7CA DC2 72 7D D C 21.2 77 × 6 2 × 13下列等式不正确的是( ) 7【导学号：95032051】AC BC Cm nn！ m！nm！m nnmnCC C DC Cm nm1 n1m1n1m nm1n1D D 由组合数公式逐一验证知 D 不正确46 个朋友聚会，每两人握手 1 次，一共握手_次15 每两人握手 1 次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手 C 15 次2 65已知 C ，C ，C 成等差数列，求 C的值. 4n5n6n12n【导学号：95032052】解 由已知得 2C C C ，5n4n6n所以 2·，n！ 5！n5！n！ 4！n4！n！ 6！n6！整理得n221n980，解得n7 或n14，要求 C的值，故n12，所以n14，12n于是 CC91.12142 1414 × 132 × 1