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数学建模第四章差分方程方法第1页，本讲稿共37页指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)x(t)时刻时刻t的人口的人口,人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长如何预报人口的增长如何预报人口的增长今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 r基本假设基本假设:第2页，本讲稿共37页阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是x的减函数的减函数第3页，本讲稿共37页dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)第4页，本讲稿共37页在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十分自然地提了出来。第5页，本讲稿共37页 在实际中许多变量是离散变化的，如人口.商品件数.生产周期等，而离散的运算具有可操作性，差分方程正是联系连续变量与离散的一座桥梁（如摩尔.库仑）。差分方程主要用来解决离散型问题。对一数列，把数列中的 an 和前面的 ai(0i n)关联起来的方程叫做差分方程差分方程，差分方程也叫做递推关系。第6页，本讲稿共37页例：例：设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖，设第n月末共有 对兔子，试建立关于 的差分方程。解解:因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以定义为fibonacci数列。第7页，本讲稿共37页1.差分方程的解法差分方程的解法 常系数线性齐次差分方程的解法常系数线性齐次差分方程的解法形如：的差分方程，称为的k阶常系数线性齐次差分方程，其中为常数，方程:(1)(2)称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。第8页，本讲稿共37页例例:求Fibonacci数的通项:解解:差分方程的特征方程为：特征根:是互异的，所以，得通解:由初始条件得 第9页，本讲稿共37页联立解得:故第10页，本讲稿共37页常系数线性非齐次差分方程的解法常系数线性非齐次差分方程的解法定义定义：形如(为常数，的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程 对应的齐次差分方程为 第11页，本讲稿共37页定理定理：非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解，即其中是对应齐次差分方程的通解，是非齐次差分方程的特解。如何求非次差分方程的特解n一般来说，差分方程的求解是困难的，实际中往往不需要求出差分方程的一般解，只需要研究它的平衡点及其稳定性即可。第12页，本讲稿共37页2.2.差分方程的平衡点与稳定性差分方程的平衡点与稳定性对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,xn+k)=0 (1)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称xn=x(n)是差分方程(1)的解,包含k个任意常数的解称为(1)的通解,x0,x1,xk-1为已知时称为(1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1)的特解.若x0,x1,xk-1已知,则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.第13页，本讲稿共37页 若有常数a是差分方程(1)的解,即又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 xn=x(n)都有xna(n),则称这个平衡点a是稳定稳定的.一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中a,b为常数,且a-1,0)的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点,由上式知,当且仅当|a|1时,b/(a+1)是稳定的平衡点.F(n;a,a,a)=0,则称 a是差分方程(1)的平衡点平衡点.第14页，本讲稿共37页 二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.当r=0时,它有一特解x*=0；当r 0,且a+b+1 0时,它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形,x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=2.第15页，本讲稿共37页 当1,2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当1,2=是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2 n)n;当1,2=(cos+i sin)是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+n(C1cosn+C2sinn).易知,当且仅当特征方程的任一特征根|i|1时,平衡点x*是稳定的.则第16页，本讲稿共37页对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.因此当时,x*是稳定的；当时,x*是不稳定的.当第17页，本讲稿共37页例：人口问题的差分方程模型例：人口问题的差分方程模型 我们已经讨论了两个常微分方程模型我们已经讨论了两个常微分方程模型Malthus模型模型和和Verhulst模型模型（又称（又称Logistic模型）。前者可用于人口增长的模型）。前者可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时短期预测，后者在作中、长期预测时 效果较好。效果较好。离散时间离散时间 的的Logistic模型模型在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十分自然地提了出来。分自然地提了出来。第18页，本讲稿共37页建立离散模型的一条直接途径是建立离散模型的一条直接途径是 用用差分代替微分差分代替微分。从人口。从人口问问题题的的Logistic模型模型可可导导出一出一阶阶差分方程差分方程 （1）(1)式中右端的因子式中右端的因子 常被称为常被称为阻尼因子阻尼因子。当当PtN时，时，种群增长接种群增长接 近近Malthus模型；当模型；当Pt接近接近N时，这一因子将越来越明时，这一因子将越来越明显地发挥阻尼作用，显地发挥阻尼作用，若若PtN，它将使种群增长速度，它将使种群增长速度 在在Pt接近接近N时时变得越来越慢，若变得越来越慢，若 Pt N，它将使种群呈负增长。，它将使种群呈负增长。（1）式可改写）式可改写为为（2）记记,于是于是(2)式又可改写式又可改写为为（3）第19页，本讲稿共37页虽然，（虽然，（3）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0，其，其后的后的 x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。可利用方程确定的递推关系迭代求出。差分方程（差分方程（3）有两个平衡点，）有两个平衡点，即即x*=0和和 。类似于微分。类似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也可通过对其方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定（线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定（时不能时不能确定除外）。例如，对确定除外）。例如，对 ，讨论，讨论 在在x*处的线性近似方程处的线性近似方程可知，当可知，当（即（即）时时平衡点平衡点是是稳稳定的，此定的，此时时 （）若当若当 ，则平衡点，则平衡点 是不稳定的，（这与对是不稳定的，（这与对 一切一切a，p*=N均为均为Logistic方程的稳定平衡点不同）。方程的稳定平衡点不同）。第20页，本讲稿共37页建模案例：最优捕鱼策略建模案例：最优捕鱼策略问题简介问题简介 生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益考虑具有4个年龄组：1龄鱼，4龄鱼的某种鱼该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖而按规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投人的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例称为捕捞强度系数使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42:1渔业上称这种方法式为固定努力量捕捞第21页，本讲稿共37页该鱼群本身有如下数据该鱼群本身有如下数据：1.各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(l/年),其平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(单位:g);2.1龄鱼和2龄鱼不产卵,产卵期间,平均每条4龄鱼产卵量为1.109 (个)，3龄鱼为其一半；3.卵孵化的成活率为1.22 /(1.22 n）（n为产卵总量）；第22页，本讲稿共37页有如下问题需要解决：有如下问题需要解决：l）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122，29.7，10.l，3.29（条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取作怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高第23页，本讲稿共37页 k 单位时间4龄鱼的捕捞强度系数 基本假设（略）基本假设（略）鱼群数向量 单位时间的自然死亡率 c 年存活率，c=1-0.80.2 孵化卵成活率=1.22 1011/（1.221011n）m4龄鱼的平均产卵量，m为 1.109 （个），3龄鱼为其一半第24页，本讲稿共37页模型建立模型建立这里只讨论问题1），即可持续捕获策略模型以一年为一个离散化的单位时间记年初鱼群为 下一年的鱼群数为:显然，是 到年底存活下来的鱼群数 时 中还包括 指上一年由卵孵化而得到1龄鱼 中存活数 第25页，本讲稿共37页据此可建立如下差分方程：因为3龄鱼与4龄鱼捕捞强度系数比为0.42：1，故有 写成矩阵形式：第26页，本讲稿共37页其中仔细考察矩阵P，当4龄鱼捕捞强度系数 时，不论上一年鱼群数目如何，下一年的鱼群将出现负数这个结论显然是荒缪的事实上，只要3龄鱼和4龄鱼不被同时捕光，下一年4龄鱼存在存活，即鱼群数不会出现负数第27页，本讲稿共37页造成这种现象的原因是单位时间离散化程度不够精细假设单位时间为一个月，定义月死亡率为，月存活率（l），月捕捞系数应为 c0.2，从而得=0.1255考虑一年中各月鱼群数目的分布，不难得到如下分析：为 k，则年存活率一个月实际存活率：二个月实际存活率：三个月实际存活率：第28页，本讲稿共37页八个月实际存活率：九个月实际存活率:因只前八月捕捞，后四月只有自然死亡一年后实际存活率：同理可得第i月捕捞率：因此可得 一年后3龄鱼实际存活数：第29页，本讲稿共37页一年后4龄鱼实际存活数：该年3龄鱼总捕捞数 该年4龄鱼总捕捞数 该年3龄鱼产卵总量：该年4龄鱼产卵总量：第30页，本讲稿共37页因此矩阵应当为：关于鱼群的差分方程为：X（t1）PX（t）（1）第31页，本讲稿共37页为实现持续捕获，(1）式必须存在稳定解：X（t）PX（t）由差分方程稳定性理论知其充要性为：对P的所有特征根，有最佳月捕捞强度系数：4龄鱼 3龄鱼 第32页，本讲稿共37页这说明该类鱼群不论开始鱼群数目如何，经过一定时间的持续捕获，总能使鱼群数目稳定下来.可持续最佳捕获下，渔场中各年龄组鱼群数：第33页，本讲稿共37页养老保险养老保险 养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择,在计划中详细列出保险费和养老金的数额。例如某保险公司的一份材料指出:在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下,男子若25岁起投保,届时月养老金2282元;若35岁起投保,月养老金1056元;若45岁起投保,月养老金420元。我们来考察三种情况下所交保险费获得的利率。第34页，本讲稿共37页表表1 中国人民银行贷款利率表中国人民银行贷款利率表贷款期限贷款期限半年半年一年一年三年三年五年五年五年以上五年以上利率利率6.126.396.667.207.56表表2上海市商业银行住房抵押贷款利率表上海市商业银行住房抵押贷款利率表 贷款期限贷款期限半年半年一年一年三年三年五年五年五年以上五年以上利率利率6.126.2556.3906.5256.660表表3上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表 贷款期限贷款期限半年半年一年一年三年三年五年五年五年以上五年以上月还款（元）月还款（元）到期到期一次还清一次还清444.36 305.99237.26196.41本息总和（元）本息总和（元）10612.0010664.5411015.6311388.7111784.71住房贷款抵押模型住房贷款抵押模型第35页，本讲稿共37页表表2 2和表和表3 3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？问题问题表表2的制定的制定1。确定本银行贷款期限等级，不必与央行完全一致。2。根据本银行利率低于（至少不高于）央行利率的原则，确定本银行贷款期限最低与最高等级的利率。3。依据某种原则（如随时间呈等差数列），确定本银行 其它贷款期限的利率。表表3的制定的制定模型假设模型假设1.以商业贷款10000元为例,贷款采取逐月归还逐月归还方式偿还 3.月利率采用将对应年利率平均方式计算月利率采用将对应年利率平均方式计算2.不得提前或延期还贷不得提前或延期还贷，即在贷款期限最后一个月还清设n年期贷款年利率为R，月利率为r，共贷款A0元，贷款后第k个月时欠款余额为Ak元，月还款m元。第36页，本讲稿共37页模型建立模型建立模型求解模型求解模型分析模型分析按月还款按月还款与按年还款按年还款哪种对贷款者更有利？按年还款按年还款年还款额按月还款按月还款与按年还款按年还款总还款额之比总还款额之比第37页，本讲稿共37页