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数学模型优化模型第1页，本讲稿共52页优化模型第2页，本讲稿共52页 工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之需；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。优化模型之 存贮模型 显然，这些情况下都有一个贮存量多大才合适的问题。存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能满足及时满足需求。第3页，本讲稿共52页不允许缺货的存贮模型 配件厂为装配线生产若干各种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。第4页，本讲稿共52页问题分析 尝试计算一下：周期(天)产量(件/天)贮存费(元)总计(元)平均(元/天)2550127500122500500050950950045001000105000500001001 一般地，考察这样的不允许缺货模型：产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货，确定生产周期和产量，使总费用最小。第5页，本讲稿共52页模型假设 设生产周期 和产量 均为连续变量，根据问题性质作如下假设：1.产品每天的需求量为常数 ；2.每次生产准备费为 ，每天每件产品贮存费为 ；3.生产能力为无限大(相对于需求量)，当贮存量降为零时，件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。第6页，本讲稿共52页模型建立 将贮存量表示为时间 的函数 时生产 件，贮存量 ，以需求速率 递减，直到 一周期的总费用为每天的平均费用为第7页，本讲稿共52页模型求解求 使得 最小。容易得相应地经济订货批量公式(EOQ公式)第8页，本讲稿共52页第9页，本讲稿共52页允许缺货的存贮模型 在某些情况下，用户允许短时间的缺货，虽然这会造成一定的损失，但是如果损失费不超过不允许的缺货导致的准备费和贮存费的话，允许缺货就应该是可以采取的策略。模型假设3a.生产能力为无限大(相对于需求量)，允许缺货，每天每件产品缺货损失费为 ，但缺货数量需在下次生产(或订货)时补足。第10页，本讲稿共52页模型建立一周期的总费用为每天的平均费用为 因贮存量不足造成缺货时，可认为贮存量函数为负值。第11页，本讲稿共52页模型求解求 ，使得 最小。又记发现第12页，本讲稿共52页第13页，本讲稿共52页第14页，本讲稿共52页优化模型之 生猪的出售时机 一饲料场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问该市场应该什么时候出售这样的生猪。如果上面的估计和预测有出入，对结果有多大影响。第15页，本讲稿共52页模型假设 每天投入4元资金使生猪体重每天增加常数 (=2公斤)，生猪出售的市场价格每天降低常数 (=0.1元)。模型建立约定记号：天投入的资金(元).纯利润(元).出售的收人(元).单价(元/公斤).生猪体重(公斤).时间(天).目标函数(纯利润)第16页，本讲稿共52页模型求解 这是求二次函数的最大值问题，用代数或微分法很容易解得相应的敏感性分析 由于模型假设中的参数(生猪每天增加的体重和每天价格的降低)是估计和预测的，所以应该研究它们有所变化时对模型结果的影响。第17页，本讲稿共52页1.设每天生猪价格的降低 元不变，研究 变化的影响。此时2.设每天生猪体重的增加 公斤不变，研究 变化的影响。此时第18页，本讲稿共52页1.51.61.71.81.92.02.12.202.54.76.78.410.0 11.4 12.71.51.61.71.81.92.02.12.202.54.76.78.410.0 11.4 12.7 与 的关系第19页，本讲稿共52页 与 的关系0.060.070.080.090.1030.022.917.513.310.00.110.120.130.140.157.35.03.11.40第20页，本讲稿共52页可以用 衡量结果对参数的敏感程度。对 的敏感度记作 ，定义为由 ，当 时，由 ，当 时，即生猪 增加1，出售时间推迟3。类似的相对改变量第21页，本讲稿共52页 一奶制品加工厂用牛奶生产 ，两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤 ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤 。根据市场需求，生产的 ，全部能售出，且每公斤 获利24元，每公斤 获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤 ，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。数学规划模型之 奶 制 品 的 生 产第22页，本讲稿共52页问题分析基本模型决策变量：决策变量：该问题要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产 ，用多少桶生产 。设每天用 桶牛奶生产 ，用 桶牛奶生产 ；目标函数：目标函数：设每天获利为 元，则 决策受到3个决策条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力。第23页，本讲稿共52页 生产 ，的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即 生产 ，的原料(牛奶)总量不可能超过每天的供应，即约束条件：约束条件：原料供应劳动时间 的产量不得超过设备甲的每天的工作能力，即设备能力非负约束第24页，本讲稿共52页综合以上，可得线性规划(Linear Programming)第25页，本讲稿共52页模型求解图解法图解法第26页，本讲稿共52页模型求解图解法图解法第27页，本讲稿共52页模型求解软件实现软件实现第28页，本讲稿共52页模型求解max 72x1+64x2endst2)x1+x2503)12x1+8x24804)3x1100软件实现软件实现第29页，本讲稿共52页模型求解软件实现软件实现第30页，本讲稿共52页 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 48.000000 3)0.000000 2.000000 4)40.000000 0.000000 NO.ITERATIONS=2第31页，本讲稿共52页第32页，本讲稿共52页 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000第33页，本讲稿共52页 进一步讨论以下3个附加问题：1)若用35元可以买到一桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3)由于市场需求变化，每公斤 增加到30元，应否改变生产计划？第34页，本讲稿共52页 例1给出的 ，两种奶制品的生产条件、利润、及工厂的“资源”限制全都不变，为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤 加工成0.8公斤高级奶制品 ，也可将1公斤 加工成0.75公斤高级奶制品 ，每公斤 能获利44元，每公斤 能获利32元。试为该工厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大。并讨论以下问题：若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否做这些投资？若每天投资150元，可赚回多少？第35页，本讲稿共52页 设每天销售 公斤 ，公斤 ，公斤 ，公斤 ，用 公斤 加工 ，公斤 加工 。基本模型：基本模型：第36页，本讲稿共52页线性规划*比例性比例性 每个决策变量对目标函数的每个决策变量对目标函数的“贡献贡献”，与该，与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的件右端项的“贡献贡献”，与该决策变量的取值成正比。，与该决策变量的取值成正比。可加性可加性 各个决策变量对目标函数的各个决策变量对目标函数的“贡献贡献”，与其，与其它决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条它决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的件右端项的“贡献贡献”，与其它决策变量的取值无关。，与其它决策变量的取值无关。连续性连续性 每个决策变量的取值是连续的。每个决策变量的取值是连续的。第37页，本讲稿共52页 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队，参加学校的4100混合泳接力比赛。5名队员4种泳姿的百米平均成绩见表。应该如何选拔队员组成接力队？混 合 泳 接 力 队 的 选 拔甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳10685721181101078仰泳115610610781142111蛙泳1271064124610961238自由泳586535945721024数学规划模型之第38页，本讲稿共52页模型的建立与求解 记甲乙丙丁戊分别为队员 ；记蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿 。记队员 的第 种泳姿最好成绩为 ，即有62.457.259.45358.683.869.684.666.4877174.267.86675.667.4707857.266.8第39页，本讲稿共52页 引入01变量 选择队员 参加泳姿 的比赛为1，否则为0。应该满足：当队员 入选泳姿 时，表示其成绩。第40页，本讲稿共52页综上，这个问题的01规划模型可以写作 指派问题Assignment第41页，本讲稿共52页 某校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习两门数学课(S)、三门运筹学课(Y)和两门计算机课(J)。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求见表所示。那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中的哪些课程。选 课 策 略数学规划模型之 探讨：如果某个学生某个学生既希望选修课程的数量少，又希望所获得的学分多，他可以选哪些课程？第42页，本讲稿共52页课程课程编号编号课程课程名称名称学分学分所属所属类别类别先修课要求先修课要求1微积分5S2线性代数4S3最优化方法4S;Y微积分；线性代数4数据结构3S;J计算机编程5应用统计4S;Y微积分；线性代数6计算机模拟3J;Y计算机编程7计算机编程2J8预测理论2Y应用统计9数学实验3Y;J微积分；线性代数第43页，本讲稿共52页模型的建立与求解令 选 不选则目标函数为约束条件为：第一 课程限制：至少2门数学课；3门运筹学课；2门计算机课第44页，本讲稿共52页第二 某些课程的先修课要求：数据结构最优化方法第45页，本讲稿共52页第46页，本讲稿共52页探讨即目标函数为多目标规划多目标规划的目标函数为向量最小化第47页，本讲稿共52页Case 1Case 2Case 3甲：学分尽可能多乙：课程数量尽可能少丙：不是绝对偏爱，学分与课程三七开权重第48页，本讲稿共52页*论文的书写“是无声手枪或别的无声的枪吗？”“不是。”“枪声有多大？”“80100分贝。”“那就是说会震的耳朵疼？”“是。”“在这个城市里打鸟犯不犯法？”“不犯。”“您确定那只鸟真的被打死啦？”“确定。”“OK，树上的鸟里有没有聋子？”“没有。”“有没有关在笼子里的？”“没有。”“边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？”“没有。没有。”“有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？”“没有。”“树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？”第49页，本讲稿共52页“算不算怀孕肚子里的小鸟？”“不算。”“打鸟的人眼有没有花？保证是十只？”“没有花，就十只。”“有没有傻的不怕死的？”“都怕死。”“会不会一枪打死两只？”“不会。“所有的鸟都可以自由活动吗？”“完全可以。”“如果您的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只不剩。”第50页，本讲稿共52页*论文的要素 题目，作者，摘要，关键词，正文，,参考文献，附录等正文内容包括：问题的重述，模型的假设，模型的建立，模型的求解，模型的改进，优缺点分析等 论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。第51页，本讲稿共52页 引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如13等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：编号 作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：编号 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：编号 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。第52页，本讲稿共52页